Introducción

Los registros de aceleración que aparecen en la página de la Base Mexicana de Datos de Sismos Fuertes [1] son un insumo importante para la investigación en Ingeniería Sísmica en México, sus valores se han obtenido a partir de los datos almacenados en los equipos que se encuentran instalados en diferentes estaciones en la República Mexicana, principalmente en la Ciudad de México.

La gran variedad de equipos instalados implica señales que no son equivalentes en resolución, lo que dificulta realizar postprocesos de registros con largos intervalos, aún para la misma estación.

La observación directa de una historia de aceleración puede no permitir apreciar si se trata de un registro cuya calidad sea adecuada para su empleo en análisis posteriores, por lo que se utilizan diferentes criterios que permiten considerar este aspecto.

Aunque físicamente la velocidad es la integral de la aceleración, se ha observado que al integrar numéricamente las señales para obtener el registro equivalente a la velocidad o al desplazamiento, hay un corrimiento tal que la señal no termina en cero, como sería de esperarse en el fenómeno real, para el cual la velocidad final necesariamente debe ser cero. Lo anterior debido a causas que tienen que ver con el propio instrumento de medición [2]. El desplazamiento final no necesariamente debe ser cero, como se hace evidente al formarse grietas en el suelo después de un sismo

El procedimiento habitual para corregir este corrimiento consiste en utilizar algoritmos de ajuste de la línea base o la aplicación de filtros para atenuar el ruido [3]. Sin embargo, no existe un parámetro que garantice que después de la aplicación de estos algoritmos la señal es confiable para ser procesada.

Por lo anterior, este trabajo pretende responder a las preguntas ¿es el análisis mediante la Ley NB una herramienta que asegure la calidad de un registro acelerográfico? y ¿Es posible corregir mediante procedimientos estándar un registro acelerográfico que inicialmente no cumple con la ley para que lo haga?

El presente trabajo tiene como objetivos verificar que la Ley NB se puede aplicar a las señales acelerográficas para asegurar la calidad de los registros, y aplicar un procedimiento que pretenda que señales que no cumplen con la Ley se corrijan y tengan un comportamiento satisfactorio.

Fundamentos teóricos

En el siglo XIX el astrónomo Simon Newcomb [4], al observar el desgaste no uniforme de las hojas de las tablas de logaritmos, publicó un artículo en el cual postula que las cantidades producto de observaciones naturales, dado que las tablas eran empleadas por científicos de varias disciplinas, poseían dígitos iniciales que no se distribuyen uniformemente, sino que obedecen a una “ley” logarítmica propuesta por él mismo, en forma de enunciado, “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables”.

En 1938 Frank Benford publicó otro documento [5], en el que observó que la misma propiedad se presentaba al analizar estadísticamente las frecuencias de 20,229 lecturas de 20 series procedentes de campos tan diferentes como cantidad de habitantes en las poblaciones, longitudes de ríos, estadísticas de béisbol, domicilios, etc. Su conclusión es que esta ley aplica particularmente a aquellas series en las que los números no tienen una relación aparente. Esta afirmación abre dos posibilidades: que la ley sea aplicable a números aleatorios, o bien, a dígitos con un orden implícito, aunque no evidente. Por estas dos contribuciones a esta particularidad de los primeros dígitos se le denomina Ley de Newcomb-Benford (NB).

La aplicabilidad de la Ley NB en registros sísmicos, así como la diferencia que se presenta en series sustitutas, deterministas o aleatorias fue utilizada por Villagrán et. al. [6] y ha sido demostrada ampliamente en el análisis de fenómenos naturales, esto es, sin más intervención humana que la medición. Por otra parte, cuando los datos poseen algún tipo de participación social, como pueden ser los procesos electorales, los indicadores pueden no ajustarse a la Ley como lo muestra Gonzalo Castañeda [7].

La Ley NB es de escala invariante, esto es, que no importa las unidades de los datos o si éstos se transforman a otro sistema [8], o bien, si sus magnitudes son grandes o pequeñas, por lo que, en nuestro caso, no es relevante que las unidades de los acelerogramas estén definidas en gales (1gal = 1cm/s.) o porcentajes de . (aceleración gravitacional estándar).

