1 Introdução

A variância é uma medida estatística que mostra o quão dispersos os dados estão em volta de sua média, ou valor esperado. Dada à facilidade de seu cálculo e clareza de entendimento, ela se tornou o principal indicador numérico de risco em processos decisórios.

Na esfera das decisões financeiras, a variância faz parte de várias técnicas de proteção ao risco, como o Valor-em-Risco (Jorion, 2007) ou as diversas abordagens de hedging estáticas (homocedásticas) ou dinâmicas (heterocedásticas) utilizadas em mercados derivativos (chen, lee & Shrestha, 2003) ou de opções (Brooks, 2008), uma vez que ela mensura a volatilidade, um conceito importante das teorias de precificação de ativos (Wooldridge, 2002).

Contudo, as séries econômico-financeiras estão propensas a mudanças bruscas no comportamento da média/volatilidade, conhecidas por quebras estruturais. Elas afetam a qualidade de previsão dos principais modelos econométricos usados para análise dessas séries, como os modelos ARIMA e os da família GARCH, justamente por não serem funções do tipo piecewise (ou por partes). Consequentemente, os coeficientes ficam superestimados, aumentando em demasia a persistência dos dados passados.

Para lidar com quebras estruturais em séries econômico-financeiras, a literatura econométrica indica os switching models, especialmente porque eles consideram todas as observações da série na estimação do modelo (as regressões piecewise não), mas também tornam o modelo suficientemente flexível para diferentes tipos de comportamentos, em diferentes pontos no tempo (Brooks, 2008).

Em se tratando da manga e uva exportadas brasileiras, elas são afetadas por fatores edafoclimáticos e econômicos que podem causar quebras estruturais em seus preços finais, seja na média ou na volatilidade, tornando ineficientes quaisquer técnicas de proteção ao risco financeiro. Ademais, não existem estudos prévios que lidaram com essa problemática, ainda que elas estejam entre as quatro principais frutas brasileiras exportadas entre 1997 e 2008 (Bueno & Baccarin, 2012).

Portanto, o objetivo deste artigo é verificar a persistência na variância e a ocorrência de quebras estruturais nas séries de preços da manga e uva exportadas da Bahia, Brasil, dada a simultaneidade desses fatos e as implicações de sua ocasião. Como justificativa, a Bahia tem municípios que fazem parte do Vale do submédio São Francisco, responsável por 95% das exportações brasileiras de uva e manga (Lopes, Castro, Neves & Caldeira, 2007; Lima, Silva & Santos, 2013) para mercados como EUA, Europa e Ásia.

2 Markov switching model

O modelo autorregressivo integrado e de médias móveis [ARIMA] (Box, Jenkins & Reinsel, 1994; Morettin & Toloi, 2006) apresenta dificuldades em considerar nas suas equações a ocorrência de mudanças súbitas nas séries históricas econômicas e financeiras.

Dado o acontecimento de um evento relevante em larga escala (guerras, atentados, crises financeiras, mudanças em políticas governamentais etc.), o comportamento dessas séries pode mudar consideravelmente (às vezes para sempre, às vezes alternadamente), diminuindo assim a eficácia preditiva do modelo estimado.

Tal fenômeno é conhecido por quebra estrutural (ou mudança de regime/estado) serial, e duas classes de modelos que identificam tais alterações se destacam na literatura econométrica: Markov switching (MS) model e Threshold autoregressive (TAR) model[1] (Brooks, 2008). Sobre o MS, a principal referência é Hamilton (1989, 1990, 1994), que percebeu que as mudanças discretas no regime da série histórica não são pautadas por eventos determinísticos, mas que a ocorrência desses “pontos de virada” segue um comportamento estocástico não observável, governado pela lei das probabilidades.

Nesse escopo, uma variável dependente Yt, numa série estacionária e observável, é influenciada por uma variável aleatória não observável St Î [1, n], que descreve o regime que estava em t. Isto significa que se existem n regimes, então existirão n modelos que explanam o seu comportamento ao longo do tempo, conforme mostra a equação (1), com

(1)

Para estabelecer o comportamento estocástico de St, Hamilton (1989, 1990, 1994) usou a cadeia de Markov, cuja probabilidade da variável estar em determinado regime, em certo período de tempo, depende apenas do regime no período de tempo imediatamente anterior (Kolman & Hill, 2013), tal como mostra a equação (2):

(2)

Para cada , seja P_ij definida como a probabilidade de transição da variável. Ademais, e não muda com o passar do tempo^2.

Normalmente, escrevem-se tais probabilidades numa matriz de transição da cadeia de Markov k x k {P = [P_ij]}, vista na equação (3):

(3)

Se a variável está no regime j em certo período de tempo, logo ela deve estar num dos n regimes no próximo período de tempo, podendo inclusive permanecer no regime j. Portanto, é imperativo que p_1j + p_2j +... + p_nj = 1.

