INTRODUCCIÓN

El Cantón Gualaceo se encuentra ubicado en la Provincia del Azuay-Ecuador, considerado como un cantón turístico y en especial artesanal en la fabricación de calzado, en su mayor parte para dama. En estudios anteriores se presentó una herramienta de la lógica difusa STIM12 (Modelística inteligente para tecnología y simulación) para la innovación de nuevos diseños de calzado de mujer, el cual fue desarrollado llegando a obtener una novedosa bota, este producto ha tenido gran aceptación en el mercado; posteriormente, en un segundo estudio se presentó la rentabilidad de este calzado, determinando los ingresos, costos y beneficios que genera esta producción, mediante la aplicación de variables con la utilización de bandas, tomando en consideración la capacidad de producción en el uso del capital (maquinaria, herramientas y recursos financieros). Los montos de inversión requeridos para la fabricación de esta bota son relativamente bajos en comparación con la industria pudiendo recurrir al mercado de maquinaria usada (Castillo y Cortellese, 1988).

En este estudio se demuestra el equilibrio de mercado de una bota para dama, no partiendo de la manera tradicional en donde los costos e ingresos que genera la fabricación de este calzado se igualan en un punto llamado equilibrio, sino dentro de un área de equilibrio. En su estudio, Bazzani y Cruz (2008:312) establecen que el punto de equilibrio es “determinado al relacionar los costos y gastos fijos con relación al margen de contribución”.

El problema se traduce al poco conocimiento en herramientas de gestión empresarial por parte de los artesanos de calzado del cantón Gualaceo, quienes únicamente se rigen por el volumen de producción y un punto de equilibrio basándose en su propia apreciación, sin contar con valores exactos en cotos fijos y variables. Por esta razón, se hace necesario dotarles de conocimiento científico a esta rama artesanal, determinando el equilibrio de mercado, no de la manera cotidiana, sino aplicando la teoría de subconjuntos borrosos como el expertizaje y contraexpertizaje con la finalidad de reducir la incertidumbre, actuando con límites para cada uno de los costos dentro de un área de equilibrio a través de intervalos de confianza, en donde cualquier valor posible debe situarse entre los valores superior e inferior (bandas), es decir, entre los extremos del intervalo, llegando a determinar las funciones de utilidades máximas y mínimas. Este procedimiento se explicará paso a paso dentro de la metodología. El propósito que persigue esta investigación es dotar de estas herramientas de avanzada a los artesanos de calzado con el fin de mejorar la gestión dentro de sus empresas y, por ende, hacer más efectivo el proceso de toma de decisiones.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

En términos de equilibrio de mercado, Toro (2010:15) indica que “el punto de equilibrio se define como la cantidad del producido tal que iguala los ingresos totales con los costos totales, lo cual equivale a decir que es el volumen de producido para el cual el ingreso operacional es cero”. Por su lado, Bravo y Ubidia (2013:289) manifiestan que “es el punto en el cual el volumen de ventas es igual a los costos totales, por lo tanto la empresa no genera ni utilidad ni perdida (VV = CT)”. En cambio Baca (2013:179) presenta la siguiente definición: “el punto de equilibrio es el nivel de producción en el que los ingresos por ventas son exactamente iguales a la suma de los costos fijos y variables”.

En 1965, Lotfi Zadeh, profesor de la Universidad de Berkeley, publicó su trabajo “Fuzzy Sets”, en el cual se describen los fundamentos matemáticos agregados a la teoría de conjuntos difusos y de ello nace la lógica difusa. Algunos autores han afirmado los conceptos teóricos para conocer la incertidumbre, a través de la lógica borrosa. Reig y González (2002:436) manifiestan: “la lógica borrosa se revela como un instrumento muy potente (…) al permitir, por un lado recoger la incertidumbre generada por el entorno de la empresa, y por otro tratar la subjetividad que implica toda opinión de expertos”.

La incertidumbre es considerada la carencia de seguridad, es decir la falta de conocimiento sobre algo, por ello, Aguiar (2004) indica que las situaciones de incertidumbre se caracterizarían, en cambio, por el hecho de que no sólo se desconoce el resultado final, sino que no se puede predecir tampoco en términos de probabilidades objetivas. Según Ramírez, citado por Mongrut y Ramírez (2004), la incertidumbre es un estado de duda frente a una determinada situación cuyos resultados, causas o características no se conocen en el momento presente o frente a la cual no se sabe cómo actuar. Rico y Tinto (2008) manifiestan que estos sistemas de lógica borrosa al ser más flexibles y aceptar la imprecisión, la subjetividad y la vaguedad (incertidumbre) de los datos, permiten obtener soluciones efectivas para apoyar, de forma acertada, la toma de decisiones. Por su parte, Domínguez y otros (1992:49) definen: “Un número borroso es la asociación de dos conceptos, el de intervalos de confianza ligado, a la incertidumbre y el de nivel de presunción, ligado a la subjetividad”. Se podría indicar que un intervalo de confianza es un proceso lógico y práctico para tratar la incertidumbre.