Materiales y métodos

Se consultó la página de la Red Acelerográfica del Instituto de Ingeniería de la UNAM-Base de datos de registro [1], y como sitio icónico a partir de septiembre de 1985, se seleccionaron las estaciones SCT1 y SCT2, con todos los registros reportados hasta diciembre de 2017 (20 y 53 eventos, respectivamente).

Se procesaron los registros utilizando un algoritmo para determinar si cumplen o no con la ley NB.

A todos los registros se les aplicaron 12 combinaciones entre corrección de línea base y distintas opciones de filtro, mediante el software SeismoSignal [9], para que cumplieran con que la velocidad final fuera muy cercana a cero. Una vez identificada la combinación con la que cada registro cumple con los criterios anteriores se construyó una tabla resumen con los parámetros de filtrado utilizados. Posteriormente se realizó una segunda revisión y se reclasificaron los registros, separando a los que cumplieron de los que no. Finalmente se integraron los resultados encontrados y se presentan las conclusiones obtenidas.

Los datos sísmicos fueron proporcionados por la Red Acelerográfica del Instituto de Ingeniería [1], producto de las labores de instrumentación y procesamiento de la Unidad de Instrumentación Sísmica. Los datos son distribuidos a través del Sistema de Base de Datos Acelerográficos en web: http://aplicaciones.iingen.unam.mx/AcelerogramasRSM/.

Entre ellos se identificaron las diversas fuentes de origen, las Figuras 1 y 2 muestran la ubicación geográfica de los epicentros correspondientes a los registros considerados en el análisis para las estaciones SCT1 y SCT2, respectivamente. Al mismo tiempo, las Tablas 1 y 2 presentan los datos que corresponden a los acelerogramas, incluyendo su fecha, hora universal, distintas magnitudes, aceleración máxima en cm/s. y el nombre del registro.

Resultados y discusión

De los tres canales que reporta cada estación, se eligió aquél que contuviera la mayor aceleración en valor absoluto, en todos los casos se trató de aceleraciones horizontales.

Para cada registro se identificó el primer dígito significativo de cada lectura y se contabilizó el número de veces en que coincidía con alguno de los primeros nueve números naturales. El número de veces de cada

dígito entre el total de lecturas proporciona el porcentaje de dicho primer dígito con respecto al total. Posteriormente se graficaron los dígitos del 1 al 9 en el eje de las abscisas y el porcentaje de cada primer dígito en las ordenadas, simultáneamente con la probabilidad de ocurrencia de Benford (Ecuación 1).

Donde F_aes la probabilidad de ocurrencia del dígito . en la primera posición de los números de la serie.

Ya desde el artículo original de Benford [5] se infiere que la distribución de probabilidad no es una ley en el sentido estricto, pero sí marca una tendencia muy clara, por lo que en el análisis se utilizaron tres criterios:

1. 1. Criterio de semejanza, 100 % visual,
2. 2. Que la cantidad de veces que se repite cada dígito vaya decreciendo conforme avanzan los dígitos.
3. 3. Criterio de discrepancia, que se explica más adelante.

La Figura3 presenta la comparación de diferentes registros sísmicos con la ley NB, en las figuras a) y b) se observan registros cuya tendencia coincide satisfactoriamente, mientras que en las figuras c) y d) las discrepancias son evidentes. La observación de los registros por sí solos no proporciona información suficiente como para apreciar esta diferencia.

La Figura 4 presenta las gráficas de aceleración, velocidad y desplazamiento correspondientes a un canal de un registro acelerográfico, antes de aplicar filtros. Como se aprecia, la velocidad al final del registro no es cero, por lo que se precisa realizar correcciones que ayuden a que la señal cumpla con esta condición física necesaria. Entre los registros analizados se observó que la cantidad de decimales con que cuentan varía en función del equipo que los registró. Para los registros obtenidos en la estación SCT1 se encontró que la cantidad de decimales era únicamente de dos, puesto que el equipo DCA-333 cuenta con una resolución de 12 bits, mientras que los registros más recientes de SCT2 corresponden a equipos IDS y K2, cuya resolución es de 16 y 18 bits respectivamente, lo que permite definir la señal hasta cuatro decimales [11]. Además de la resolución de los equipos, la duración de los registros varía también en función de los modelos, ya que los DCA permitían registrar con un preevento de 4 s y un postevento de 14 s, mientras que los equipos IDS y K2 permiten programar preeventos y posteventos que llegan hasta 60 s. Lo anterior, puede provocar el truncamiento de las señales más antiguas en el final del registro (aceleración diferente de cero). Como consecuencia de ello las velocidades finales al calcularse matemáticamente no concluyen en cero y, por lo tanto, el desplazamiento tiende a crecer o decrecer indefinidamente.