Junto com a matriz de transição tem-se o vetor de estado da cadeia de Markov, que agrupa as probabilidades p_n^(k) da variável estar em qualquer dos n estados em períodos futuros de tempo k, com k ³ 0, como mostra a equação (4):

(4)

Caso k = 0, x⁽⁰⁾ é conhecido como vetor de estado inicial. Assim, o vetor de estado x^(k+1) pode ser estimado a partir do vetor de estado x^(k) e da matriz de transição P. Assim, a matriz de transição e o vetor de estado inicial definem todos os outros vetores de estado (Kolman & Hill, 2013), conforme a equação (5).

(5)

Para estimar os parâmetros da equação de previsão do modelo MS, toma-se a situação vista na equação (1), na qual Hamilton (1989, 1990, 1994) concebeu como um caso especial do modelo ARIMA (r, 1, 0), com r = 0, chamando-o de mistura de distribuições de probabilidades i.i.d[3]. Logo, o logaritmo da função de máxima verossimilhança (L) é maximizado por métodos numéricos, considerando o vetor de parâmetros, , na seguinte equação (6):

(6)

Detalhes sobre a parametrização do vetor estão descritos em Engel e Hamilton (1990), e um algoritmo computacional para o cálculo dos parâmetros é visto em Perlin (2012). Caso r > 0, basta adicionar os parâmetros AR(1), …, AR(r) ao vetor ⁴.

Além dos estudos de Hamilton (1989, 1990, 1994) sobre mudanças de regime no câmbio e na inflação, é possível ver aplicações do modelo MS em Brooks e Persand (2001) [trade-off de investimento entre títulos do governo e ações/tendências futuras do mercado de ações], em Bergman e Hansson (2005) [taxa real de câmbio/Teoria da paridade do poder de compra] e em Nikolsko-Rzhevskyy e Prodan (2012) [previsão da taxa de câmbio no período pós Bretton-Woods].

Entretanto, é reconhecido que a variância estimada no modelo MS assume o pressuposto da homocedasticidade. Em caso de heterocedasticidade, a literatura econométrica recomenda o uso de modelos da família GARCH para se calcular a variância condicional da série histórica (Bera & Higgins, 1993). O problema é que, caso a série temporal também tenha quebra estrutural na variância, os modelos GARCH podem ter valores exagerados em seus parâmetros, ocasionando uma maior persistência dos choques do que deveria ser, demorando a diminuir ao longo do tempo e prejudicando a eficácia preditiva do modelo.

Neste quesito, Lamoureux e Lastrapes (1990) mostraram que a alta persistência na variância é decorrente da variação dos parâmetros GARCH no tempo (ai e bi), afetando a variância incondicional: à medida que a sua soma se aproxima de 1, os efeitos dos choques passados na variância corrente ficam mais fortes. Mas se as mudanças estruturais de regime forem consideradas no modelo, a soma dos valores dos parâmetros GARCH se afasta de 1, diminuindo consideravelmente o efeito dos choques passados.

Nessa esteira, Hamilton e Susmel (1994) desenvolveram o Markov-switching ARCH, também conhecido pelo acrônimo SWARCH (K, q)^[5], onde K representa o número de regimes e q indica a ordem do processo ARCH_(q). Caso haja a presença do efeito alavancagem (leverage) na variância, o modelo passa a se chamar SWARCH-L (K, q). Aqui, ao invés de se estimar a média condicionada à mudança de regime , é estimada a variância dos resíduos condicionada às alterações do estado da série temporal (U_t), a partir das seguintes equações:

(7)

(8)

Onde o desvio-padrão condicional, v_t é uma variável i.i.d. com média zero, variância unitária e usualmente sendo uma distribuição Normal ou t-Student, regida por uma cadeia de Markov com n regimes, h_t² é a variância condicional do processo ARCH(q) e é um fator que multiplica o processo ARCH(q), com g₁ = 1, normalizado na unidade, e ³ 1 para S_t = {2, ..., n}. Logo, modelam-se as mudanças no regime como mudanças na escala do processo.

Todavia, se as séries históricas forem mensais, Kim, Nelson e Startz (1998) comentam que os efeitos da volatilidade capturados por via efeitos ARCH somem quase que completamente após um mês, sugerindo assim que a heterocedasticidade na variância de séries mensais pode ser analisada por um modelo puro de variância MS ao invés de um SWARCH. Caso se assuma trabalhar com dois regimes, o modelo MS é assim proposto:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

O modelo acima pode ser estimado pelo logaritmo da função de máxima verossimilhança visto na equação (6), com o uso de métodos numéricos para o vetor . Recentemente, aplicações do modelo puro de variância MS podem ser vistas em Ichiue e Koyama (2011) e Balcilar, Demirer e Hammoudeh (2013).

