En las investigaciones realizadas en Matemática Educativa encontramos diferentes posturas respecto a la definición de conexiones matemáticas, sin embargo, no hay consenso sobre cómo entenderlas. Por ejemplo, para Godino, et al. (2003) implican establecer relaciones entre distintos objetos matemáticos. La postura del NCTM (2007) es consistente con esta caracterización, pero agrega que es un proceso matemático a través del cual los estudiantes pueden ampliar su comprensión de la matemática basándose en conocimientos previos. Para Singletary (2012), una conexión matemática es una relación entre entidades matemáticas o entre estas y aquellas no matemáticas.

Por su parte, Businskas (2008) considera que las conexiones matemáticas son relaciones verdaderas sobre la base de las cuales está estructurada la matemática y son independientes del estudiante, además son las relaciones mediante las cuales los procesos del pensamiento construyen la matemática. De Gamboa y Figueiras (2014) las entienden como una red de enlaces que permiten coordinar nuevos significados. Consistente con esta postura, Eli et al. (2013) asumen que son un enlace en el que se utilizan conocimientos previos o nuevos para establecer o fortalecer la comprensión de las relaciones entre ideas matemáticas, conceptos y representaciones.

García-García y Dolores-Flores (2018) recogen las posturas previas, pero centradas en el quehacer de los estudiantes y entienden a las conexiones matemáticas como un proceso en el que una persona establece una relación verdadera (matemáticamente consistente) entre dos o más ideas, conceptos, teoremas, procedimientos, significados, etc., entre sí, con la vida real o con otras disciplinas. Estas emergen, según los autores, en el momento en que los estudiantes resuelven tareas específicas y se pueden identificar en sus producciones escritas y en los argumentos orales o gestuales que desarrollen. Esta es la definición que se asume en la investigación.

La literatura en Matemática Educativa muestra que no hay un enfoque único para estudiar conexiones matemáticas. Por ejemplo, encontramos investigaciones como las de Businskas (2008) y Eli et al. (2013) que, a partir de sus datos, construyen algunas categorías de conexiones matemáticas que los profesores de matemáticas establecen. Sin embargo, es posible que los estudiantes utilicen otras tipologías no identificadas en esas investigaciones. Por esta razón, nosotros utilizamos las tipologías propuestas por García (2018) y García-García (2019) como un marco de referencia para estudiar conexiones matemáticas (ver ) porque fueron construidas a partir de datos colectados con estudiantes (aunque lo hacen para el concepto de derivada e integral). Creemos que el uso de este marco puede extenderse a cualquier otro concepto involucrado en las tareas matemáticas que resuelvan los estudiantes. En este sentido, consideramos que esta investigación podría validar esta conjetura, este es, entre otros, el aporte de este estudio.

El marco de referencia considerado se estructura en las siguientes tipologías de conexiones matemáticas, las mismas que son consideradas en esta investigación.

• Procedimental. Aparece cuando alguien utiliza reglas, algoritmos o fórmulas establecidas dentro de un registro semiótico para resolver tareas matemáticas. Tales conexiones son de la forma A es un procedimiento utilizado cuando se trabaja con el objeto B. En este sentido, puede incluir todo aquel medio que sirva para llegar a un resultado, por ejemplo, usar una gráfica como procedimiento.

• Representaciones diferentes. Esta emerge cuando un mismo concepto matemático es expresado en registros semióticos diferentes, por ejemplo: lenguaje natural-gráfico, algebraico-gráfico, numérico-tabular, etc. O bien, expresado en dos formas distintas dentro de un mismo registro.

• Característica. Se manifiesta cuando un estudiante es capaz de identificar un atributo invariante o rasgo de un concepto matemático que lo puede distinguir de otro. O bien, para identificar elementos comunes entre dos o más conceptos, procedimientos o representaciones distintas.

• Reversibilidad. Es referida a las relaciones bidireccionales entre dos operadores matemáticos, es decir, se puede partir de un concepto A para llegar a un concepto B e invertir el proceso partiendo de B para regresar al A. Esto implica que los estudiantes pueden partir de un punto final y seguir el curso de un razonamiento hasta llegar a un punto inicial y viceversa.

