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1 Introdução

Qualquer produto entregue a um cliente, seja ele interno ou externo, é previamente avaliado levando-se em consideração múltiplas características da qualidade ou múltiplas respostas. O principal objetivo de qualquer iniciativa de melhoria no processo é determinar as melhores condições das variáveis de processo que otimizem simultaneamente todas as respostas desejadas. Entretanto, a condição ideal para uma resposta individual, raramente resulta em uma melhor condição global (Bera & Mukherjee, 2016). Segundo Khuri (1996) a otimização simultânea de múltiplas respostas correlacionadas é geralmente denominada como “multiple response optimization” (MRO). O objetivo da MRO é determinar as melhores condições de processo que resultem numa melhora global de todas as respostas envolvidas no modelo matemático que descreve o processo.

A análise de problemas com múltiplas respostas tem sido alvo de um interesse crescente em diferentes áreas do conhecimento (Oliveira, Oliveira, Conceição, & Leles, 2016; Takker, Parikh, & Desai, 2016; Simsek & Uygunoglu, 2016). A resolução deste tipo de problemas exige que se modele cada uma das respostas que se pretende otimizar por uma função que descreva a denominada Superfície de Resposta, ou seja, que permita estimar o valor da resposta dentro do intervalo de variação definido para as variáveis envolvidas no estudo. Essas funções (equações de regressão múltipla) são normalmente obtidas da análise do resultado das experiências desenhadas pelo modelo de Box-Behnken, Compósito Central ou de desenhos fatoriais a três níveis, sendo em geral equações de segunda ordem. Ye (2003) caracteriza estes modelos e afirma que o modelo Compósito Central (CCD – Composite Central Design) é o mais utilizado.

Neste contexto, em estudos de otimização que envolvem um pequeno número de respostas e de variáveis, em geral duas ou três, têm sido utilizada uma prática que consiste na sobreposição dos gráficos da superfície de cada uma das respostas para que, através da simples observação, se identifiquem os valores das variáveis que permitirão alcançar os melhores resultados nessas respostas (Carlile, Montgomery, & Runger, 2000). Porém, esta é uma prática não recomendada para um maior número de respostas e/ou variáveis. Nestes casos é necessário utilizar um algoritmo de otimização para determinar o valor das variáveis que poderá permitir encontrar o melhor compromisso entre os valores das respostas (Konzen, Furtado, Carvalho, Molz, & Ferrão, 2003).

De acordo com Montgomery (2001), encontrar especificações que resultem em aumento da eficiência de um processo industrial, além da obtenção de produto com a qualidade desejada e que atendendo às tolerâncias estabelecidas, constituem motivo suficiente para o uso de técnicas avançadas de otimização.

Há alguns anos, diferentes algoritmos como as metaheurísticas foram introduzidas e propostas para a otimização de problemas contendo múltiplas respostas, com modelos obtidos por meio de um planejamento de experimentos e com restrições lineares. Em geral, as respostas a serem otimizadas são aglutinadas formando uma única função objetivo a ser otimizada (Gomes, Pereira, Marins, & Silva, 2017).

Entre os algorítmos empregados estão: algoritmo genético, recozimento simulado, busca tabu, colônia de formigas, entre outras. Todos esses algoritmos têm-se mostrado bons mecanismos para solucionarem problemas de otimização (Moghaddama, Yalaouia, & Amodeo, 2015).

Este artigo apresenta um estudo comparativo entre algumas metodologias de algutinação de repostas descritas na literatura e a utilização do algoritmo de Recozimento Simulado na Otimização de Processos com Múltiplas Respostas.

2 Aglutinação de respostas

Uma estratégia largamente utilizada em otimização com múltiplas respostas é a aglutinação de todas as respostas envolvidas no problema em questão, a funçao resultante do processo de aglutinação será portanto a função objetivo da otimizaçao (Tamiz & Jones, 2016).

Existem diversas maneiras descritas na literatura sobre como aglutinar as múltiplas respostas.

Segundo Silva e Marins (2015), o método de aglutinação de resposta empregado pode gerar um problema com a incomensurabilidade das respostas, isto ocorre nos métodos de aglutinação que não possuem normalização das respostas.

