I. INTRODUCCIÓN

Los números complejos surgen naturalmente al buscar todas las raíces de una ecuación algebraica. Su aparición fue debida a G. Cardano en el siglo XVI, quien los utiliza para hallar raíces de ciertas ecuaciones, a las que denomina como “raíces sofisticadas” [1]. Sin embargo Cardano no vislumbra la importancia de dicho conjunto para las matemáticas posteriores. Hacia el año 1572, el matemático italiano R. Bombelli introduce formalmente las reglas de operación con números imaginarios y complejos [1]. Y es el gran genio de Gauss quien en el siglo XVIII logra dar una descripción formal y coherente de los números complejos, al mismo tiempo que los interpreta como parejas de puntos del plano, tal como se presentan en los textos modernos de variable compleja [2].

Actualmente, la primera noción de número complejo que se presenta a un estudiante, consiste en definir el conjunto , donde la suma se hace componente a componente y el producto se define como , para todo . Con esto se prueba que el conjunto tiene estructura de cuerpo. En cursos más avanzados de álgebra los complejos se ven como el anillo cociente o también como el conjunto de matrices cuadradas , con las operaciones usuales [3,4].

Y en un primer curso de variable compleja los complejos se construyen de manera más formal tomando el conjunto , donde la suma se hace componente a componente y el producto se define como , para todo [5]. El conjunto con las operaciones anteriormente descritas será denotado como .

Estos tres conjuntos tienen estructura de cuerpo y todos ellos son isomorfos, es decir, son tres representaciones “distintas” de los números complejos (ver Figura 1).

Al observar las tres construcciones anteriores se nota que todas ellas tienen como conjunto base a los números reales . De esta forma resulta natural hacerse los siguientes interrogantes, los cuales definen los problemas que se estudiarán en el presente trabajo.

¿Las tres construcciones anteriores se pueden hacer considerando como conjunto base, cualquier anillo conmutativo con unidad ?

¿Qué sucede si en las construcciones anteriores se cambia el cuerpo por un cuerpo finito , primo?

¿El conjunto , primo, es cuerpo con las operaciones arriba mencionadas? En caso afirmativo, ¿Se mantienen también las otras representaciones? En caso negativo, ¿Para cuáles primos , el conjunto resulta ser un cuerpo?

II. LA COMPLEJIFICACIÓN DE UN ANILLO

En esta sección se toma un anillo conmutativo con unidad y se definen conjuntos y operaciones análogas a las mencionadas arriba. Se prueba que dichos conjuntos son anillos conmutativos con unidad, los cuales son isomorfos. Y finalmente se muestra que dichos conjuntos corresponden a lo que podría llamarse “números complejos sobre el anillo ” o “complejificación del anillo [6].

Sea un anillo conmutativo con unidad y tomemos el conjunto donde la suma se hace componente a componente y el producto se define como , para todo .

Afirmación 2.1. Si es un anillo conmutativo con unidad , entonces el conjunto es un anillo conmutativo con unidad.

Demostración. Ya que la suma de parejas es componente a componente se observa fácilmente que es un grupo abeliano. Claramente el producto es conmutativo, pues es conmutativo. Ahora para se tiene que y además . Finalmente se observa que la otra propiedad distributiva es consecuencia de esta última igualdad y de la conmutatividad, y que la pareja es el neutro para el producto. Así concluimos que el conjunto con las operaciones indicadas, es un anillo conmutativo con unidad. ■

Recordemos que si es un anillo conmutativo con unidad 1, entonces el conjunto de matrices de tamaño con entradas en , denotado , es un anillo con unidad no conmutativo [3,4]. Dentro de consideramos el conjunto con las operaciones usuales de matrices. Obtenemos entonces el siguiente resultado.

Afirmación 2.2. Si es un anillo conmutativo con unidad , entonces el conjunto es un anillo conmutativo con unidad.

Demostración. Es claro que . Ahora para se tiene que

Es decir, es un subanillo de . Y como concluimos que es un anillo conmutativo con unidad. ■

Observación 2.3. Aunque podría pensarse que los anillos y construidos anteriormente son distintos, puede verse fácilmente que ellos son algebraicamente iguales, es decir, son isomorfos. En efecto, basta considerar la función → definida por , para todo .

Para terminar esta sección veamos la relación que existe entre los anillos introducidos anteriormente y lo que conocemos como números complejos.

Comenzamos determinando la relación existente entre los anillos y . Puede probarse, fácilmente, que la función → definida por para todo es un homomorfismo inyectivo. Esto significa que el anillo contiene un subanillo isomorfo al anillo o también podemos decir que cualquier elemento puede identificarse con la pareja y viceversa. Ahora si , entonces . Y usando la identificación mencionada y teniendo en cuenta que , entonces podemos concluir que donde → es tal que . Y por esto es que el anillo se conoce como la “Complejificación del anillo “ [6]. Note que esta construcción generaliza la construcción presentada en la introducción, es decir, si , entonces se obtienen los clásicos números complejos . También si , se obtiene el anillo de enteros gaussianos [4, 7, 8]. Si , entonces se obtienen los enteros Gaussianos módulo , [3, 9]. El anillo de enteros gaussianos es de gran importancia en matemáticas, no solo porque es un subanillo de los complejos. Sino también porque sus características algebraicas lo hacen el conjunto indicado para resolver variados problemas de teoría de números [4, 10].