3 Metodologia

Os preços da manga e uva exportadas baianas foram coletados no site AliceWeb2 (BRASIL, 2015), do Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior (MDIC), em US$/kg, mensalmente, entre janeiro/1989 a dezembro/2014, totalizando 312 meses por fruta. Os dados perdidos (manga = 44; uva = 81) foram preenchidos via programação linear, minimizando o erro quadrático médio entre os dados simulados e os dados disponíveis (manga = 268; uva = 231). Para a formatação dos dados, todas as situações no Quadro 1 foram consideradas como se pertencessem a uma única série temporal, por fruta. Depois, se calculou o log retorno (rt) de todos os preços, tornando assim suas séries estacionárias.

Para verificar a persistência na variância, empregou-se a regressão linear por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) na equação (1), admitindo nesse instante um único regime. Com os resíduos obtidos, usou-se o teste LM de Engle (1982) para heterocedasticidade, a 1% de significância e 05 defasagens. Para as séries que apresentaram heterocedasticidade, seguiram-se as orientações de Lamoureux e Lastrapes (1990): adotou-se o modelo GARCH(1,1), e com os coeficientes α₁ e β₁, calculou-se o parâmetro = α₁ + β₁, bem como a sua meia-vida (MV), que mede o tempo (em meses) que o choque na volatilidade diminui à metade de seu tamanho original, dado por MV = 1 – [ln(2)/ln()]. Para os fins deste estudo, a persistência na variância foi indicada para todo > 0,90, apontando assim para a ocorrência de quebras estruturais na variância da série histórica.

Para obter os modelos MS das séries históricas identificadas com quebras estruturais, adotou-se a proposta de Kim, Nelson e Startz (1998), considerando a ocorrência de baixa (regime 1) e alta (regime 2) volatilidade na variância das séries históricas. Para testar a sua eficiência, calculou-se o log retorno padronizado (r_t^* = r_t/ ^t), cuja série foi submetida ao teste LM de Engle (1982), com 1% de significância e variando entre 01 e 05 defasagens, com vistas a evidenciar a ocorrência de homocedasticidade. Todos os cálculos foram realizados via Microsoft Excel® 2007 e Eviews® 8.

4 Análise dos resultados

4.1 Persistência na variância

A Tabela 1 mostra o resultado do Teste LM de Engle (1982) para as séries de log retorno da manga e uva exportadas da Bahia, após a regressão por MQO da equação (1).

Ambas as frutas exibiram heterocedasticidade na variância de seus log retornos, dado que os resultados do Teste LM(5), que segue uma distribuição Qui-quadrado, foram maiores que o valor crítico (15,10), com 05 defasagens. Adicionalmente, a Tabela 1 mostra os resultados dos parâmetros e MV, após o uso do modelo GARCH(1,1). Foi visto que a manga e a uva não apresentaram evidências de quebras estruturais na variância de suas séries de log retornos ( ≤ 0,90 e baixas MV), consequência da estabilidade dos parâmetros GARCH no tempo, contribuindo assim para a eficácia preditiva do modelo.

4.2 Quebras estruturais

Ainda que os resultados vistos na seção 4.1 não apontem para a ocorrência de quebras estruturais na variância das séries da manga e da uva, procedeu-se mesmo assim com o emprego do modelo puro de variância MS [ver equações (9) a (14)], agora com o objetivo de verificar se ele consegue lidar com a heterocedasticidade detectada. A Tabela 2 mostra os parâmetros estimados para o vetor q das séries da manga e da uva exportadas baianas.

Em ambas as séries, confirmou-se a existência de dois regimes, com suas variâncias e probabilidades estimadas (p-value < 5%). Para facilitar a interpretação dos resultados, foi calculado e mostrado o desvio-padrão st (DP), que é a raiz quadrada da variância e é intuitivamente mais fácil o seu entendimento acerca das variações dos retornos.

No caso da manga, foi visto que o DP no regime de alta volatilidade é 4,3 vezes maior que o DP no regime de baixa volatilidade, enquanto que para a uva, esta relação é de 13,2. Isto sugere que os agentes econômicos envolvidos na exportação da uva baiana são mais sensíveis às variações de oferta e demanda do produto, do que os agentes econômicos ligados à exportação da manga baiana. E, conforme a teoria microeconômica, tal sensibilidade está refletida nas variações dos preços destes produtos (Pindyck & Rubinfeld, 2013; Elder, 1993).