• Significado. Se identifica cuando los estudiantes le atribuyen un sentido a un concepto matemático en tanto lo que para ellos es (que lo hace diferente de otro) y lo que representa, puede incluir la definición que ellos han construido para estos conceptos. Asimismo, incluye su contexto de uso.

• Parte-todo. Se exterioriza en el momento en que los estudiantes establecen relaciones lógicas entre conceptos matemáticos, bien sean de generalización (entre casos generales y particulares) o de inclusión (un concepto matemático contenido en otro).

Figura 1
Tipologías de conexiones matemáticas (Adaptada de García, 2018, p. 166).

La investigación se llevó a cabo en una universidad pública de Cali, Colombia, en una Facultad de Ingeniería -donde estudian las funciones exponencial y logarítmica en primer semestre en la asignatura de Cálculo I- y en una Facultad de Educación y Pedagogía -donde las funciones en estudio las trabajan en segundo semestre en la asignatura de Iniciación al Álgebra-. Los programas académicos en esta institución tienen una duración de cinco años (equivalente a 10 semestres en México).

Los participantes fueron siete estudiantes universitarios (dos hombres y cinco mujeres) de diferentes semestres, cuatro de ellos, de la licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas y, los otros tres, de Ingeniería. Para seleccionar a los estudiantes se consideraron los siguientes criterios: (1) que hubiesen cursado y aprobado el curso de Iniciación al Álgebra, para el caso de los de licenciatura y, Cálculo I, para el caso de los ingenieros y, (2) que estuvieran dispuestos a colaborar de manera voluntaria en esta investigación. Los estudiantes no cursaban los mismos semestres ni la misma carrera. En adelante, llamaremos a estos casos como: E1, E2, E3, E4, E5, E6 y E7.

Los estudiantes de licenciatura son E1, E2, E3 y E4. E1 tenía 22 años y se encontraba cursando octavo semestre; E2 tenía 20 años y cursaba sexto semestre; E3 tenía 20 años y cursaba cuarto semestre y E4 tenía 23 años y cursaba décimo semestre. Los estudiantes de ingeniería son E5 de 19 años que cursaba sexto semestre de Ingeniería Industrial; E6 de 30 años que cursaba décimo semestre de Ingeniería Eléctrica y E7 de 21 años que cursaba noveno semestre de Ingeniería Civil.

Para la construcción y diseño de las Entrevistas Basadas en Tareas, Goldin (2000) establece diez principios, de los cuales se consideraron los siguientes: se seleccionaron tareas que fueran asequibles a los sujetos que las van a desarrollar; tareas que incluyen estructuras ricas en representaciones; se fomentó la libre resolución de problemas; se decidió previamente qué grabar tanto como fue posible; se prepararon entrevistas y un test piloto y se previeron nuevas posibilidades o imprevistos.

Considerando estos criterios se analizaron las tareas sobre las funciones exponencial y logarítmica que plantean los libros de texto: Precálculo de Stewart et al. (2012) y Cálculo deLarson y Edwards (2010), además del documento la teoría de los campos conceptuales y la conceptualización en el aula de matemática y física de Otero et al. (2014). Se buscó que esas tareas fueran asequibles y permitieran una variedad de reflexiones y argumentos de los estudiantes al momento de resolverlas. Una vez diseñado el instrumento inicial con seis tareas, fue validado mediante dos procedimientos: una validación de expertos -fue valorado por tres investigadores que han trabajado en la línea de conexiones matemáticas- y una aplicación piloto con estudiantes de bachillerato y de nivel superior. Hecha la validación, se rediseñaron las tareas quedando conformado el instrumento final por cuatro tareas (tabla 1 y figura 2).

Mientras los estudiantes resolvían cada tarea, se plantearon preguntas auxiliares para indagar o profundizar en el razonamiento que ponían en juego. Por ejemplo, en la tarea 3.d. se plantearon dos preguntas que fueron consideradas en el protocolo utilizado por el entrevistador: ¿Existe alguna relación entre las dos funciones encontradas? ¿Cuál? Asimismo, se recopiló información sobre datos personales de los participantes.

Tabla 1
Tareas planteadas a los estudiantes

Figura 2
Gráfica de la tarea 2.

