Para ilustrar con un caso, donde el significado de los objetos matemáticos es fundamental, debido a la utilidad e influencia que este tiene en la vida de las personas, es el uso de modelos matemáticos para el entendimiento y control de enfermedades, la llamada Epidemiología Matemática, un área de investigación dentro de la Biomatemática, que busca entender la dinámica de enfermedades contagiosas como la tuberculosis, mediante modelos matemáticos que permitan orientar las medidas de control que puedan tomar las autoridades sanitarias. La tuberculosis, según la Organización Mundial de la Salud (OMS), es una enfermedad infecto contagiosa, causada por un bacilo llamado Mycobacterium tuberculosis, la cual afecta a billones de personas en el planeta cada año, no solo en los pulmones, como tradicionalmente se ha creído, pues también se presenta en órganos tan impensables como los del sistema óseo. En términos simples, una persona infectada con el bacilo y que ha llegado al estado sintomático, en el caso de la tuberculosis pulmonar, contagia a otra persona sana, y susceptible de contraerla, a través del aire cuando la primera tose o habla [3].

En el proceso de modelación en epidemiología se tiene en cuenta los siguientes aspectos: Reconocer una situación problema, definir las variables y sus relaciones, estructurar la situación problema de forma verbal, gráfica y simbólicamente en términos de las variables y sus relaciones, y finalmente validar la solución obtenida en términos de la situación.

La enseñanza de la matemática, es un tema de interés para la comunidad educativa, dada la importancia que ha adquirido el conocimiento de diferentes enfoques y metodologías que pueden ayudar a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de dicha ciencia. El lenguaje de la Matemática está compuesto por símbolos y relaciones, los cuales es posible usarlos para modelar fenómenos del entorno natural y social de las personas, los cuales constituyen una ayuda para entender e intervenir ese entorno en su propio beneficio. Así lo considera el MEN en [4] cuando señala que “la resolución de problemas en un amplio sentido se considera siempre en conexión con las aplicaciones y la modelación. La forma de describir ese juego o interrelación entre el mundo real y las matemáticas es la modelación” (p. 97).

Este hecho implica que, en el momento de enseñar matemáticas, es necesario permitir que el estudiante visualice la relación de la realidad con los modelos que conforman el lenguaje de la Matemática. El proceso de modelación es un medio por el cual el profesor puede lograr hacer significativo el aprendizaje de la matemática, a través de la resolución de la situación problema en un ambiente de aula con materiales didácticos que constituyen una situación real, como la situación presentada en este artículo, aunque en la mayoría de los casos, es necesario construir materiales, de modo que se haga una simulación de un fenómeno real, en el cual, haya la necesidad de resolver un problema asociado. Estos aspectos, se evidencian cuando el estudiante llega a posibles resultados y logra validarlos con la situación problema planteada al inicio del proceso; así mismo, puede describir las cantidades resultantes y sus relaciones, también, cuando el estudiante es capaz de plasmar en el cuaderno una aproximación esquemática del fenómeno haciendo uso de símbolos para etiquetar cada elemento involucrado en la resolución del problema [5].

Hay un aspecto clave, cuando se opta por la modelación en el aula de clase de matemáticas y es que, el profesor debe trascender de su papel de enseñante para convertirse en acompañante del proceso. Claro está que, es vital su experticia respecto al conocimiento, cuando es él quien prepara, diseña y construye los materiales que conforman el ambiente didáctico que requieren los estudiantes en el desarrollo del proceso de modelación matemática [5].

Según [6], en el ambiente social del aula de clase se da una serie de interacciones a nivel de pares, entre estudiantes, alrededor del objeto matemático involucrado en la situación problema planteada, en las cuales la intervención explicita del profesor puede o no darse. Así mismo, señala que el estudiante se motiva a contribuir activamente en la construcción del modelo matemático con “aportes productivos, que agregan valor a lo que se discute, que ayudan a otros a expresar lo que piensan” (p. 23). De modo que si el profesor permite al estudiante hacer parte activa en la construcción del conocimiento en el marco de la modelación matemática como propuesta didáctica, “su participación se caracteriza por las interacciones y las contribuciones que se asumen como elementos que ayudan a construir las comprensiones necesarias para el aprendizaje en el discurso matemático de aula” (ídem). Esta es una propuesta que, favorece la visión de un profesor que acompaña al estudiante en la construcción activa de su conocimiento matemático y no solo enseña a unos estudiantes que, de manera pasiva, al estilo tradicional, solo observan y llevan a su cuaderno todo aquello que a veces aceleradamente el profesor escribe en el tablero, sin hacerle inventario a unos contenidos que, a veces se tornan áridos para el mismo profesor.

