I. Introducción

LA investigación que se presenta en este artículo pretende mostrar cómo el conocimiento matemático y tecnológico movilizado en la enseñanza de las matemáticas incide en el conocimiento matemático a enseñar. Esta actividad exige de un conocimiento base que está directamente relacionado con el manejo de ideas en el aula, para que a través de preguntas el estudiante logre el control del conocimiento que construye, de tal manera que esta acción libere el andamiaje [1]. De otro lado, el docente debe distinguir los diferentes niveles de comprensión de sus estudiantes y proponer actividades basadas en tecnologías como el computador, el software, la simulación o el trabajo en grupo atendiendo los diferentes estilos de aprendizaje de los alumnos con el fin de procurar el desarrollo de habilidades y destrezas [2].

El interés investigativo en el conocimiento matemático para enseñar, de un profesor de matemáticas exige de herramientas teóricas que permitan su observación y respectivo análisis. En esta construcción conceptual el artículo contempla [3], que el conocimiento didáctico del contenido de un profesor de matemáticas se aborda desde tres características, fundamentadas en Shulman: 1) el conocimiento del contenido de la disciplina a enseñar, 2) el conocimiento de la didáctica específica (representaciones o estrategias instruccionales para la enseñanza del tópico) y 3) el conocimiento del estudiante.

Para la observancia del Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) del docente de matemáticas, en ejercicio, que trabaja con herramientas informáticas, la investigación tiene en cuenta a Mason y Spence [4], al asegurar que "el conocimiento sobre las matemáticas y la enseñanza de las matemáticas solo se realiza como conocimiento en el acto de enseñar". Otro referente, corresponde al Knowledge Quartet (KQ) [5], que está demarcado por 4 categorías o dimensiones (Fundamentación, transformación, conexión y contingencia), cada una identificada a través de códigos contributivos. De estas cuatro dimensiones, 3 de ellas (transformación, conexión y contingencia) son descripciones de situaciones que pueden presentarse en el desarrollo de una clase de matemáticas [6].

Las transformaciones son el centro de esta investigación, dado que esta categoría se refiere al conocimiento en acción del docente. Que se observa en la planeación y en el acto de enseñar en sí mismo. Corresponde con lo que Shulman trata sobre la clave para distinguir la base de conocimientos de la enseñanza “…radica en la intersección del contenido y la pedagogía, en la capacidad del maestro de transformar el conocimiento del contenido que posee en formas que son pedagógicamente poderosas y, sin embargo, son adaptables a las variaciones en la capacidad y en los antecedentes presentados por los estudiantes” (1987, p. 15). Está categoría, situaciones de transformación, corresponde a la presentación de ideas a los alumnos por medio de analogías, ilustraciones, ejemplos, explicaciones y demostraciones. Está constituida por cuatro códigos contributivos: Elección y Uso de Ejemplos (EUE); Elección y uso de Representaciones (ER); ejemplificación de procedimientos (para explicar un procedimiento) (EP); y Uso de Materiales Educativos (UME)(instruccional) [5].

También, para analizar en profundidad el Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT), la investigación tiene en cuenta los subdominios: Conocimiento Común del Contenido (CCK), Conocimiento Especializado del Contenido (SCK), Conocimiento del Contenido y los Estudiantes (KCS); y Conocimiento del Contenido y la Enseñanza (KCT) [7]. Además, se considera la relación entre los marcos teóricos de Rowland y Ball con el fin de analizar el conocimiento matemático para enseñar en situaciones de transformación.

Otro aporte teórico de esta investigación es el modelo TPACK, que se ha convertido en un referente necesario, para observar e investigar la práctica docente cuando hay mediaciones tecnológicas, y trata sobre las relaciones que se dan entre el Conocimiento Tecnológico Pedagógico (TPK), el Conocimiento Pedagógico del Contenido (PCK) y el Conocimiento Tecnológico del Contenido (TCK) en procesos de integración tecnológica abordados por el docente para la enseñanza, buscando su eficiencia [8]. Como este conocimiento hace parte de la práctica de los docentes, se encuentra la propuesta de cinco niveles del TPACK [9] y los dos enfoques para identificar el conocimiento TPACK y la competencia TPACK de los docentes [10], aspectos que se relacionan con las situaciones de transformación y serán de utilidad en el análisis.