2.1 O Método Desirability

Uma das técnicas mais utilizadas para otimizar simultaneamente várias respostas consiste em transformar as equações que modelam cada uma dessas respostas em funções utilidade individuais, e depois proceder à otimização de uma função utilidade global, conhecido com Total Desirability (D), que é descrita em termos das funções utilidade individuais. A otimização simultânea de várias respostas transforma-se assim na otimização de uma única função. Os grandes impulsionadores desta abordagem foram Derringer e Suich (1980), que continua a ser uma base de comparação para outros métodos em termos dos resultados que permite obter. Além disto a sua fácil interpretação e implementação motivaram que o método seja descrito e o seu desempenho reavaliado neste artigo.

Derringer e Suich (1980) apresentam funções utilidade individuais para respostas do tipo Nominal é Melhor (NTB – Nominal The Better), Maior é Melhor (LTB – Larger The Better) e Menor é Melhor (STB - Smaller The Better).

Quando o valor alvo (T) de uma resposta está entre um valor máximo (U) e um valor mínimo (L), como mostrado na Figura 1, diz-se que a resposta é do tipo NTB com a correspondente função utilidade , que por uma questão de simplificação será aqui representada por d, podendo ser definida como em (1):

onde R e S são fatores de ponderação, que podem assumir valores maiores que 1 quando se deseja priorizar a maximização ou a minimização da resposta.

Quando o valor alvo T deve atingir o valor máximo da função, a resposta diz-se do tipo LTB, conforme ilustrado na Figura 2, e a correspondente função utilidade d pode ser definida como em (2):

Quando o valor alvo deve atingir o valor mínimo da função, conforme a Figura 3, a resposta diz-se do tipo STB com a correspondente função utilidade d sendo definida como em (3):

Entretanto, segundo Castillo e Montgomery (1993), afirmam que basta que uma das funções d tenha um valor inaceitável, por exemplo o valor mínimo (d = 0),para que a solução global também se torne inaceitável (D = 0).

2.2 O Método Desirability Modificado

Ch’ng, Quah, e Low (2005) propõem que a função utilidade global, definida por Derringer e Suich (1980) seja modificada na forma de uma média aritmética, para evitar que o método de busca apresente falsos valores ótimos.

As modificações propostas podem ser observadas na Figura 4.

Pode-se observar na Figura 4 que o valor das funções utilidade individuais variam em um intervalo entre 1 e 2, sendo impossível obterem um valor nulo que comprometeria os resultados obtidos na função utilidade global.

com sendo o valor obtido pela função utilidade individual para a resposta i, é o valor alvo da função utilidade individual, p é o numero total de resposta aglutinadas pela função, é o peso atribuído a resposta i; sabendo que .

Outro fator importante na modificação proposta por Ch’ng et al. (2005) é que não há necessidade de se fazer um ajuste polinomial nas funções utilidade individuais pois não há ponto de interrupção caso o valor obtido da resposta se encontre acima ou abaixo do valor alvo.

3 Algoritmos de busca

3.1 Gradiente Reduzido Generalizado (GRG)

O método do Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) foi apresentado por Abadie e Carpentier (1965) para a solucionar problemas de programação matemática com uma função objetivo não linear e restrições lineares, este trabalho foi baseado no método do Gradiente descrito por Rosen (1960) e no método do Gradiente Reduzido descrito por Wolfe (1963). Uma descrição detalhada do método GRG pode ser encontrada no trabalho de Mouatasim, Ellaia, e De Cursi (2014).

Waren e Lasdon (1979) deram uma descrição detalhada do desempenho de vários códigos computacionais em uso na época, informando a diferenciada qualidade do GRG. Posteriormente, Lasdon, Waren, e Ratner (1980) efetuaram algumas modificações no algoritmo e o batizaram de GRG2. Ressalta-se que estas modificações foram realizadas no algoritmo computacional preservando-se o método original.

Segundo Köksoy e Yalcinoz (2006), o GRG é o método mais empregado na resolução de problemas com múltiplas respostas, fato este devido a sua facilidade de implantação e de seu algoritmo estar disponibilizado no pacote Solver que acompanha o software Microsoft Excel®. Entretanto, Lasdon et al. (1980) afirmam que a maior limitação da utilização do GRG provém do fato que é necessário que a estimativa inicial dos parâmetros seja próxima ao valor do ponto ótimo para que se tenha uma garantia de convergência.