La lógica difusa, permite utilizar conceptos relativos de la realidad, definiendo grados variables de pertenencia y siguiendo patrones de razonamiento similares a los del pensamiento humano (Kosko, 1995). Otros autores dan a conocer estas herramientas de avanzada, entre ellos: Medina (2006), Aguilar y otros (2003), Gorbaneff y Cabarcas (2009), Rondós y otros (2016), Rico y Tinto (2010), Gutiérrez (2006) y Muela (2009).

Pero son Kaufmann y Gil (1987) quienes definen a un número borroso como una secuencia finita o infinita de intervalos de confianza, obra que ha dado un aporte significativo al conocimiento científico.

METODOLOGÍA

Con la información suministrada por los artesanos de calzado del cantón Gualaceo, se determinan los costos fijos y variables en intervalos de confianza (bandas). Gutiérrez (2006:72) manifiesta que un número borroso asocia dos conceptos: “El de intervalo de confianza que se halla ligado a la noción de incertidumbre y el de nivel de presunción ligado a la percepción del individuo, es decir, a la noción de valuación”. Para ello se aplica la teoría del expertizaje y contraexpertizaje con la finalidad de reducir la incertidumbre.

Teoría del expertizaje y contraexpertizaje

Se entiende por expertizaje al proceso de consulta a un grupo determinado de expertos en relación con un tema definido, con el propósito de acotar la incertidumbre. Medina (2006) explica que experto es todo individuo con habilidades y destrezas, así como adecuadamente capacitado en el tema objeto de consulta gracias a la experiencia empírica, profesional o académica. Para aplicar esta teoría se consultó a un grupo de expertos (artesanos del calzado), quienes opinaron sobre los costos unitarios que representan fabricar un par botas para dama, al mismo tiempo su criterio sobre la influencia de estos costos con relación a los precios de materiales, mano de obra y costos indirectos, en intervalos de confianza (bandas), lo expuesto se indica a continuación:

Una de las herramientas más utilizadas de la lógica difusa para reducir la entropía y ajustar los valores examinados es la escalada endecadaria. Kaufmann y Gil (1987:26) expresan: “La introducción de una valuación matizada entre 0 y 1 permite hacer intervenir niveles de verdad en la noción de incidencia. (…) Valores de 0 a 1 (la llamada valuación endecadaria)”. La escala requerida se presenta en tabla 1.

Tabla 1
Escala endecadaria

Elaboración propia.

En referencia a la escala endecadaria de la tabla 1, se solicita al grupo de artesanos señalar la incidencia que consideren entre los diferentes valores. A modo de ejemplo se indica los resultados obtenidos respecto a la influencia de la banda [$6, $10], se preguntó: Que influencia tiene el precio unitario que usted paga por un metro de sintético, con relación al precio de 6 dólares, y al precio de 10 dólares. Las respuestas de los catorce encuestados se muestran en la Tabla 2:

Tabla 2
Opinión de los expertos

Elaboración propia.

Con respecto a la banda inferior (Bi) 0,0 se repiten dos veces, 0,1 se repite una vez, 0,2 seis veces y así sucesivamente dando un total de 14 expertos. Con referencia a la banda superior (Bs) 0,7 se repite tres veces, 0,8 cinco veces y se continúan para completar el total de expertos, relacionado únicamente a la primera pregunta.

Normalizar la serie es el siguiente paso de esta herramienta, consiste en dividir los valores de frecuencia obtenidos para cada grado de presunción de la escala endecadaria para el número de expertos (14), en cada banda, así para la banda inferior (Bi) el valor 2÷14 = 0,14; 1÷14 = 0,07; y, 6÷14 =0,43, así sucesivamente, igual procedimiento se realiza para la banda superior (Bs). Luego se inicia con la acumulación desde el final de la serie y se detiene hasta que se obtiene el valor de la unidad, de ahí en adelante todos los valores serán uno en cada una de las bandas. Se realiza la sumatoria de la acumulación de frecuencias, sin considerar el grado de presunción α igual a cero, el resultado se indica en la tabla 3.