Para el análisis de los datos se empleó el Análisis Temático, el cual permite identificar y examinar patrones en datos cualitativos (Clarke y Braun, 2013). Su objetivo es identificar patrones de significados (temas) a través de un conjunto de datos proporcionados por las respuestas a la pregunta de investigación planteada. Según Braun y Clarke (2006), “un tema capta algo importante acerca de los datos en relación con la pregunta de investigación y representa cierto nivel de patrón respuesta o significado dentro del conjunto de datos” (p. 86, traducción nuestra). Elegimos usar este método por las siguientes razones: (1) es un método flexible que permite trabajar con pocos o muchos datos, (2) permite un análisis basado en datos o teoría -en nuestro caso, fue basado en teoría porque usamos previamente un marco de referencia para estudiar conexiones matemáticas- y (3) permite responder una variedad de preguntas de investigación.

Este método se estructura en seis fases (Braun y Clarke, 2006, 2012):

Fase 1. Familiarización con los datos.

Implica conocer a detalle las producciones (verbales, escritas o gestuales) de los estudiantes mediante la lectura general de las narrativas en repetidas ocasiones. Mientras se hizo esto, tomamos notas de algunas observaciones importantes asociadas a las primeras conexiones matemáticas que identificamos.

Fase 2. Generación de códigos iniciales.

En ella se organizó la información en grupos de un mismo significado. Para ello se codificó la mayor cantidad posible de patrones respuesta y se incorporó en cada código la información suficiente para no olvidar la perspectiva contextual. Los códigos iniciales se obtuvieron a través de las lecturas realizadas en la fase 1 y de una codificación teórica prevista sobre conexiones matemáticas. Para ello, en las narrativas se identificaron proposiciones donde los estudiantes relacionaran o vincularan dos o más ideas matemáticas. Por ejemplo, E4 argumentó “la relación (matemática) como tal entre las dos funciones (función exponencial y logarítmica) es que son inversas” cuando se le cuestionó sobre las funciones exponenciales y logarítmicas, lo que nos permitió construir el código: las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas. Esta codificación se fue refinando conforme avanzaba el proceso hasta analizar todas las narrativas de los estudiantes entrevistados.

Fase 3. Búsqueda de temas y subtemas.

En esta fase se revisaron los datos codificados para identificar áreas de similitud, se agruparon aquellos que compartían algún rasgo de tal manera que se formaron familias de códigos y se describió la característica particular de cada una. Teniendo en cuenta esto, se asignó un tema o subtema a cada agrupación de códigos que respondiera la pregunta de investigación. Como convención, en este trabajo, cada tema y subtema corresponden a las conexiones matemáticas específicas. Se usaron como temas las tipologías de conexiones matemáticas consideradas en el marco teórico y los subtemas se construyeron a partir de los datos y se organizaron en torno a cada tema.

Fase 4. Revisión de temas y subtemas.

Consiste en una recodificación y descubrimiento de nuevos temas. Para ello se realizó una relectura de los temas y subtemas establecidos. En esta revisión consideramos que estos respondieran a la pregunta de investigación planteada y mantuvieran coherencia interna entre los datos. De esta manera, pudimos crear y modificar los temas y subtemas. Por ejemplo, el subtema la tabla de valores registra los valores de una función exponencial de base 2 fue modificado por Las parejas ordenadas …;(-1, 1/2); (0, 1); (1, 2); … representan la función exponencial de base 2.

Fase 5.Definición y denominación de temas.

Requiere que el investigador realice y escriba detalladamente el análisis de cada tema, identificando la esencia de cada uno, a fin de construirle un nombre conciso e informativo (Braun y Clarke, 2012). En nuestro caso definimos los temas identificados y explicamos los subtemas construidos con los datos.

Fase 6.Redacción del informe.

Consiste en una escritura sustentada en la comprensión e interpretación de la información recogida. Para ello se debe tener un conjunto de temas completamente definidos y analizados para proceder a la redacción del escrito, lo cual implica unir la narrativa analítica y los extractos de datos, a fin de contarle al lector una historia coherente y persuasiva sobre los datos y contextualizarla en la literatura existente.