El anillo con las operaciones anteriormente descritas será denotado indistintamente como o .

La construcción realizada en esta sección, sugiere una pregunta inmediata: si es cuerpo, entonces es un cuerpo? Ya sabemos que la respuesta es afirmativa si es el cuerpo de números reales . Pero, sucederá lo mismo cuando es un cuerpo finito? En particular, qué sucede cuando , primo? La respuesta a estos interrogantes son el objetivo de la Sección 3.

III. NÚMEROS COMPLEJOS SOBRE Zp, p PRIMO

En la sección anterior se generalizaron algunas de las construcciones de los números complejos a un anillo conmutativo con unidad . En esta sección se estudia el caso en que , primo y se determinan los valores para los cuales se obtienen las tres construcciones análogas y los tres isomorfismos análogos, obtenidos para el caso de los números reales .

El primer interrogante que resulta es: ¿ es un cuerpo para cualquier primo ? Para esto tomemos los dos casos particulares en que y y observemos las tablas de multiplicar en cada caso (Tabla 1 y Tabla 2).

En la Tabla 1 se observa que la pareja no tiene inverso multiplicativo, es decir, no es un cuerpo. En la Tabla 2 se observa que todos los elementos no nulos son invertibles, es decir, sí es un cuerpo. Esto nos permite concluir que el anillo , primo, no es un cuerpo en general. Nos preguntamos entonces para cuales primos se tiene que el anillo es un cuerpo.

Realizando las tablas de multiplicar para otros valores del primo , obtenemos que y sí son cuerpos, mientras que y no son cuerpos.

Ahora bien, los primos 2, 5 y 13 son suma de dos cuadrados, mientras que los primos 3, 7 y 13 no lo son. Esto nos indica cual debe ser el camino para solucionar este problema como se observa en el siguiente resultado.

Afirmación 3.1. Sea un primo. Si es un cuerpo, entonces no es suma de dos cuadrados.

Demostración. Supongamos que es suma de dos cuadrados. Entonces, con y . Luego la pareja y como es un cuerpo, entonces la pareja es invertible. Luego existe tal que

Ahora multiplicando la ecuación (3) por , la (4) por y sumando se obtiene

Y de la ecuación (7) se obtiene que . De manera análoga se obtiene que , es decir, lo cual es contradictorio. Se concluye entonces que no es suma de dos cuadrados. ■

Antes de probar el recíproco de la Afirmación 3.1, debemos tener en cuenta algunos resultados sobre el anillo de enteros gaussianos .

Sea un anillo. Un elemento no invertible se llama irreducible (en ) si para todo tales que , se tiene que o es invertible en .

Siguiendo [4] tenemos que los elementos invertibles en están caracterizados como aquellos tales que . La función (función norma) está definida como para todo . Y además un cálculo directo muestra que si entonces .

Tenemos entonces que el anillo es un dominio de factorización única. Es decir, todo elemento no nulo y no invertible de se representa de manera única como producto de elementos irreducibles de . Y esto implica que todo elemento irreducible satisface que si para cualesquiera , t | ab entonces | a o t | b.

El siguiente teorema que incluimos es un resultado clásico de teoría de números. Su demostración puede encontrarse en [5], [11] o [12].

Teorema 3.2. (Pequeño Teorema de Fermat) Sea un número primo. Entonces para todo .

El siguiente teorema recoge varios resultados importantes de teoría de números. Incluimos la demostración completa ya que es de gran importancia para este trabajo.

Teorema 3.3. (Fermat) Sea un número primo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. 1. o mod 4.

   Existe tal que mod .

   no es irreducible en .

   es suma de dos cuadrados.

Demostración. . Si basta tomar . Sea para algún . El Teorema 3.2 implica que son las raíces del polinomio . Luego

Y como se tiene que

Es decir,

Como es un dominio de factorización única se concluye que son todas las raíces del polinomio . Luego existe tal que . Así tomando se tiene que . Es decir, mod .

2 ⇒ 3. Supongamos que existe tal que para algún y que es irreducible en . Entonces, y tenemos que . Luego o . En el primer caso se tiene que para algunos . Luego lo cual es contradictorio. El otro caso también conduce a una contradicción. Por tanto, no es irreducible en .

3 ⇒ 4. Por hipótesis existen tales que y , Tomando normas a ambos lados de la igualdad resulta . Y esto implica que .

4 ⇒ 1. Hay sólo tres posibilidades para el primo : , es de la forma o es de la forma . Veamos que ningún entero de la forma es suma de dos cuadrados. Si es un entero cualquiera, entonces o (mod 4). Así o (mod 4). Por tanto si las únicas posibilidades para son o (mod 4). Y como cualquier entero de la forma es igual (mod 4), concluimos que cualquier entero de esta forma no es suma de dos cuadrados. ■

Una de las consecuencias del Teorema 3.3 es que todo número primo de la forma es irreducible en , o equivalentemente, si es un primo que no es suma de dos cuadrados, entonces es irreducible en .