Tabla 3
Serie normalizada y acumulación de frecuencias

Elaboración propia.

Partiendo del intervalo [Bi-Bs], Rico y Tinto (2010:133) definen “el contraexpertizaje es un procedimiento aritmético con base en los subconjuntos borrosos que permite disminuir la entropía en las variables o categorías estudiadas mediante la aplicación de la fórmula: Ei + ([Es - Ei] × expertón)”. Para el presente estudio se considera la banda inferior y superior, denotada por [Bi-Bs], el expertón se calculó en la tabla 3 (acumulación de frecuencias). Desarrollando la fórmula con relación al intervalo [$6, $10] de la pregunta sobre el precio del metro de sintético para la fabricación de un par de botas para dama, se obtiene:

Bi + ([Bs - Bi] × expertón)

6 + ([10 – 6] × expertón)

6 + (4 × expertón).

Este procedimiento se aplica para cada una de las filas del grado de presunción, para finalizar se suman las columnas correspondientes a las bandas inferior y superior contraexpertizadas, se procede a dividir entre 10, obteniendo el intervalo [$6,97,$9,31], el cual indica la reducción de la banda en lo que se refiere al precio del metro de sintético. Lo explicado se muestra en la tabla 4.

Tabla 4
Valores del contraexpertizaje

Elaboración propia.

Como se puede observar, de la banda original [$6, $10] y aplicando esta herramienta se acota la entropía existente en el intervalo a los valores de [$6,97, $9,31], estos valores incluso puede seguir reduciéndose las veces que sea necesario siguiendo los pasos descritos. Para el caso del presente estudio la aplicación del expertizaje y contraexpertizaje se realizó para todos los costos de producción de un par de botas para mujer, con ello se demuestra la reducción de la imprecisión de valores, la subjetividad y la incertidumbre; llegando a bajar la entropía de los datos.

Área de Equilibrio

Para determinar el área de equilibrio se han utilizado los datos referentes a la producción dentro de un mes, la cual está representada en la banda [120, 140] unidades, es decir pares de botas para dama, los costos fijos y costos variables unitarios se presentan en las siguientes tablas.

Tabla 5
Costos Fijos mensuales

Elaboración propia.

Tabla 6
Costos Variables Unitarios

Elaboración propia.

Los costos fijos se dividen entre la producción, dando costos fijos unitarios, los cuales se suman a los costos variables unitarios, este resultado es [$25,24, $28,19], a estos valores se incrementa el porcentaje obtenido en la información suministrada por los artesanos del calzado, el cual se representa una banda comprendida entre el 20% y 25% de rentabilidad dentro de su sector, entonces el precio de venta se encuentra en el intervalo [$30,29, $35,23]. Para determinar el umbral de equilibrio se aplica la siguiente fórmula:

(1)

Sustituyendo los datos se tiene:

La operación que se aplica en el denominador representa una resta de intervalos de confianza, cuya regla es:

Aplicando la regla de división de intervalos de confianza, se tiene:

Por lo tanto el margen de contribución, en las estimaciones mínimas y máximas de las ventas esta expresado a través de:

Esto quiere decir que el nivel de producción estará entre los intervalos de confianza [28,20, 71,33] unidades. Otra forma para determinar la cantidad de equilibrio en bandas es la analítica en donde se determinan los ingresos máximos y mínimos, llegando a obtener el mismo resultado. Lo expresado se denota a continuación:

(2)

El equilibrio se logra cuando I_min=C_T de donde se obtiene q₁=71,33 unidades, que es la posición más desfavorable, pero es una valiosa información saber que si se producen más de la cantidad señalada la utilidad seguro es positiva. Sustituyendo en I_min=30,29* q₁ el valor de q₁=71,33 unidades, se tiene: I_min= 30,29*71,33 = 2.160,51 dólares.

De manera análoga se llega a determinar el valor de q₀:

El equilibrio se alcanza cuando I_máx=C_T,de donde se obtiene q₀=28,20 unidades, que es la posición más favorable, si se producen menos de esta cantidad seguro que la utilidad será negativa. Sustituyendo en I_máx=35,23*q₁ el valor de q₀=28,20 unidades, se tiene: I_máx=35,23*28,20=993,63 dólares.

Gráfico 1
Umbral de Equilibrio
Elaboración propia.

