Vaca González, J. R., Quinatoa, C., Ortiz, J., & Camacho, L. (2024). Evaluación de modelos de optimización convexos para minimizar pérdidas en el sistema de distribución. CONECTIVIDAD, 5(3), 62–78. https://doi.org/10.37431/conectividad.v5i3.152

El estudio de los modelos de optimización en sistemas eléctricos, se enfoca en dos aspectos principales: la entrega de energía a los puntos de demanda al menor costo posible y la reducción de pérdidas en los sistemas (Dias Tamayo & Garcés Ruiz, 2017). Además, debido al aumento constante de la demanda los sistemas de potencia deben seguir expandiéndose para cumplir con esta finalidad. Con base a lo anterior, surge la necesidad de proponer modelos de optimización eficientes. Estos modelos deben enfocarse en las redes de distribución complejas que existen hoy en día, debido que estos sistemas de distribución tienen una naturaleza radial, el enfoque de esta investigación estará en minimizar las pérdidas del sistema mediante los modelos de optimización propuestos.

Para ello se analizó en esta investigación dos modelos particulares de optimización convexa. Por un lado, el modelo de optimización convexa utilizando el cálculo de Wirtinger, el cual permite generar aproximaciones a la ecuación general de flujo de potencia mediante las denominadas derivadas de Wirtinger. Por otra parte, la aproximación cónica de segundo orden, aplicando el criterio de ubicación óptima de unidades de generación. Ambos modelos buscarán la convexidad en el sistema para lograr resolver el problema en el menor tiempo posible. A través de esta investigación, se evaluó la factibilidad y se medirá el error porcentual entre estas metodologías y el modelo clásico no convexo. Es importante señalar que el problema de optimización planteado incorporando la ubicación óptima de unidades de generación puede utilizarse ya sea en sistemas de distribución o sistemas de potencia, según (María & Luis Alfonso, 2008) debido a su naturaleza que incorpora diferentes unidades de generación, lo convierte en un problema de optimización no lineal con variables continuas y discretas, incluidas restricciones de igualdad y desigualdad representadas en el modelo como límites de generación y flujo de potencia por las líneas .

Según los autores (Oñate Y & Ramírez A, 2009) “Debido a la representación discreta, la formulación se convierte en un problema de optimización no convexo, ahí la naturaleza compleja del mismo”. En la actualidad, no existe mucha información sobre la aplicación de modelos convexos en sistemas de distribución de naturaleza radial para disminuir pérdidas, sino más bien el enfoque del uso de estos modelos convexos es la minimización de costos de operación el autor (Yuan & Hesamzadeh, 2019) propone tres modelos de optimización convexos, Relajación Cónica, Expansión en Series de Taylor, Envoltura de McCormick. Los resultados muestran un rendimiento sólido de los modelos propuestos y la recuperación factible de la solución. Por otro lado, los modelos usando el cálculo de Wirtinger, según expuesto por (Ramirez & Garcés, 2019) muestra que se obtuvo los voltajes en el sistema en un tiempo de 0,265588 segundos, mientras que (Martínez-Peralta, 2018) muestra un tiempo de solución 0,012059 segundos para un script realizado en Matlab para un sistema de 69 nodos. Estos resultados indican que los modelos de prueba utilizados muestran una ejecución precisa y rápida. Sin embargo, no se ha discutido la precisión de las respuestas de los modelos convexos en cuestión se centran en minimizar pérdidas. Actualmente no existen muchas metodologías disponibles que proporcionen una perspectiva clara sobre los beneficios de estos modelos. Por ejemplo las investigaciones realizadas por (Cabezas Soldevilla & Alfredo Cabezas Huerta, 2019) y (Leeton & Uthitsunthorn, 2010) utilizando modelos de optimización basados en enjambre de partículas, tienen como función objetivo minimizar las pérdidas del sistema, logrando una reducción de pérdidas del 8,38%, además mencionan que el flujo de potencia óptimo basado en optimización de enjambre de partículas ofrece mejores soluciones que los métodos basados en algoritmos iterativos como el Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno y algoritmos genéticos. Estos modelos en particular son metaheurísticas y la solución obtenida es un óptimo local, lo cual requiere un tiempo de solución bastante prolongado. Esto limita su utilidad a corto plazo debido a la necesidad de precisión y rápida convergencia.