3.2 Recozimento Simulado

O Recozimento Simulado (Simulated Annealing) é uma metaheurística que foi inicialmente concebida para a minimização de problemas discretos (Kirkpatrick, Gelatt, & Vecchi 1983). Atualmente este método vem sendo muito utilizado para resolver problemas de grande complexidade, onde há um grande espaço de soluções e a presença de pontos ótimos locais (Haridass, Valenzuela, Yucekaya, & Mcdonald, 2014).

O algoritmo do Recozimento Simulado tem várias vantagens quando aplicado a problemas onde existe um grande número de mínimos locais e o mínimo global é difícil de se determinar (Cai & Ma, 2010). Essas vantagens incluem um amplo intervalo de busca, garantindo que o algoritmo não fique preso a mínimos locais e se possa determinar o mínimo global, bem como apresenta baixa sensibilidade referente a escolha da solução inicial e a sua simplicidade relativa de implementação (Mahmoodpour & Masihi, 2016).

Este algoritmo é fundamentado em uma analogia com a termodinâmica, ao simular o resfriamento de um conjunto de átomos aquecidos, operação conhecida como recozimento.

Quando um metal é aquecido até seu ponto de fusão, sua energia interna é alta e assim suas moléculas se movem rapidamente. Quando a temperatura é reduzida, as moléculas vão gradativamente diminuindo sua velocidade de movimento, a medida em que a energia interna também diminui. Assim, próximo ao ponto de congelamento, o metal se torna sólido, e o estado final das moléculas do metal são determinadas pelos seus comportamentos ou pela velocidade de resfriamento.

O metal pode resultar em uma forma amorfa, sem uma forma definida como o vidro ou como um cristal com muitos defeitos em sua estrutura, quando o resfriamento for realizado de forma rápida, o que se chama de processo quenching (esfriamento rápido). Ou, ainda, pode resultar em um cristal, onde todas as suas moléculas estão alinhadas e correspondem a uma configuração de mínima energia do sistema, quando o resfriamento é executado lentamente, chamamos de processo annealing (recozimento para uma recristalização).

Essa técnica começa sua busca a partir de uma solução inicial qualquer. O procedimento principal consiste em um loop que gera aleatoriamente, em cada iteração, um único vizinho x* da solução corrente x. Se este vizinho for melhor que o original ele é aceito e substitui a solução corrente. Se ele for pior por uma quantidade D, ele é aceito com uma probabilidade expD/t, onde t, que é um parâmetro chamado de Temperatura, decresce gradualmente conforme o progresso do algoritmo. Esse processo é repetido até que t seja tão pequeno que mais nenhum movimento seja aceito. A melhor solução encontrada durante a busca é tomada como uma boa aproximação para a solução ótima (Hammouche, Diaf, & Siarry, 2010).

Segundo Wang et al. (2016), a temperatura inicial atribuida ao algoritmo Recozimento Simulado deve ser alta. No entanto, se este valor for muito elevado, provoca-se um desperdício do custo computacional com iterações desnecessárias. O valor inicial da temperatura então deve ser calibrado de tal maneira que permita com que o Recozimento Simulado aceite movimentos de piora na função custo para poder escapar de pontos ótimos locais.

4 Método

Os métodos de busca utilizados na determinação das melhores respostas foram o Gradiente Reduzido Generalizado (GRG), cuja a implementação foi efetuada seguindo o tutorial apresentado no Apêndice A.

A metaheurística Recozimento Simulado (RS) foi implementada conforme o fluxograma demonstrado na Figura 5.

O algorítmo da metaheurística Recozimento Simulado foi desenvolvido no software Scilab v. 5.2.2.

Os parâmetros empregados no algoritmo do Recozimento Simulado, para todos os estudos de casos realizados neste trabalho, estão descritos na Tabela 1. A escolha dos parâmetros foi realizada através de um método de calibração para o Recozimento Simulado descrito por Gomes (2015).

onde Ti corresponde ao valor alvo da resposta .