Entender mediante una simulación con un modelo matemático las tendencias de la infección tuberculosa en la zona urbana de la ciudad de Cali, a partir de datos tomados durante los años 1990-1999 por la Secretaría Municipal de Salud de Cali [3].

Para generar el modelo, se considera un índice conocido como Riesgo Anual de Infección (RAI) el cual (Styblo, 1991, citado en [3], p. 38) lo define como «la probabilidad que tiene un individuo, quien no ha estado previamente en contacto con el bacilo tuberculoso, de infectarse en el curso de un período relativamente corto, tal como un año». Según (Styblo, 1991, citado en [3], p. 38), este índice sintetiza factores de riesgo de contraer la infección como: intensidad, frecuencia y duración de contacto con un infectado sintomático, estado de salud del huésped, así como características del agente infeccioso.

Según [3], para estructurar la dinámica latente en la situación problema se consideran la variable tiempo, t, y la variable edad, a, las cuales constituyen las variables independientes del modelo. Las variables dependientes se generan de las subpoblaciones determinadas por la dinámica de la enfermedad: susceptibles, (S), como las personas que no han sido infectadas con el bacilo; la subpoblación de protegidos por la vacuna BCG, (P); la subpoblación de personas que han sido infectados, pero que no son sintomáticos, llamados infectados latentes, (I); los que al aplicarles una prueba diagnóstica conocida como “frotis BK”, resultan positivos, (BK+), por lo cual son infectados, sintomáticos y por tanto contagiosos, llamados casos abiertos, (A), y los negativos al frotis (BK-), lo que significa que están enfermos pero que por estar en tratamiento han dejado de ser infecciosos, considerados por esto casos no abiertos, (NA); la subpoblación de los curados, también llamada de los removidos, (R), y por último está la subpoblación de los enfermos que abandonan el tratamiento y el bacilo hace mutación, volviéndose resistente a los medicamentos ya aplicados, considerados crónicos, (C). Para cada clase se considera una función de densidad de probabilidad de pertenecer a ella, dependiente de la edad a y del tiempo t, simbolizada por S(a, t), P(a, t), I(a, t), A(a, t), NA(a, t), C(a, t) y R(a, t) respectivamente.

Para esta fase [3] considera que una vez definidas las variables respecto a la situación problema se traza un diagrama que permita visualizar la forma como las personas hacen tránsito entre las subpoblaciones generadas por la dinámica de la enfermedad. Para esto se introduce una función b(a) que determina la tasa de contacto entre infecciosos y grupos de susceptibles. Se supone que todos los recién nacidos son susceptibles y que la transferencia de infección es debida a la interacción entre el susceptible y el infeccioso, el infectado entra en un período largo de latencia y después pasa a la clase de infecciosos o casos abiertos.

También se considera la función λ(t), la cual representa la fuerza de infección de la enfermedad. En el sentido que la infecciosidad de muchos individuos infectantes se unen para crear una fuerza que desplaza a otros individuos del estado susceptible. Al ser mayor la fuerza de infección, más temprano los susceptibles son infectados y más rápido decrece la fracción de susceptibles al estado infectado. Se simboliza como γ1 y γ2 a las fracciones de individuos infectados que pasan a las clases de abiertos (A) y no abiertos (NA) respectivamente. Las tasas de transición entre las diferentes clases están dadas por ki, i = 1, ⋯,6, μ(a) es la tasa de mortalidad.

Fig. 1.
Aproximación gráfica de la dinámica de transmisión de la infección tuberculosa entre las poblaciones implicadas [3].

El modelo epidemiológico estructurado en la edad en [3] (p. 40), es un modelo matemático definido mediante las siguientes siete ecuaciones diferenciales parciales:

Fig. 2.
Modelo epidemiológico estructurado en la edad.
[3] (pg. 40).