Se esperaba que esta conexión fuera establecida por los estudiantes en las cuatro tareas, lo cual ocurrió. Fue una de las conexiones que todos los casos evidenciaron completamente en sus respuestas, inclinándose más por lo que caracteriza a la función exponencial. Los subtemas más representativos y que se evidenciaron en mayor medida en las producciones de los estudiantes se presentan en la tabla 3.

Tabla 3
Resultados relacionados con el tema conexión matemática característica

Un ejemplo particular es el caso de E1, quien evidenció la conexión característica en la resolución de las tareas 1, 2 y 3 porque logró inferir a partir de sus características el comportamiento exponencial de los datos. Además, caracterizó los valores que puede tomar la base de una función exponencial y logarítmica, la relación entre las variables implicadas, las intersecciones de las gráficas con los ejes, el dominio y el rango de las dos funciones involucradas, además de indicar algunas aplicaciones de la función exponencial.

En la tarea 1 (ver extracto de la entrevista E1), E1 describió la relación de los términos de la tabla y esbozó dos características de la función exponencial: la variable independiente está en el exponente y la base de una función exponencial debe ser mayor a cero y diferente de 1 (tabla 3). E1 manifestó esta última característica en la tarea 4 para la función logarítmica y, describió cuál es el dominio y rango de esta función en general, tal como se muestra en la figura 3. No obstante, estas dos funciones difieren en que en la función exponencial la variable independiente está en el exponente y en la logarítmica es parte del argumento.

Figura 3
Característica de la función logarítmica según E1.

En lo que respecta a la característica la función logaritmo natural tiene como base al número e, tenemos que E5 la evidenció cuando explicó el porqué de un procedimiento que implicaba despejar una variable en una ecuación exponencial ( $1245e^{-tk}=\frac{10000}{54}-54$ ), como se muestra en el siguiente extracto:

En las tareas planteadas a los estudiantes se había previsto que la conexión procedimental fuera establecida por los siete casos en las tres primeras tareas, tal como ocurrió. Fue empleada, principalmente, en el registro algebraico, aunque algunos de los estudiantes usaron también el registro gráfico como procedimiento. Esta conexión apareció en los procesos que emplearon para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas en el que usaron fórmulas, propiedades de los números reales y de las funciones en estudio. En la tabla 4 se muestran los subtemas más representativos de la conexión procedimental.

Tabla 4
Resultados relacionados con el tema conexión matemática procedimental

De manera particular, respecto al subtema para despejar w en ln w = ln 2.4 + (1.84 )(1.5) se aplican los axiomas de campo de los reales y el número de Euler, se ejemplifica lo realizado por E2 en la tarea 3.a. E2 reemplazó el valor de la altura en la expresión dada, obteniendo así una ecuación logarítmica en la que para despejar w hizo uso del proceso inverso a la logaritmación, elevando las expresiones al número e (número de Euler, base del logaritmo natural) y empleando la propiedad e^lnx = x para encontrar un determinado valor (ver figura 4).

Figura 4
Conexión procedimental hecha por E2.

Respecto al subtema analizando la gráfica de $v\left(t\right)=\frac{10000}{5+1245e^{-kt}}$ se encuentra el número de personas infectadas y se puede ver cómo es la propagación de la enfermedad, E3 lo evidenció al explicar cómo encontró el tiempo en el que hay 1000 personas infectadas y cuando manifestó que la propagación se puede visualizar analizando el eje y (ver extracto de E3).

Esta se evidenció en las producciones de seis de los siete casos, ya que E7 no logró, en la tarea 4, dar una definición consistente de las funciones exponencial y logarítmica. En la tabla 5 se muestran los subtemas más representativos de esta.

Tabla 5
Resultados relacionados con el tema conexión matemática de significado

La conexión de significado apareció en distintos momentos mientras los estudiantes resolvieron las tareas propuestas. Por ejemplo, E1 evidenció el subtema una función exponencial es aquella en la que un número real está elevado a la variable independiente cuando enunció lo que entiende por función exponencial y, además, estableció las condiciones de la base, describió de manera general el dominio y el rango de la función (ver figura 5).

Figura 5
Definición de función exponencial por E1.

E4 evidenció el subtema una función logarítmica es aquella donde la variable independiente es parte del argumento cuando enunció lo que entiende por función logarítmica (ver extracto E4).