De acordo com Xu et al. (2004), quanto menores forem os valores de DIA e DPM, melhor será o desempenho do método, ou seja, mais próximo do valor alvo estarão todas as respostas.

Foram selecionados três casos para a imlementação dos métodos de otimização que são objetos de estudo deste artigo, vale ressaltar que esses problemas contém no máximo três variáveis de decisão e as funções objetivo exibem baixo grau de complexidade. Nos itens 4.1 a 4.3 encontram-se a descrição dos casos selecionados.

4.1 Caso 1: Derringer e Suich (1980)

Este problema consiste na otimização de quatro índices de qualidade: : índice de abrasão; : módulo 200%; : alongamento de ruptura; : dureza, e três variáveis de decisão: x1: nível de sílica hidratada, x2: nível de silano com agente ligante e x3: concentração de enxofre. As equações que modelam cada resposta são apresentados em 10-13.

Deve-se ressaltar que a função objetivo descrita em (25) pode sofrer ajustes em função dos valores obtidos nas respostas individuais 3 e 4, por se tratarem de objetivos de normalização.

4.2 Caso 2: Khuri e Conlon (1981):

O problema descrito por Khuri e Conlon (1981) tem como objetivo otimizar quatro respostas distintas: - dureza (resposta tipo LTB); - coesividade (resposta tipo LTB); - elasticidade (resposta tipo LTB); -compressão à água (resposta tipo LTB), e duas variáveis de decisão: x1 - cisteína, x2 –clorato de cálcio. As equações que modelam cada resposta são apresentados em 27-30.

4.3 Caso 3: Vining (1998):

O problema descrito por Vining (1998) tem como objetivo otimizar duas respostas distintas: - máxima conversão ; - atividade térmica, e três variáveis de decisão: x1 – tempo de reação, x2 – temperatura de reação e x3 – quantidade de catalisador. As equações que modelam cada resposta são apresentados em (44-45).

Os alvos para a otimização de cada resposta foram determinados pelos autores do trabalho no qual se baseia este estudo de caso, e são apresentados em (46-47):

As restrições para este problema estão descritas em (48-52):

A função objetivo para este caso, utilizando o método Desirability como função aglutinadora é definida em (53):

Deve-se ressaltar que a função objetivo descrita em 26 pode sofrer ajustes em função do valor obtido na resposta individual 2, por se tratar de objetivo de normalização.

A função objetivo para o caso 1, utilizando o método Desirability Modificada como função aglutinadora é definida em (54).

5 Resultados e discussão

Inicialmente foram realizados testes de convergência para o método de busca Recozimento Simulado. Os teste foram realizados com base nos dados do caso 1, sendo efetuadas dez replicatas para cada função de aglutinação propostas neste trabalho. As Figuras 6 e 7, ilustram a média dos resultados obtidos.

O método de busca Recozimento Simulado demonstra uma convergência satisfatória para sua implementação na determinação do melhor ajuste de processo utilizando as duas formas de aglutinação de respostas empregadas neste trabalho.

Apesar do teste de convergência ter sido efetuado somente para os dados do caso 1, a convergência do método nos demais casos utilizados neste trabalho será conduzida pela análise estatística dos resultados obtidos.

5.1 Estudo do Caso 1

Os resultados obtidos a partir dos dados contidos no caso 1 estão sumarizados na Tabela 2.

Como pode ser observado na Tabela 2, o método de aglutinação de resposta utilizado exerce influência na obtenção do melhor ajuste de processo. Entretanto, o método de busca utilizado não demonstra nenhuma diferença nos valores encontrados. Este resultado pode ser explicado pelo fato das restrições apresentadas neste caso serem todas de primeira ordem, e pela maior eficiência do método GRG quando utilizado com múltiplas estimativas iniciais.

Na Tabela 3 encontram-se sumarizados os valores obtidos pelas anaálises estatísticas realizadas a partir dos resultados obtidos pelo método de busca Recozimento Simulado com ambos os métodos de aglutinação.

A partir dos dados demonstrados na Tabela 3, pode-se afirmar que apesar de se tratar de um processos estocástico, o método de busca baseado na metaheurística Recozimento Simulado apresenta uma baixa variabilidade em suas respostas. O que garante uma boa acuracidade para este método.