Afirmación 3.4. Sea un primo que no es suma de dos cuadrados. Si para algún , , para algunos , entonces y son múltiplos de .

Demostración. Supongamos que con . Entonces, y entonces o por el Teorema 3.3. En el primer caso para algunos . Así, y , es decir, y son múltiplos de . En el segundo caso un razonamiento análogo muestra también que y son múltiplos de . Por tanto, en cualquier caso y son múltiplos de . ■

Ahora sí podemos probar el recíproco de la Afirmación 3.1.

Afirmación 3.5. Sea un primo. Si no es suma de dos cuadrados, entonces es un cuerpo.

Demostración. Sea con . Entonces o , es decir, no es múltiplo de o no es múltiplo de . Así por la Afirmación 3.4, para todo , lo cual implica que en . Como es un cuerpo, entonces existe el inverso de , es decir, . Por tanto el elemento dado por y es fácil ver que este elemento es el inverso de la pareja . Luego se concluye que es un cuerpo.

Uniendo la Afirmación 3.1 y la Afirmación 3.5 el problema propuesto queda completamente determinado en la siguiente forma “Sea un primo. El anillo es un cuerpo, si y solo si, no es suma de dos cuadrados”. O usando el Teorema 3.3, nuestro resultado también puede ser enunciado como “Sea un primo. El anillo es un cuerpo, si y solo si, es de la forma ”.

Por la Observación 2.3 tenemos que para un primo cualquiera, los anillos y son isomorfos. Así para el caso en que el primo es de la forma , tenemos que y son cuerpos isomorfos.

Recordemos que queremos obtener el análogo de los complejos para el caso finito , primo. Resta ver entonces un cociente adecuado de . Nuevamente el Teorema 3.3 nos dice que “El primo es de la forma o es 2, si y solo si, existe tal que (mod )”. O equivalentemente, “El primo es de la forma , si y solo si, (mod ), para todo ”.

Así tenemos que si es un primo de la forma , entonces el polinomio no tiene raíces en . Como dicho polinomio es de grado menor o igual que 3, concluimos entonces que es irreducible sobre . De este modo el anillo cociente es un cuerpo, el cual está dado por:

Con esto encontramos entonces el siguiente isomorfismo.

Afirmación 3.5. Sea un primo de la forma . Los cuerpos y son isomorfos.

Demostración. Basta definir la función , como para todo .

Obtenemos entonces el siguiente diagrama de cuerpos isomorfos (Figura 2), análogo al obtenido para los números reales (Figura 1).

Figura 2. Representaciones isomorfas del cuerpo .

IV. CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en este trabajo pueden resumirse en las siguientes líneas.

• Se presentaron las tres versiones conocidas de los números complejos como el producto cartesiano con algunas operaciones especiales, como el conjunto de matrices con las operaciones usuales y como el cociente . Y se mostró porqué los números complejos pueden escribirse como .

  A partir de un anillo conmutativo con unidad , se hicieron las construcciones análogas y y se mostró que las dos corresponden a anillos conmutativos con unidad, los cuales son isomorfos. Además se mostró que ellas representan el conjunto de números complejos sobre el anillo , los cuales se denotaron como .

  Se observó que el anillo , primo, no es un cuerpo en general. Y se demostró con todo detalle que es un cuerpo, si y solo si, es un primo de la forma o equivalentemente el primo no es suma de dos cuadrados (Afirmación 3.1 y Afirmación 3.5).

  Se demostró que para cualquier primo de la forma , el cuerpo tiene las mismas tres representaciones isomorfas, obtenidas para los números complejos (ver Figura 2).

REFERENCIAS

[1]. K. Ríbnikov, Historia de las Matemáticas, Moscú: Editorial Mir, 1987.

[2]. J. R. Newman, Sigma: El mundo de las Matemáticas, Barcelona: Ediciones Grijalbo S.A., 1985.

[3]. D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, New Delhi: Wiley India Pvt. Ltd., 2016.

[4]. A. Garcia and Y. Lequain, Elementos de Álgebra, Rio de Janerio: IMPA, 2013.

[5]. J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, New York: Springer-Verlag, 1995.

[6]. K. H. Spindler, Abstract Algebra and Applications, Vol. II Rings and Fields, New York: Marcel Dekker Inc., 1994.

[7]. J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, New York: Addison-Wesley, 1982.

[8]. A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro: IMPA, 2006.

[9]. A. A. Allam, M. J. Dunne, J. R. Jack, J. C. Lynd and H. W. Ellingsen Jr., “Classification of the or the group of units in the Gaussian integers modulo N”, Pi Mu Epsilon Journal, Vol. 12, No. 9, pp., 513-519, 2008.

[10]. J. Stillwell, Elements of Number Theory, New York: Springer-Verlag, 2003.

[11]. R. Jiménez, E. Gordillo y G. Rubiano, Teoría de Números para Principiantes, Bogotá: Unibiblos, 1999.

[12]. I. Vinogradov, Fundamentos de la Teoría de los Números, Moscú: Editorial Mir, 1977.