Al introducir las TIC, el docente debe desarrollar habilidades para su uso y manipulación, debe enfrentarse a la triada currículo, didáctica y tecnología; teniendo la oportunidad de representar el conocimiento de maneras diferentes, de brindar visiones y perspectivas del conocimiento ya que la diversidad de tecnologías lleva a nuevos tipos de actividades. La tecnología cambia el comportamiento de los docentes y de los estudiantes. Para enfrentar el uso de ésta en procesos de enseñanza de las matemáticas, la investigación configura las actividades con instrumentos [11], atendiendo las interacciones entre el sujeto y el instrumento, y las del sujeto-objeto mediadas por el instrumento. En esta línea [12], el concepto de génesis instrumental que se reconoce a través de la instrumentalización e instrumentación. La primera relativa al objeto y la segunda al sujeto. Para finalizar, acude al concepto de orquestación instrumental [13], que es la organización y uso (sistemático e intencional) que da el profesor, a los artefactos digitales disponibles en un entorno de aprendizaje computarizado, en una situación de tarea matemática específica, para respaldar la génesis instrumental de sus alumnos [12].

II. metodología

Para comenzar se presentan los objetivos general y específicos de esta investigación.

Objetivo general

Comprender en las situaciones de transformación, cuando el profesor utiliza tecnologías de la información y la comunicación (TIC), la incidencia en el conocimiento matemático para enseñar.

Objetivos específicos

Identificar situaciones de transformación que se presentan en el aula de clase cuando el profesor enseña matemáticas con uso de TIC.

Relacionar las situaciones de transformación con uso de TIC con el conocimiento matemático para enseñar.

Valorar la incidencia de estas transformaciones con uso de TIC en el conocimiento matemático para enseñar.

Esta investigación utiliza el estudio colectivo de casos [14], y tiene como método la interpretación del análisis sobre la práctica de enseñar matemáticas con uso de las TIC. Específicamente, situaciones de la práctica que se configuran como situaciones de transformación en el sentido de Rowland. Estas situaciones son episodios de la práctica observada, que permiten validar, comparar y comprender las creencias y conocimientos del docente acerca del saber matemático y tecnológico para enseñar matemáticas. Tales episodios están determinados por los códigos contributivos de esta categoría de análisis (Elección y Uso de ejemplos, Uso de representaciones, Uso de Procedimientos y Uso de Material Educativo). Los episodios de enseñanza con TIC digitales se caracterizan por ser situaciones de transformación y constituir momentos de orquestación instrumental [12]. Por eso, los episodios son los casos en esta investigación.

Esta metodología se desarrolla en 5 etapas, con 6 docentes de matemáticas que trabajan en colegios públicos de los departamentos de Risaralda y Quindío, egresados de la Maestría en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Tecnológica de Pereira. Primera etapa: entrevista donde se reconocen las creencias y conocimientos matemáticos de los docentes para enseñar con uso de las TIC. Segunda etapa: observación no participante videograbada. Tercera etapa: planificación de una clase de matemáticas con uso de las TIC. Cuarta etapa: observación no participante de la clase, registrada en video. Quinta etapa: entrevista sobre la experiencia de haber utilizado TIC para enseñar el contenido matemático elegido.

El interés de la investigación es observar y analizar los momentos de la práctica docente del profesor de matemáticas que sean situaciones de transformación [5]. Para ello, de ahora en adelante, se llamará episodio, al intervalo de tiempo de la clase de matemáticas, cuando el (la) docente desarrolla un contenido específico con uso del computador. Así, un episodio tiene:

Inicio: Cuando el (la) docente comienza a explicar un contenido con uso del computador

Cierre: Cuando el (la) docente termina la explicación del contenido y pasa a realizar otra actividad.