5.2 Estudo de Caso 2

Os resultados obtidos a partir dos dados contidos no caso 2 estão sumarizados na Tabela 4.

Neste estudo de caso, ao analisar a Tabela 4, nota-se que a combinação da função aglutinadora Desirability Modificada e a metaheurística Recozimento Simulado utilizada como método de busca, obtiveram o melhor desempenho comparado ao demais métodos utilizados neste trabalho. Deve-se ressaltar também que o ajuste proposto utilizando a função aglutinadora Desirability não sofre interferência do método de busca, entretanto, no caso da função Desirability Modificada, há uma diferença entre os pontos selecionados como melhor ajuste quando utilizamos o GRG e a metaheurística Recozimento Simulado como métodos de busca. A ocorrência deste fato pode ser explicada pela limitação que o GRG encontra em escapar de pontos de mínimos locais, não sendo o método mais apropriado para se encontrar o mínimo global.

Na Tabela 5 encontram-se sumarizados os valores obtidos pelas anaálises estatísticas realizadas a partir dos resultados obtidos pelo método de busca Recozimento Simulado com ambos os métodos de aglutinação.

Como pode ser verificado na Tabela 5, a variabilidade da metaheurística Recozimento Simulado é nula neste estudo de caso. Este fato reforça a conclusão, obtida no estudo do caso 1, de que este método de busca exibe baixa variabilidade em suas repostas quando utilizado associado as funções aglutinadoras em questão.

5.3 Estudo do Caso 3

Os resultados obtidos a partir dos dados contidos no caso 3 estão sumarizados na Tabela 6.

A utilização da função Desirability como função aglutinadora, conforme observado na Tabela 6, demonstra um desempenho inferior à função Desirabilty adaptada. Pode-se observar também que neste estudo de caso a função aglutimadora influencia mais na obtenção da melhor configuração de processo do que o método de busca empregado.

Neste caso também, o modelo tem uma baixa complexidade, tendo em vista que o mesmo é composto por apenas duas variáveis resposta e nem todas as variáveis do processo apresentam um grau de significância que assegurem sua presença no modelo. Tal fato pode explicar o comportamento similar dos métodos de busca na determinação de um ponto que gere a melhoria do processo.

Na Tabela 7 encontram-se sumarizados os valores obtidos pelas anaálises estatísticas realizadas a partir dos resultados obtidos pelo método de busca Recozimento Simulado com ambos os métodos de aglutinação.

Os resultados sumarizados na Tabela 7, demonstram que a função aglutinadora Desirability gera uma variabilidade maior nas respostas encontradas em comparação com a função aglutinadora Desirability adaptada, quando utilizada a metaheurística Recozimento Simulado como método de busca. Tal comportamento não é observado nos demais casos analisados neste trabalho, o que indica que a variação presente nas respostas seja uma particularidade deste caso. Porém, tal variabilidade não é grande o suficiente para se demonstrar a necessidade de réplicas na utilização da metaheurística Recozimento Simulado.

6 Conclusão

O objetivo do presente trabalho foi avaliar o dempenho conjunto das funções aglutinadoras Desirability e Desirability Modificada, utilizadas com dois métodos de busca por melhores resultados: GRG e a metaheurística Recozimento Simulado.

A função aglutinadora Desirability Modificada demonstrou um melhor desempenho, independente do método de busca utilizado em conjunto, quando se pretender otimizar múltiplas respostas, em particular quando essas respostas são modeladas por equações com termos quadráticos independentemente do número de termos que possam conter, do tipo de respostas e do número de variáveis.

Entretanto, em vista da facilidade de utilização, conclui-se que o emprego do GRG seja a alternativa mais prática a ser implementada, uma vez que este método se encontra disponível nas versões mais recentes do software Miscrosoft Excel®.

Os testes aqui apresentados não esgotam as possíveis combinações do número de variáveis, tipo e número de respostas com base nas quais se poderia avaliar e comparar o desempenho dos vários métodos. No caso de modelos contendo um grande número de variáveis de decisão e com restrições não lineares, os métodos propostos neste artigo podem não exibir o mesmo desempenho e estabilidade de convergência.

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Ligação alternative

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