A las señales seleccionadas se les realizaron 12 combinaciones de correcciones de línea base (constante, lineal, cuadrática y cúbica) con tres opciones de filtro pasabanda (Butterworth, Chebyshev y Bessel). Para cada combinación se revisó nuevamente el cumplimiento de la ley NB y se distinguieron los registros que la cumplían de aquellos que no, destacando la combinación con la que la cumplieran mejor.

La Tabla 3 presenta las combinaciones aplicadas a los registros de la estación SCT1, donde los símbolos indican aquellos filtros con los que la señal cumple con la ley NB.

La Tabla 4 presenta condiciones similares a la tabla 3, para los registros de la estación SCT2.

De las Tablas 3 y 4 es posible apreciar que no existe una combinación que sea aplicable a todos los registros para hacerlos cumplir con la Ley NB, aun tratándose de la misma estación, lo que se observa porque en ninguna columna aparecen sólo símbolos de ✔.

Para algunos registros, aparentemente, es indistinta la combinación a aplicarse para cumplir con la Ley, sin embargo, no son equivalentes como lo muestra la Figura 5.

Desde el punto de vista de los autores, la mejor opción de corrección para este registro es alguna de las dos últimas de la figura 5c).

Un criterio menos subjetivo consiste en calcular un valor de “discrepancia” con respecto a los valores esperados de acuerdo con la Ley NB. Se calcula el porcentaje de discrepancia de cada dígito y la suma de todos éstos es lo que se presenta como valor. La tabla 4 presenta los registros que después de ser sometidos a los procesos de filtrado y corrección de línea base cumplieron con la Ley NB con una discrepancia menor o igual al 10 %. Se puede decir que cuánto más se relaja este valor un mayor número de registros cumplen con la Ley.

Por otra parte, se observa de las tablas 3 y 4 que existen algunos registros para los cuales ninguna combinación de corrección satisface la Ley NB. Nuevamente, desde nuestro punto de vista, estos registros deberían considerarse “anómalos”, por lo que no se recomienda su uso para análisis posteriores.

Tal es el caso del registro 16 de la estación SCT1, como se observa en la figura 6. Se presentan solamente las gráficas de forma ilustrativa, ya que para las distintas opciones de corrección de línea base con cada filtro, las gráficas son muy similares.

Aún después de procesar las señales puede continuar la incertidumbre acerca de la calidad original del registro, por lo que la Ley NB resulta nuevamente un instrumento que puede ayudar a definir si la señal puede ser utilizada para otros análisis o es preferible no utilizarla.

Conclusiones

Se presenta un procedimiento para calificar la calidad de los registros acelerográficos mediante el uso de la Ley NB. La visualización de los acelerogramas como historias de tiempo, permite determinar en forma inmediata la calidad de la señal, si se cuenta con experiencia en el manejo de este tipo de información, sin embargo, la Ley NB puede ser una herramienta de análisis adicional que permitirá revisar los datos en forma rápida y verificar si los datos del registro cumplen con ella y, en caso de no hacerlo este puede ser un indicio de la posible existencia de anomalías.

Después de aplicar la corrección de la línea base y algún método de filtrado, no se tiene la certeza de que la señal obtenida haya corregido las posibles anomalías, por lo que al aplicar nuevamente la comparación con la distribución de la Ley NB es posible no sólo esta verificación, sino la selección de la combinación más adecuada para cada señal.

El criterio de discrepancia permite al usuario establecer la tolerancia que desea con respecto a la calidad de la señal a partir del parámetro definido.

Cuando un registro no cumpla con la Ley NB, incluso después de aplicarle correcciones, se recomienda realizar una inspección meticulosa de la señal, en el dominio del tiempo, con el propósito de identificar posibles fuentes anómalas y que pueden ser eliminadas en forma sencilla. Si después de lo anterior, la señal sigue sin cumplir con la Ley NB se recomienda no utilizarla en futuros análisis.