Actualmente la ubicación óptima de unidades de generación se considera un recurso fundamental para la reducción de pérdidas. En la presente investigación, la implementación de generación distribuida se logra reducir las pérdidas en un 80%. Con el objetivo de promover la eficiencia energética y uso racional de energía, cada vez más se impulsan proyectos para incorporar generación distribuida al sistema eléctrico nacional. Se han realizado investigaciones y desarrollado metodologías especificas en este campo como las de (Muttaqi & Negnevitsky, 2006), (Anwar & Pota, 2011) y (Le & Kashem, 2007)such as load growth, overloaded lines, quality of supply and reliability. Moreover, it has been proven that the additional benefits brought by DG could be substantial if properly used. This paper addresses the issue of optimizing DG planning in term of DG size and location to reduce the amount of line losses in the distribution networks. The optimization methodology, which is based on the Sequential Quadratic Programming (SQP quienes analizan a fondo los parámetros óptimos de la generación distribuida. Estos autores muestran reducciones cercanas al 20% en las pérdidas de potencia en los modelos propuestos. Este aspecto se enfatiza con la evaluación de modelos convexos y el criterio de ubicación óptima de unidades de generación.

Este artículo está organizado de la siguiente manera, la primera sección expone las investigaciones realizadas referentes a los modelos convexos utilizados para reducir las pérdidas en los sistemas eléctricos de potencia. En la segunda sección se presenta el modelo de optimización matemática, incluyendo la formulación de los modelos convexos utilizados y los datos relevantes del sistema eléctrico. La tercera sección se realiza un análisis de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de dichos modelos. Finalmente, en la cuarta sección se presentan las conclusiones del estudio.

1.99 GHz. Los resultados se muestran a continuación:

El resultado de problema de optimización convexa tomando en cuenta tres unidades de generación distribuida, los datos del modelo de IEEE de 15 nodos y la demanda de la potencia reactiva y activa mostradas en las Tablas 2 y 3. La simulación se realiza en un periodo de 12 horas utilizado el solver Knitro y una computadora Intel(R) Core(TM) i7-8565U CPU @ 1.80GHz

1.99 GHz. Los resultados se muestran a continuación:

La Figura 4 muestra la ubicación óptima de las 3 unidades de generación distribuida, que son los nodos 7, 8 y 10 respectivamente, minimizando las pérdidas de la red con un valor de 0,00731149 p.u y 0,00744715 p.u para los modelos convexos, Wirtinger y segundo orden cónico respectivamente.

Figura. 4. Figura. 4. Sistema de distribución radial IEEE 15 nodos, incorporando nuevas unidades de generación Figura. 4. Sistema de distribución radial IEEE 15 nodos, incorporando nuevas unidades de generación Fuente: Elaboración propia

En la Figura 5 el valor de la función objetivo del modelo OPF-NL es de 0,00757788 p.u., es similar a los valores obtenidos por los modelos convexos. Esto demuestra que el modelo OPF-NL proporciona una aproximación precisa. Sin embargo, hay una diferencia entre estos modelos. Aunque el modelo OPF-NL produce resultados muy cercanos a los obtenidos por los modelos convexos, estos últimos tienen la ventaja de encontrar el óptimo global de manera consistente. La capacidad de los modelos convexos para identificar la mejor solución posible en un contexto específico los hace superiores en términos de exactitud y fiabilidad.

Debido a que es un sistema mulihorario, la cantidad de datos es considerable, por lo que el análisis de calidad de los datos se realizará en el nodo más crítico o nodo que presenta el mayor rango de error absoluto en comparación con el modelo no convexo.

Figura. 5. Figura. 5. Potencia activa generada por las centrales en 12 horas. Despacho de energía de modelos: No convexo, convexo basado en el cálculo de Wirtinger y Convexo basado en segundo orden cónico. Figura. 5. Potencia activa generada por las centrales en 12 horas. Despacho de energía de modelos: No convexo, convexo basado en el cálculo de Wirtinger y Convexo basado en segundo orden cónico. Fuente: Elaboración propia

El nodo más crítico que presentan los modelos es el nodo 15 por lo tanto, se analiza la calidad de la respuesta enfocándose en los datos obtenidos en ese nodo para los modelos convexos, en la Figura 6 muestra la distribución de valores de ángulos para las horas establecidas, donde se observa que existe una distribución uniforme que se encuentra, y se encuentra dentro de los limites superior e inferior, además de la ausencia de valores atípicos en los valores de ángulo.

Figura. 6. Figura. 6. Distribución de ángulos del segundo orden cónico , Wirtinger y modelo no convexo en un periodo Importar imagen de 12 horas en el nodo más crítico Figura. 6. Distribución de ángulos del segundo orden cónico , Wirtinger y modelo no convexo en un periodo Importar imagen de 12 horas en el nodo más crítico Fuente: Elaboración propia

De la misma manera, se muestra en la Figura 7 los datos de voltaje en el nodo 15, siendo esta una distribución uniforme resaltando que el modelo no convexo presenta la distribución de datos más uniforme que los modelos convexos.