Este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales se resuelven de manera aproximada mediante métodos numéricos y un software matemático como MatLab, se dice entonces que la solución del modelo es numérica. Para el uso del software se escribe un programa y se interpreta la salida en términos de la situación problema. La salida se obtiene de forma gráfica, como en Fig. 3 y Fig. 4, de las cuales se deduce, por ejemplo, de la Fig. 3 que “la cantidad de nuevos casos es mayor entre los 35 y 50 años” y en la Fig. 4, que

el índice agregado de infección presenta su punto más alto a la edad de 30 años, pero presenta un porcentaje muy alto, por encima del 0.8% entre los 20 y 40 años, una situación que debe preocupar a las autoridades de salud pues indica que de cien mil personas en Cali al menos 800 están infectadas con tuberculosis [13], (p. 55).

Los modelos matemáticos en ciencias como la Epidemiología, se utilizan para entender la forma en que ciertas enfermedades, como la tuberculosis pulmonar, de tipo infectocontagiosas se diseminan entre la población, y poder exponer ante las autoridades sanitarias la necesidad de tomar acciones de prevención y control de estas enfermedades.

Fig. 3.
Prevalencia de la enfermedad por edades. [3], p. 54.

Fig. 4.
Estimaciones del RAI para los grupos de edad entre 0 y 60 años, este índice refleja la carga de infección tuberculosa en una comunidad. [3], p. 55

Ahora se procede a estructurar, en un proceso análogo, una situación problema en el aula de clase de matemáticas, en el área de la aritmética. Específicamente, se mostrará cómo es posible abordar el algoritmo de la división, como el resultado de un proceso de modelación, a partir de una situación problema de repartición de unas golosinas entre varios niños.

¿Cómo repartir 9 turrones de coco entre 4 niños sin partir ningún turrón y de modo que a cada niño le corresponda la misma cantidad de turrones? [5].

Se propone para la resolución de esta situación tener en cuenta las fases del proceso de modelación matemático planteado antes en el caso de la diseminación de la infección tuberculosa en la zona urbana de la ciudad de Cali, en el periodo 1990-1999. Se tienen entonces las siguientes fases para el problema de la división en el aula de clase:

Inicialmente se forman grupos de 4 estudiantes y se les entrega 9 turrones de coco a cada grupo. Se plantea la situación problema y se les invita a resolverla usando los saberes previos. Se les pregunta por las posibilidades de solución de la situación, así como las cantidades involucradas y sus posibles relaciones desde los conceptos previos que maneja el grupo.

Fig. 5.
Momentos en la fase de manipulación del proceso de modelación del algoritmo de la división [5].

Esta es una fase de pensamiento concreto en la cual se manipula material didáctico, que para la situación presente ya está disponible en almacenes de cadena, aunque no siempre es así, pues a veces es necesario que sea diseñado y construido por el docente, con el fin de relacionar al estudiante con un fenómeno determinado que le permita, mediante el uso de sus sentidos generar un conocimiento emergente, acorde con los objetivos que el docente ha planteado para la clase. En esta fase, los estudiantes generan cantidades que serán relacionadas en una fase posterior con símbolos como numerales y de las operaciones como suma, resta y producto.

Una vez que cada grupo ha reconocido las cantidades involucradas en la situación problema, se invita a describir, mediante lenguaje matemático verbal, las cantidades resultantes, su naturaleza y las relaciones entre ellas surgidas de la manipulación que cada grupo realizó del material didáctico.

Esta actividad permite, en la fase siguiente, mediante un proceso de graficación, plasmar en los cuadernos de cada estudiante, una aproximación esquemática del fenómeno, en la cual se empieza a usar los símbolos para etiquetar cada elemento involucrado en la resolución de la situación.

Una vez cada grupo hace la descripción del fenómeno usando lenguaje matemático verbal, se busca aproximar mediante un gráfico la resolución de la situación. Esta es una fase intermedia entre un fenómeno determinado por la manipulación de objetos observables y tangibles y un modelo simbólico abstracto. En esta fase, ya se puede hablar de una aproximación previa ya que un gráfico no es precisamente el fenómeno, sino una aproximación de éste, aunque no es aun el modelo matemático que se busca para representar el proceso de la división. Se siguen los siguientes pasos:

Una vez cada grupo hace la descripción del fenómeno usando lenguaje matemático verbal, se busca aproximar mediante un gráfico la resolución de la situación. Esta es una fase intermedia entre un fenómeno determinado por la manipulación de objetos observables y tangibles y un modelo simbólico abstracto. En esta fase, ya se puede hablar de una aproximación previa ya que un gráfico no es precisamente el fenómeno, sino una aproximación de éste, aunque no es aun el modelo matemático que se busca para representar el proceso de la división. Se siguen los siguientes pasos:

Paso 1: Graficar de una manera aproximada (desde el punto de vista de cada grupo de estudiantes) la situación final de la fase de manipulación (ver momento 3, Fig. 5), después de repartir los turrones con las condiciones dadas, y que cada niño quedó con una cantidad de turrones y sobró una cantidad, luego de la repartición.