Como se demuestra en el gráfico 1, el umbral de equilibrio está representado por el área del paralelogramo comprendida entre los puntos ABCD, esto quiere decir que el nivel de producción para cubrir los costes estará entre los intervalos [28,20, 71,33] unidades. Paralelamente a este resultado se determinan las funciones de las utilidades mínimas y máximas de la siguiente manera:

(3)

Sustituyendo con las ecuaciones encontradas se tiene:

De igual manera se determina las utilidades máximas:

(4)

Sustituyendo las ecuaciones encontradas se obtiene:

Gráfico 2
Utilidades Máximas y Mínimas
Elaboración propia.

En el gráfico 2, se puede observar el intervalo de equilibrio Q_e = [28,20 , 71,33] determinado por las intersecciones con el eje de las abscisas de las dos funciones de utilidad graficadas.

RESULTADOS

Partiendo como base de la información obtenida de los artesanos de calzado del cantón Gualaceo, y con el apoyo de herramientas de avanzada de la lógica difusa se llegó a los siguientes resultados:

1. 1. Con la de la aplicación de la teoría del expertizaje, se determinó el expertón que sirvió como punto de partida para determinar las bandas de cada una de las preguntas realizadas a los expertos, por ejemplo, en la primera pregunta concerniente al precio del metro de sintético se inició con el intervalo [$6, $10], aplicando el contraexpertizaje se redujo el domino a [$6,97, $9,31], realizando el mismo proceso para las demás preguntas se obtuvo las bandas de los costos fijos y costos variables unitarios, que respectivamente son [$352,55 , $370,19]; y [$22,73 , $25,10].
2. 2. Los resultados anteriores sirvieron para determinar el umbral de equilibrio cuya aplicación de fórmulas con bandas llevo a encontrar un área de equilibrio comprendida entre Q_e= [28,20 , 71,33] unidades.
3. 3. Las funciones de las utilidades máximas y mínimas se determinaron a partir de: U_máx=12,5*q₀-352,55; y U_min=5,19*q₁-370,19, donde el umbral de equilibrio se encuentra en el eje de las abscisas, coincidiendo con el intervalo de confianza determinado en el área de equilibrio.

DISCUSIÓN

La utilización de estas herramientas de avanzada de la lógica difusa, permiten reducir la incertidumbre que generan los intervalos de confianza, a través de la teoría del expertizaje y contraexpertizaje, mismos que podrían ser acotados aún más, si es que se realizara nuevamente el contraexpertizaje con la finalidad de eliminar la subjetividad de los datos. Además, el umbral de equilibrio permite a los artesanos tener una mejor visión en el momento de tomar decisiones ya que al basarse en varios puntos del área, el margen de error disminuye. Estos valores se compararon a través de dos procesos: en forma de intervalos de confianza y analíticamente, comprobando la veracidad de los resultados, finalmente, se obtuvieron las funciones de las utilidades máximas y mínimas, donde la producción de q≥28 unidades, es la opción más favorable que la producción de q≥71 unidades, ya que al producir más unidades mayores serían sus costos.

Con este estudio se pretende entregar al artesano de calzado del cantón Gualaceo, una nueva forma de determinar la producción máxima y mínima que debería realizar para la confección de nuevo modelo de bota para dama, pretendiendo con ello que este artesano pueda tomar una decisión en el momento adecuado.

CONCLUSIONES

Al determinar el equilibrio de mercado con aplicación de la teoría de subconjuntos borrosos como el expertizaje y contraexpertizaje bajo condiciones de incertidumbre, se puede observar que no se calculó únicamente un punto, sino un intervalo de equilibrio, por lo que se evidencia un umbral de rentabilidad. El nivel de producción de una bota para dama, al encontrarse dentro de los extremos del intervalo, indica que se encuentra dentro de la zona borrosa con gran incertidumbre.

El modelo borroso que se presenta en este estudio, permite operar con limites dentro de los costos fijos y variables, donde la incertidumbre actúa dentro de una área de equilibrio, mediante el cual puede manejarse para cuantificar las cantidades a ser producidas, con el propósito de obtener mayor beneficios, que es el deseo de todo artesano.

Para finalizar, este tipo de herramienta de avanzada que parte de la lógica difusa, permite trabajar en modelos bajo incertidumbre, además, se pueden observar las funciones de utilidades máximas y mínimas actuando dentro de un ámbito favorable y desfavorable, ya que al producir más de lo estimado en la banda superior se estaría incurriendo en mayores costos. De esta manera, se entregan a los artesanos del calzado del cantón Gualaceo, estas herramientas con el propósito de mejorar la gestión empresarial.

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Notas de autor