Quanto à expectativa de duração dos regimes (EDR), calculada pela equação EDR = 1/(1 – pij), com i = j (Hamilton, 1989, 1994), foi visto que os períodos de alta volatilidade[6] tendem a ser mais persistentes na uva do que na manga. De fato, foram identificados 53 meses de alta volatilidade e 258 meses de baixa volatilidade na manga, enquanto que na uva, observou-se 209 meses de alta volatilidade e 102 meses de baixa volatilidade.

As Figuras 1 e 2 ilustram, para a manga e a uva, as estimativas do DP em face de suas séries de log retorno, com m = 0, entre jan/1989 e dez/2014. Em complemento à análise, as Figuras 3 e 4 mostram os vetores de estado [Eq.(5)] para a manga e a uva, também entre jan/1989 e dez/2014. Em destaque (marcações em cinza) estão os períodos de recessão econômica dos EUA, cujo comportamento dos vetores de estado, em ambos os casos, sugere não ser influenciado por tais períodos.

Figura 1
DP estimado para a manga
Fonte: Dados da pesquisa.

Figura 2
DP estimado para a uva
Fonte: Dados da pesquisa.

Figura 3
Vetor de estado para a manga
Fonte: Dados da pesquisa.

Figura 4
Vetor de estado para a uva
Fonte: Dados da pesquisa.

Como dito previamente, os vetores de estado indicam a probabilidade da variável (DP) estar em determinado regime (alta ou baixa volatilidade), em certo período de tempo, dependendo somente do regime antecedente.

Por fim, para testar a eficiência do modelo puro de variância MS quanto à heterocedasticidade presente nas séries de log retorno da manga e da uva, calculou-se o log retorno padronizado para ambas as frutas (rt* = rt/st), mostrados na Figura 5, resultante da divisão entre o log retorno e seu respectivo DP em t, já vistos nas Figuras 1 e 2.

Figura 5
Log retornos padronizados para as frutas exportadas com quebras estruturais
Fonte: Dados da pesquisa.

O teste estatístico de Jarque e Bera (1987) confirmou a normalidade do histograma para o log retorno padronizado da manga (p-value = 0,98), porém rejeitando-a para o caso do log retorno padronizado da uva (p-value = 0,00). A Tabela 3 mostra os resultados do teste LM de Engle (1982) para ambas as séries de log retorno padronizado, com defasagens variando entre 01 e 05, em relação ao modelo puro de variância MS.

Em relação à manga, todas as defasagens indicaram a ausência de heterocedasticidade na variância, enquanto que para a uva, este fato não foi constatado para qualquer defasagem.

Logo, o modelo puro de variância MS conseguiu lidar somente com a heterocedasticidade presente na série de log retornos da manga, enquanto que o modelo GARCH(1,1) conseguiu tratar melhor desse fato para a série de log retornos da uva. Vale ressaltar que a identificação dos regimes na variância das séries aconteceu em função da heterocedasticidade, e não pela ocorrência de quebras estruturais.

Isto pode ser atestado ao se comparar a expectativa de duração do regime de alta volatilidade (Tabela 2) com os valores MV (Tabela 1), onde pode ser vista a similaridade de seus resultados, confirmando assim a ausência de quebras estruturais nas séries de preços.

Conclusão

O objetivo deste artigo foi verificar a persistência na variância e a ocorrência de quebras estruturais nas séries de preços da manga e uva exportadas da Bahia, Brasil, dada a concomitância desses fenômenos. Caso seja positivo, isto prejudica a eficiência dos modelos de gestão de risco financeiro que consideram a variância como medida desse risco.

Em relação à persistência na variância, ela não foi evidenciada em qualquer das séries históricas das frutas analisadas, indicando certa “imunidade” às mudanças súbitas nos fatores macroeconômicos ocorridos entre jan/1989 e dez/2014, tais como os três períodos de recessão econômica ocorridos nos EUA, importante mercado consumidor dessas frutas (Ferreira & Sampaio, 2009).

Sobre as quebras estruturais, ainda que elas não tenham sido encontradas, o modelo puro de variância MS conseguiu somente lidar com a heterocedasticidade presente na série de log retorno da manga, enquanto que para a série de log retorno da uva, o modelo GARCH(1,1) atendeu melhor nesse quesito. Assim, os regimes descobertos nessas séries foram em função do fenômeno da heterocedasticidade, e não de quebras estruturais.

Para estudos futuros, é recomendada a metodologia empregada neste artigo para investigar o mesmo fenômeno nas demais frutas exportadas, agora num contexto nacional, com vistas a testar a hipótese nula da ausência de quebras estruturais em suas séries de preços.

Referências

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Notas

Ligação alternative

https://periodicos.uninove.br/index.php?journal=exacta&page=article&op=view&path%5B%5D=6899&path%5B%5D=3697 (pdf)