Enseguida se ilustra, en la Fig. 6, una aproximación a la gráfica que en diferentes ocasiones los grupos de estudiantes en [5] han realizado.

Fig. 6.
Representación gráfica del momento 3 en la repartición de los nueve turrones entre los cuatro niños [5].

Paso 2: Una vez que los estudiantes han reconocido cada elemento involucrado en el fenómeno con el material didáctico, se simplifica la gráfica usando puntos en lugar de dibujos de los turrones de modo que se obtenga un gráfico con un grado mayor de generalidad. Luego se etiquetan las cantidades que aparecen con cifras numerales, que en este caso son 9, 8, 2 y 1, como en la Fig. 7. El numeral 9 para indicar la cantidad de turrones que habían inicialmente, el numeral 8 para indicar la cantidad de turrones repartidos, el numeral 2 para indicar la cantidad de turrones que corresponde a cada niño y el 1 para indicar el turrón que sobró.

Fig. 7.
Representación gráfica simplificada del momento 3 en la repartición de los nueve turrones entre los cuatro niños, usando puntos y cifras numerales [65].

Después de la acción de repartir los turrones entre los niños, en el proceso se distinguen 5 cantidades, etiquetadas junto a sus numerales, los cuales se relacionan entre sí, según se indica en la Tabla I:

TABLA I
Etiquetas y relaciones entre las cantidades

Estas relaciones entre las cantidades, para este caso particular, se acomodan de la siguiente manera, según la sintaxis del lenguaje de la Matemática de Occidente:

Fig. 8.
Arreglo estándar para representar los datos y sus relaciones en la Tabla I sugerido en [5].

Este arreglo particular sin (las etiquetas nominales) se puede ajustar a cualquier situación en la cual se usen las mismas cantidades, pero con agentes distintos. Por ejemplo, ¿cómo empacar 9 toneladas de harina (o cualquier otra sustancia o material) en 4 bolsas (o cajas o cualquier otro tipo de empaque) sabiendo que la capacidad de cada empaque es de 2 toneladas, y cada uno debe estar lleno en toda su capacidad? Así como este, se pueden encontrar en la cotidianidad, y en múltiples oficios, casos donde, con este arreglo, es posible resolver la situación problema. Por este hecho, es necesario, y pensando en la economía del lenguaje, abreviar el arreglo en un modelo simplificado donde las etiquetas que lo particularizan desaparecen y solo quedan los numerales que indican las cantidades señaladas:

En este punto, es posible hablar de un modelo relacional generalizado, es decir, se ha pasado de un fenómeno, cuando los estudiantes por medio de sus sentidos reconocieron y resolvieron la situación problema, a un nóumeno, cuando junto al profesor, los estudiantes puedan llegar a reconocer y entender el modelo matemático generalizado mediante el cual se relacionan cinco cantidades: m, n, q, p, r. El numeral m, representa la cantidad a repartir; n, la cantidad entre la que se reparte m; q, lo que corresponde a cada n; p, la cantidad repartida y r la cantidad que sobra después de repartir. El modelo matemático general quedaría así

En este modelo, cada elemento recibe una denominación en el lenguaje de la matemática en la cultura de Occidente. Al elemento m se le denomina dividendo, al elemento n, divisor, al elemento q, se le denomina cociente y al elemento r, residuo.

Una vez llegados al modelo matemático que relaciona las cantidades mencionadas simbólicamente, se confronta cada una con la cantidad inicial de turrones, antes de repartirlos a los niños, la cantidad que cada niño recibió en la acción de la repartición, así como el turrón que sobró. Se busca que los niños puedan relacionar el fenómeno ocurrido en la repartición, en la fase de manipulación, con el nóumeno obtenido en la fase de simbolización.