Figura. 7. Figura. 7. Distribución de voltajes del segundo orden cónico, Wirtinger y modelo no convexo en un periodo de 12 horas en el nodo más crítico Figura. 7. Distribución de voltajes del segundo orden cónico, Wirtinger y modelo no convexo en un periodo de 12 horas en el nodo más crítico Fuente: Elaboración propia

Para la evaluación específica de los modelos convexos, existe cierto rango de error entre los resultados del modelo OPF-NL evaluados frente a los modelos convexos. Por lo tanto en la Figura 8 muestra el error absoluto que existe en los datos del nodo 15. Para el modelo convexo basado en el cálculo de Wirtinger, se observa un error que oscila entre 0.00427 y 0.00631 de voltaje. Mientras que, el modelo convexo del segundo orden cónico se observa un error que oscila entre 0,004025 y 0,06070 p.u.

Figura. 8. Figura. 8. Error absoluto en voltaje de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más crítico. Figura. 8. Error absoluto en voltaje de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más crítico. Fuente: Elaboración propia

El análisis de los ángulos a partir de la Figura 9, muestra que el modelo convexo basado en el cálculo de Wirtinger muestra un error absoluto que oscila entre 0,01942 y 0,03355 grados, mientras que el modelo cónico de segundo orden tiene un error que oscila desde 0,01847 y 0,03304 grados.

Figura. 9. Figura. 9. Error absoluto en ángulo de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más Figura. 9. Error absoluto en ángulo de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más Fuente: Elaboración propia

La Tabla 4 muestra la potencia de pérdidas para cada caso, el modelo basado en el cálculo de Wirtinger mediante su metodología convexa logra obtener para un periodo de 12 horas una potencia de pérdidas total de 0,00734619 p.u en un tiempo de 8,12 segundos mientras que el modelo cónico de segundo orden obtiene una potencia de pérdidas de 0,00744715 p.u en un tiempo de 17,8 segundos.

Tabla 4. Tabla 4. Resultados de la simulación para los distintos modelos

Tipo	Modelo no convexo	Modelo Wirtinger	Modelo Segundo Orden Cónico
Potencia de Pérdida p.u	0,00731149	0,00734619	0,00744715
Tiempo(segundos)	2.97	8,12	17,8

Fuente: Elaboración propia

El problema de convexidad de los sistemas eléctricos aborda enfoques diferentes que permiten el desarrollo de metodologías que reduzcan los tiempos y recursos del procesador, por lo que es importante evaluar la calidad de los datos obtenidos por las distintas metodologías o modelos convexos, garantizando unicidad en las soluciones esto es ventajoso comparando a los modelos tradiciones de programación matemática y ayuda a la operación de las redes eléctricas, dicho esto se logra concluir que mediante esta investigación se evidencia el desempeño de las metodologías no convexa, es decir cuál es la más rápida en solucionar el problema y el error que existen con respecto al modelo no lineal.

En principio el problema de optimización no convexo muestra una función objetivo de 0,00731149 p.u. en base a este modelo se midió el error absoluto asociado a los métodos convexos presentados en el documento, en el cual se obtuvo para el modelo convexo basado en el cálculo de Wirtinger una función objetivo de 0,00734619 en un tiempo de 8,12 segundos, teniendo esta metodología una diferencia de 0,000034 p.u llegando a obtener un error porcentual en voltaje de 0,63% y de ángulo 1,40%. Mientras que modelo basado en aproximación de cono de segundo orden con un valor objetivo de 0,00744715 p.u en un tiempo de 17,8 segundos tiene una diferencia de 0,0001357 p.u llegando a tener un error porcentual de voltaje de 0,61% y de ángulo 1,38%, por lo tanto, se puede concluir que el modelo Wirtinger proporciona una solución rápida con un margen de error aceptable, sin embargo, el modelo convexo de segundo orden cónico proporcionará una solución con un margen de error más pequeño sin embargo esto duplicaría el tiempo de solución.

La investigación centrada en modelos convexos es un paso más hacia el desarrollo de nuevas metodologías que optimizan los tiempos y recursos utilizados para hallar una solución, esto a largo plazo beneficiará al sector eléctrico ya que la evaluación de estos modelos concluye que el modelo convexo usando el cálculo de Wirtinger converge en un tiempo más corto, con lo cual se podrían tener consideraciones al momento de requerir una solución rápida y se optaría por la metodología planteada en la presente investigación. Es importante tener en cuenta el crecimiento constante del sector eléctricos y los recursos renovables disponibles, por lo que se recomienda para futuras investigaciones modelos estocásticos en conjunto de modelos convexos que permita simular la intermitencia de los recursos.