Introdução
A linguagem matemática é considerada uma grande extensão da linguagem natural utilizada na ciência e na matemática para expressar resultados com precisão, concisão e sem ambiguidade. (RIMM-KAUFMAN et al., 2015; HOFMANN; MERCER, 2016; PURPURA; REID, 2016).
A linguagem e a matemática não parecem ser disciplinas tão separadas quanto se pode imaginar. A matemática tem sua notação ou linguagem peculiar, incluindo símbolos exclusivos da matemática, como o símbolo ‘=’ (LEHRL et al., 2020; PURPURA; REID, 2016; MARTIN; RIMM-KAUFMAN, 2015).
O conceito de atribuir certos valores para séries divergentes infinitas foi atribuído ao matemático italiano Ernesto Cesaro (BLUMS et al., 2017; ULATOWSKI et al., 2016; GENLOTT; GRÖNLUND, 2016). A soma de Cesaro discute sobre o limite da sequência de somas parciais de uma dada série (LEYVA et al., 2015). Desde que essa ideia surgiu, vários matemáticos a generalizaram de várias formas (REDISH; KUO, 2015; PENG et al., 2020). Neste artigo, determinarei a soma de Cesaro para duas séries divergentes infinitas específicas relacionadas à soma de potências usando funções geradoras adequadas. Encontramos polinômios eulerianos para realizar tal tarefa. Alguns gráficos são exibidos para verificar os resultados obtidos.
Polinômios Eulerianos
Os polinômios eulerianos são uma classe de polinômios cujos coeficientes ocorrem na contagem do número de permutações com descidas particulares. Os primeiros polinômios eulerianos são dados por
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Notamos que os coeficientes dos polinômios eulerianos, chamados de números eulerianos, são simétricos e, portanto, sempre que n é um número inteiro positivo ímpar.
Gerando funções
Primeiro, notamos as seguintes funções geradoras de séries infinitas cujos coeficientes estão relacionados a m-ésimas potências de números naturais.
Se m é um inteiro positivo, suponhamos que
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Para qualquer número real x, notamos de (2), que é uma série de potências infinita em x que é divergente para todo x tal que . Além disso, os coeficientes de são m-ésimas potências dos números naturais.
De (1) e (2), obtemos as seguintes equações:
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Em geral, para qualquer inteiro positivo m, temos
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Assim se comporta como as funções geradoras para cada m para a série de potência .
Cesaro - como somatória
O Cesaro - como somatória para a série de poder em x = k é definido como
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onde k é qualquer número real positivo. Aqui CL refere-se a Cesaro - Como processo de soma.
Provamos agora um teorema relacionado a encontrar Cesaro - Como soma para a série de potências .
Teorema 1
O Cesaro - Como a soma das séries de potências para em x = k é dado por
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onde são polinômios eulerianos avaliados em x = -k e k é qualquer número real positivo.
Prova: Usando (6), obtemos
Notamos que a função é contínua em, portanto, a integral definida acima existe. Sabemos que os polinômios eulerianos satisfazem a relação de recorrência
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Agora usando (7) e a fórmula de Integração por partes, obtemos
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Isso completa a prova.
Corolário
Se m é um inteiro positivo, então
Prova: Usando (1-8) obtemos
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Isso completa a prova.
De (9), notamos que
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Resultados e discussão
Nesta seção, tentamos verificar os resultados obtidos na seção 4 usando gráficos de funções geradoras de em x = k, onde k é um número real positivo.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-1, 0] então com k = 1, m = 2 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 1.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-2, 0] então com k = 2, m = 2 obtemos. Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 2.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-1, 0] então com k = 1, m = 3 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 3.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-2, 0] então com k = 2, m = 3 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 4.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-1, 0] então com k = 1, m = 4 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 5.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-2, 0] então com k = 2, m = 4 obtemos Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 6.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-1, 0] então com k = 1, m = 5 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 7.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-2, 0] então com k = 2, m = 5 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 8.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-3, 0] então com k = 3, m = 5 obtemos. Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 9.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-1, 0] então com k = 1, m = 6 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 10.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-2, 0] então com k = 2, m = 6 obtemos . Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 11.
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Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [-3, 0] então com k = 3, m = 6 obtemos Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 12.
Conclusão
Considerando a ideia de Cesaro - Como soma para uma determinada série de potências , obtive uma boa expressão fechada para computar para qualquer número real positivo k. A resposta dada pelo Teorema 1 deste trabalho é uma expressão racional obtida em função de k. Assim, escolhendo valores positivos de conveniência de k, por meio dessa expressão racional, podemos gerar quantos valores de somatório Cesaro - Como soma de valores que desejamos
Curiosamente, para o processo de soma descrito neste artigo, notamos que Cesaro - Como soma valores de soma de potências ímpares de números naturais são sempre zero. Doze figuras foram exibidas usando o software on-line gratuito Desmos para calcular integrais definidas para verificar a fórmula obtida no teorema 1. Portanto, as ideias apresentadas neste artigo nos fornecem o caminho para obter vários valores de soma de Cesaro - como somatória de valores para cada k positivo e para positivo inteiro m tal que . Podemos generalizar a forma como definimos o Cesaro - como somatória em si e tentar obter outros resultados interessantes.