De otro lado, el desarrollo del contenido es visto como un proceso de explicación donde el (la) docente hace uso de su conocimiento matemático para enseñar [7].

De aquí en adelante, se presentan las estrategias abordadas para organizar la información recolectada en las cinco etapas descritas anteriormente.

A. Primera estrategia de categorización de episodios por observación

Esta estrategia identifica las situaciones de transformación que se presentan en el aula de clase cuando el profesor enseña matemáticas con uso de TIC. Para ello, fueron creadas dos herramientas por docente. Una institucional y otra para la primera clasificación de episodios de las dos observaciones. Ambas pueden observarse en las tablas I, II, III, IV y V:

Identificación institucional

Con estas tres tablas están identificadas las situaciones de transformación, es decir, los episodios que se dieron en el aula con uso de las TIC a la hora de enseñar matemáticas, en las dos observaciones. Cada episodio esta descrito y justificado a través de su código contributivo con una cuantificación como se muestra en la tabla VI y la Fig. 1 donde se observan tendencias:

B. Segunda estrategia de categorización de episodios

La primera estrategia determina 111 episodios. Ésta, determina y describe los totales de los episodios por código contributivo (tabla VII) donde se observa, que la mayor parte (44%) de los episodios están configurados en EUE, que se encuentran en variedad de actividades en el aula de clase. En la Fig. 2, se ven estas relaciones entre los códigos contributivos.

Esta valoración cualitativa de las ocurrencias de 111 episodios ofrece una tendencia marcada por EUE.

C. Tercera estrategia de categorización de episodios

Ésta describe cada episodio e identifica las acciones de enseñanza de matemáticas con uso de TIC en el aula de clase. Además, confirma su pertinencia como situación de transformación y riqueza informativa que indica cómo estas transformaciones con uso de TIC inciden en el conocimiento para enseñar matemáticas. En la Tabla VIII se presenta a modo de ejemplo:

D. Cuarta estrategia de categorización de episodios

Corresponde a la creación de cuatro mapas conceptuales, con las actividades de enseñanza de las matemáticas con uso de TIC encontradas en las descripciones de todos los episodios por código contributivo. Esto tiene como fin hacer más precisa la selección y clasificación de episodios, para asegurar que éstos al final serán los que permitan hacer el análisis y comprender cómo las situaciones de transformación donde haya uso de las TIC inciden en el conocimiento para enseñar matemáticas.

En estos mapas conceptuales (ver Fig. 3, 4, 5 y 6) se evidencian relaciones en los episodios a través de actividades para enseñar matemáticas con uso de TIC (llamadas, también, actividades instrumentadas)

E. Quinta estrategia de categorización de episodios

A partir de los mapas conceptuales (ver Fig. 3, 4, 5 y 6) de las actividades instrumentadas (Rabardel, 2011) en los episodios [5], se relacionan por código contributivo como muestra la tabla IX.

Con la información de la tabla VII se sabe qué acciones en los episodios los caracterizan y qué acciones comparten en la práctica. Por eso, aquellos episodios que tengan relación a través de las acciones son llamados episodios compuestos y los que no episodios simples. Esta relación de acciones, será usada para abordar las interpretaciones de cómo las actividades instrumentadas en situaciones de transformación inciden en el conocimiento para enseñar matemáticas.

De la tabla VII, se desprende la Fig. 7, en el que se observan las relaciones entre las actividades instrumentas con respecto a las situaciones de transformación. Los anuncios de la numeración (Compuesto – Simple, Total) indica la cantidad de actividades que comparten las diferentes transformaciones, y las que le son propias. Total, indica la cantidad total de actividades instrumentadas en cada situación de transformación.