De manera general, la mayoría de los casos evidenciaron una definición de las funciones exponencial y logarítmica acorde a la definición matemática aceptada.

La conexión matemática de reversibilidad fue establecida por todos los casos, en tres de las cuatro tareas. Principalmente, en el momento de resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas ya que, consideraron necesario el uso del número de Euler para resolver una ecuación logarítmica y el logaritmo para despejar una ecuación exponencial. Los subtemas más representativos que se construyeron a partir de los datos se describen en la tabla 6.

Tabla 6
Resultados relacionados con el tema conexión matemática de reversibilidad

Un ejemplo particular del subtema el logaritmo natural se usa para despejar el exponente en una ecuación exponencial y el Euler para despejar la variable que se encuentre en el argumento del logaritmo natural fue evidenciado por E7 en la pregunta 3. Él afirmó que en una ecuación exponencial para despejar el exponente (variable independiente) se debe hacer uso del logaritmo dado que son funciones inversas (ver extracto de E7).

Por su parte, el subtema las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas, se evidenció por E5 cuando al explicar su concepto de función logarítmica la define como la inversa de la exponencial (ver figura 6).

Figura 6
Definición de función logarítmica por E5.

Esta conexión matemática no se evidenció como se había previsto, porque, a pesar de que todos los estudiantes manifestaron que las funciones exponencial y logarítmica eran inversas, solo algunos reconocían que por ser inversas el dominio y el rango de una de las funciones eran el rango y el dominio de la otra. Entre los estudiantes, solo E4 explicó la propiedad gráfica de dos funciones inversas que relacionaba un eje de simetría.

Esta conexión matemática no se evidenció en las respuestas de los estudiantes como se había contemplado, ya que fue la menos usada. La mayoría de los casos solo empleó el registro tabular como medio para graficar. Son pocos los estudiantes que se valen de varios registros por sí solos para responder las tareas, por el contrario, usan las representaciones que se les pide o que se les proporciona. Los subtemas más representativos en esta conexión se muestran en la tabla 7.

Tabla 7
Resultados relacionados con el tema conexión matemática representaciones diferentes

Por ejemplo, el subtema la gráfica de la función 𝑤 = 𝑒^{𝑙𝑛 2.4 +1.84(ℎ)}muestra que es una función exponencial se evidenció en la producción de E6 cuando, para determinar qué clase de función representaba la función que modela el peso, hizo una gráfica; para ello, asignó valores a ℎ y encontró los correspondientes valores de w (ver figura 7). Así, al ver la forma de la gráfica afirmó que es una función exponencial, por tanto, hizo uso de tres registros: algebraico, tabular y gráfico en ese mismo orden.

Figura 7
Representaciones diferentes de la función que modela el peso empleadas por E6.

Por su parte, el subtema el registro gráfico y el algebraico proporcionan información de la propagación de la enfermedad, se identificó en E2 cuando justificó que se puede encontrar la cantidad de personas infectadas mediante la visualización y análisis del registro gráfico o bien resolviendo una ecuación en el registro algebraico, como muestra el siguiente extracto:

Se identificó en seis de los siete estudiantes, teniendo mayor frecuencia cuando resolvieron las tareas asociadas a la función exponencial. En la tabla 8 se muestran los subtemas más representativos relacionados con esta conexión matemática.

Tabla 8
Resultados relacionados con el tema conexión matemática parte todo

E4, por ejemplo, logró pasar de la expresión que relaciona un caso particular a la forma algebraica general de una función exponencial, lo cual se asocia con el subtema: la forma general de la función exponencial es 𝑓(𝑥) = a^x, como se evidencia en el siguiente extracto:

Con mayor frecuencia esta conexión matemática se presentó en su forma de la parte al todo, pero también hubo del todo a la parte cuando los estudiantes debían encontrar casos particulares de las funciones dadas. Por ejemplo, E2 evidenció el subtema: la función logaritmo natural es un caso particular de la función logaritmo (ver extracto E2).

Lo anterior muestra que E1, aunque inicialmente duda, logra afirmar que la forma general de la función logaritmo tiene una base general y, por tanto, el logaritmo natural es un caso particular de la función logaritmo que tiene como base el número de Euler.