Dadas las características de aplicabilidad de la Ley NB a señales de tiempo obtenidas a partir de fenómenos naturales, este procedimiento es útil para analizar la calidad de otros tipos de registros.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la empresa SeismoSoft por otorgar la licencia académica para el uso del software SeismoSignal, con el que se realizaron los procedimientos de corrección de línea base y aplicación de filtros digitales a todas las señales. También se extiende un reconocimiento a la Unidad de Instrumentación Sísmica del Instituto de Ingeniería de la UNAM por las actividades de operación y mantenimiento que desarrolla para la obtención de los registros sísmicos.

The authors wish to express their gratitude the SeismoSoft company for give us the academic license authorization for the use of the SeismoSignal software, with which the baseline correction procedures and application of digital filters were carried out for all signals. Recognition also extends to the Seismic Instrumentation Unit of the Engineering Institute of the UNAM for the operation and maintenance activities it develops to obtain seismic records.

Referencias

[1] II-UNAM (2019) Base de datos de registros acelerográficos de la RAII-UNAM, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, 2019. Recuperado el 15 de junio de 2018 de: http://aplicaciones.iingen.unam.mx/AcelerogramasRSM/Consultas/FiltroAv.aspx.

[2] Hu Guorui y Lu Tao. (2015) “Review on Baseline Correction of Strong-Motion Accelerogram. International Journal of Science”, Technology and Society. Vol. 3, No. 6, 2015, pp. 309-314. Doi: 10.11648/j.ijsts.20150306.16.

[3] Trifunac, M. D. (1971) “Zero Baseline Correction of Strong-Motion Accelerograms”, Bulletin of the Seismological Society of America, Vol. 61, No. 5, pp. 1201-1211. October, 1971. Recuperado el 13 de noviembre de 2018 de: https://pubs.geoscienceworld.org/ssa/bssa/article-abstract/61/5/1201/116920/zero-baseline-correction-of-strong-motion?redirectedFrom=fulltext.

[4] Newcomb, S. (1881) “Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers”, American Journal of Mathematics, Vol. 4, No. ¼, pp. 39-40. Recuperado el 20 de febrero de 2019 de: https://www.jstor.org/stable/2369148?seq=1#metadata_info_tab_contents, American Journal of Mathematics is currently published by The Johns Hopkins University Press.

[5] Benford, F. (1938) “The Law of Anomalous Numbers, Proceedings of the American Philosophical Society”, Vol. 78, No. 4, Marzo 31, 1938, pp. 551-572, publicado por American Philosophical Society, recuperado el 1 de abril de 2016 de: http://www.jstor.org/stable/984802 .

[6] Villagrán A., E. I., Posada S., A. E., Escobar S., J. A. (2011) “Caracterización de Acelerogramas como Series de Tiempo Caóticas”. Memorias del XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, Noviembre de 2011, Aguascalientes, México.

[7] Castañeda, G. (2011) “La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales”, Política y Gobierno, Volumen XVIII, Número 2, II semestre de 2011, pp. 297-329, México, Enero de 2011, ISSN-1665-2037.

[8] Hill, T. P. (1995). “The Significant-Digit Phenomenon”, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, Abril de 1995, p. 322 – 327, recuperado el 8 de marzo de 2019 de: http://works.bepress.com/tphill/31/.

[9] SeismoSoft (2016) SeismoSignal, Versión 2016, Obtenido de: http://www.seismosoft.com con licencia académica.

[10] Google LLC (2018) Mapa de México en Google Earth, elaborado el 12 de octubre de 2018.

[11] Alcántara N., L., Torres N., M., González-Pomposo, G. J., Ayala H., M., Almora M., D., García Sánchez, F., Posada S., A. E., López-Pimentel, J. M., Macías C., M. A., Morales R., G., Ruiz G., A. L., Flores A., M., Vázquez L., R., Vázquez M., E. y Jiménez B., J. (2008) La red de Acelerógrafos de la Ciudad de Puebla, Informe de actividades de 2004 a 2007, Reporte: RACP-II/BUAP-09, Proyecto 1578, Junio 2008, México, D.F.

Notas de autor

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ingeniería, 14 Sur y Av. San Claudio, S/N, Puebla, México, C. P. 72570, Tel. 2222295500, Ext. 7644, iram.villagran@correo.buap.mx.