De la Fig. 7, surge su correspondiente diagrama de Venn, Fig. 8.

A partir, de la Fig. 8, quedan determinados 16 episodios simples que corresponden con las actividades instrumentadas no compartidas con otras situaciones de transformación, así:

ER = {Extender, Usar, Comparar}$\to$ 3

Fig. 8. Relaciones de pertenencia de las actividades instrumentadas [15]

EP = {Aclarar} $\to$ 1

EUE = {Responder, Argumentar, Representar, Orientar, Definir, Modelar, Preguntar, Resolver problemas} $\to$ 8

UME= {Contextualizar, Identificar, Replicar procedimientos, Recordar} $\to$ 4

De otro lado, quedan determinamos 6 episodios compuestos que corresponden a las actividades instrumentadas que comparten dos o más tipos de situaciones de transformación, así:

EUE $\cap$EP = {Generalizar} $\to$ 1

ER $\cap$ EUE = {Verificar, Analizar}$\to$2

ER $\cap$ EUE $\cap$ EP = {Simular} $\to$ 1

UME $\cap$ ER $\cap$ EUE = {Explicar} $\to$1

ER $\cap$ UME $\cap$EP = {Mostrar} $\to$1

Con esta clasificación de episodios se determinan 16 simples de los 111 encontrados, a partir de sus actividades instrumentadas. Estos son los episodios que constituyen los casos a analizar.

Para finalizar, se encuentra una manera de nominar los episodios

Situación (es) de transformación (ST) + Contenido (C) + Actividad instrumentada (A)+ Recurso (TIC)

Así, por ejemplo, un episodio que corresponda a una situación de transformación de Elección y uso de Ejemplos (EUE), donde se enseña solución de ecuaciones lineales, mediante una actividad instrumentada (Presentar) con uso de Excel, es nombrada así:

EUE + Solución de ecuaciones lineales + Presentar + Excel

La tabla X corresponde a los episodios simples, que de ahora en adelante se llamarán episodios, por ser aquellos los casos de esta investigación.

En la TABLA XI están los episodios a analizar, que son los casos de mayor importancia de esta investigación, con sus situaciones de transformación, contenido a enseñar, acción instrumentada y recurso TIC:

Con estas estrategias se logra el objetivo No 1 de esta investigación, que corresponde con Identificar situaciones de transformación que se presentan en el aula de clase cuando el profesor enseña matemáticas con uso de TIC a partir de ejemplos, explicaciones, representaciones y material educativo, además, se cualifican los 111 casos en 16.

III. Resultados

A. Etapas y estrategias

La investigación encuentra en sus etapas iniciales que la mayor parte de los docentes utilizan como recurso tecnológico para enseñar matemáticas la herramienta Geogebra, además, que la situación de transformación que más se lleva a cabo es EUE. De otro lado, esta investigación encuentra un procedimiento, a través de 5 estrategias, para refinar la cantidad de casos (episodios) de 111 a 16, teniendo al final aquellos que son representativos y ofrecen la mayor riqueza informativa en la búsqueda de los propósitos de la misma.

B. Relaciones entre el TPACK y el MKT en las situaciones de transformación

La investigación evidencia acciones con el conocimiento movilizado para enseñar matemáticas en busca del equilibrio dinámico entre los subdominios conocimiento tecnológico (TK), conocimiento tecnológico del contenido (TCK) y conocimiento tecnológico pedagógico (TPK) del TPACK, en las situaciones de transformación de ER con el conocimiento del contenido y la enseñanza (KCT), en las situaciones de transformación de elección y EP con el conocimiento con el conocimiento especializado de contenido (SCK), en las situaciones de transformación de EUE con el conocimiento del contenido y la enseñanza (KCT) y en las situaciones de transformación de UME con el conocimiento común del contenido (CCK). En la TABLA XII se observan estas relaciones:

IV. conclusiones

El uso de marcos teóricos integrados en este estudio colectivo de casos brinda experiencias investigativas y teóricas que en cada instante exige preguntar por lo que se está encontrando en cada paso. Esto no es fortuito ya que tamizar en situaciones de transformación (KQ) las prácticas de enseñanza de las matemáticas con diferentes docentes, en distintas localidades (en los departamentos de Risaralda y Quindío), con distintos contenidos (Ecuación de la recta, Traslación de la función Seno, Solución de problemas con razones trigonométricas, Dominio y rango de una función real, Ecuaciones lineales 2X2, Solución de problemas de la ecuación de la recta, Límite de una función) y diferentes recursos tecnológicos (Diapositivas, GeoGebra, Videos, Excel, CloudLab), requiere tomar decisiones que permitan analizar en profundidad aquellas situaciones que sean ricas en información para valorarlas en relación con el conocimiento matemático (MKT) para enseñar y sus subdominios del conocimiento del contenido, para comprender cómo, en contacto con el conocimiento tecnológico y pedagógico del contenido (TPACK), indicen en la manera que el docente moviliza conocimiento matemático a la hora de enseñar con uso de tecnologías de la información y la comunicación.

En esta investigación se evidencia que: a) el CCK adquiere dinamismo, entre la representación del conocimiento matemático movilizado por el docente y la representación que le ofrece la herramienta digital, dada su génesis instrumental, es decir, la reflexión que el docente debe hacer a la hora de explicar desde sus representaciones internas con la representación que le ofrece el recurso digital; b) el SCK es apoyado por el conocimiento tecnológico (TK) para generalizar el uso de un procedimiento en matemáticas con lo cual el docente buscar una orquestación instrumental, es decir, ajustar la génesis instrumental de sus estudiantes con la de él; c) que al disponer de un ejemplo con el que se quiere generalizar, encuentra en su conocimiento tecnológico un aliado estratégico con su SCK para hacer eficiente su labor de enseñar, ya que, valida, verifica y promueve en sus estudiantes la experimentación con el conocimiento matemático, como se constata en los episodios del 5 al 12. d) el uso de representaciones con mediación de las TIC aporta al conocimiento de contenido y la enseñanza (KCT) en lo referente a la posibilidad de comunicar el conocimiento matemático en medio de la secuenciación de la clase con varios tipos de representaciones; e) el uso de ejemplos con herramientas digitales aporta a la secuencia de la clase, a la participación, a la incorporación de aportes de los estudiantes, al KCT, y a la reflexión continua de su conocimiento tecnológico (TK) del docente en busca de la cualificación de sus estrategias de enseñanza.

A pesar, de las fronteras borrosas entre los subdominios de estos marcos teóricos, estas brindan la oportunidad de analizar, la práctica de docentes de matemáticas que enseñan haciendo uso de sus conocimientos matemáticos y tecnológicos para enseñar. También permiten reflexionar acerca de estos límites y su utilidad para comprender el conocimiento matemático que construye el docente en el momento que enseña con uso de estas herramientas digitale

Referencias

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[3]. J. Pinto., M. González, "El conocimiento didáctico del contenido en el profesor de matemáticas: ¿una cuestión ignorada?". Educación matemática, Vol.20, no.3 pp. 83-100, 2008 ISSN 1665-5826. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262008000300005&lng=es&nrm=iso

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[6]. T. Weston, "Using the Knowledge Quartet to quantify mathematical knowledge in teaching: the development of a protocol for Initial Teacher Education". Research in Mathematics Education, Vol 15 no. 3 pp. 286-302, 2013. DOI: 10.1080/14794802.2013.849865

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[14]. R. Stake, Investigación con estudio de casos. Madrid: Morata, 1999.

[15]. J. Amador, "Situaciones de transformación en el conocimiento de la enseñanza de los docentes de matemáticas cuando utilizan Tecnologías de la información y la comunicación (TIC)", tesis doctoral, Universodad Tecnológica de Pereira, Pereira, 2020.

Notas de autor