Decisiones óptimas de consumo y portafolio con opciones asiáticas de tipo americano en un modelo de equilibrio general dinámico estocástico

(Optimal Consumption and Portfolio Decisions with American-Style Asian Options in a Stochastic Dynamic General Equilibrium Model)

El escenario incierto generado por los mercados financieros demanda encontrar fórmulas más eficientes para la administración de riesgos. En respuesta a tales requerimientos, desde diferentes enfoques teóricos y de manera multidisciplinaria, se han desarrollado modelos que contribuyen a describir y explicar la aleatoriedad de los mercados, no sólo para la administración de riesgos de mercado, sino también con el objetivo de optimizar la utilidad de los agentes económicos.

Particularmente, los modelos de Equilibrio General Dinámico Estocástico (EGDE) son una estructura teórica que permite analizar procesos financieros complejos. En este contexto existen diversos modelos en la literatura, como, por ejemplo, Merton (1971), Björk, Myhrman y Persson (1987), Venegas-Martínez (2008), Björk (2009), Huyên (2009) y Martínez-Palacios, Venegas-Martínez y Martínez-Sánchez (2015), entre otros. Por ejemplo, Venegas-Martínez (2008) presenta diversas aplicaciones económicas de EGDE en tiempo continuo. Por su parte, Björk (2009) se concentra en la modelación del problema de selección de portafolio y consumo óptimos. Al respecto, es importante mencionar la aplicación de procesos de difusión o procesos de difusión con saltos en el tratamiento del EGDE; véase, al respecto, Merton (1971) y (1992) y Venegas-Martínez (2006). Otro tema de relevancia actual, como se destaca en Cox, Ingersoll y Ross (1985a) y (1985b), es el desarrollo de modelos macroeconómicos estocásticos que explican hechos estilizados en las decisiones de consumo y portafolio de los agentes; véanse, al respecto, los trabajos de: Venegas-Martínez (2004 y 2005), Turnovsky y Smith (2006), Venegas-Martínez y Ortiz-Arango (2010) y Martínez-Palacios, Venegas-Martínez, y Martínez-Sánchez (2015), entre otros.

Así mismo, en un entorno de incertidumbre, la modelación de los tiempos de paro en el modelado de derivados de tipo americano es un elemento esencial que en muchos de los casos proporciona un modelado adecuado; véanse Shreve (1997)), Karatzas y Shreve (1988) y Kohn (2003)). Para aplicaciones prácticas de los temas anteriores véanse: Merton (1992), Hernández-Lerma (1994), Sethi y Thompson (2000), Björk (2004 y 2009), Villeneuve (2007), Kohn (2011) y Martínez-Palacios y Venegas-Martínez (2014), entre otros. Es oportuno mencionar también que a excepción de Kohn (2011) los autores citados aplican tiempos de paro en conjunto con el enfoque EGDE. Por ejemplo, Björk (2004 y 2009) agrega un tiempo de paro para no generar soluciones de control degeneradas cuando ni las restricciones de control ni la función de herencia prohíben al consumidor incrementar su utilidad a cualquier nivel. Por su parte Sethi y Thompson (2000) definen el tiempo de paro como el momento en que el agente pueda caer en bancarrota a lo largo del proceso, mientras que en Martínez-Palacios y Venegas-Martínez (2014) se implementa el tiempo de paro para establecer el valor intrínseco de la opción americana y el tiempo de ejercicio de esta dentro del modelo.

Un tema de particular importancia es la valuación de productos derivados, cuya literatura es vasta y variada, considérense al respecto los artículos seminales de Black y Scholes (1973), Merton (1973), Cox y Ross (1976), y Cox, Ingersoll y Ross (1985a) y (1985b). Entre las contribuciones más recientes en la valuación de opciones sobre acciones, índices bursátiles y divisas se encuentran: Geske y Shastri (1985), Ho y Lee (1986), Hull y White (1987)) y (1993a), Detemple y Weidong (2002), Sierra (2007), Venegas-Martínez (2006), Cruz-Aké y Venegas-Martínez (2010), Ángeles-Castro y Venegas-Martínez (2010), Kohn (2011), Martínez-Palacios y Venegas-Martínez (2014), entre otros. Una característica común que guardan estas investigaciones, a excepción de Martínez-Palacios y Venegas-Martínez (2014) (quienes utilizan un horizonte temporal finito pero estocástico) es que consideran una temporalidad finita y determinista para la determinación del precio de los derivados. Asimismo, una particularidad de las investigaciones de Cruz-Aké y Venegas-Martínez (2010) y Venegas-Martínez (2009) es que los autores obtienen fórmulas cerradas de los precios de diversos derivados. Por su parte, Martínez-Palacios y Venegas-Martínez (2014) obtienen una fórmula aproximada de valuación de opciones americanas, mientras que Sierra (2007) modela los activos mediante Brownianos fraccionales.

Un grupo fundamental dentro de las opciones exóticas considera aquellas cuyo pago al vencimiento del contrato depende de la trayectoria seguida por el precio del activo subyacente durante el período de vigencia de la opción. Estas opciones son conocidas como dependientes de la trayectoria¹. Las opciones asiáticas son opciones exóticas totalmente dependientes de la trayectoria y su precio depende de la caminata aleatoria histórica del precio del activo subyacente mediante algún tipo de promedio. Diferentes factores afectan la definición del promedio, entre ellos están: el periodo promedio previo al vencimiento, promedio aritmético o geométrico, promedio ponderado o no ponderado y con muestra de precios discreta o continua. De esta forma se pueden distinguir a las opciones asiáticas con valor promedio del subyacente y precio de ejercicio fijo, y las de precio de ejercicio promedio (de los valores alcanzados por el precio del activo durante la vida del contrato).

Destaca el hecho de que las opciones asiáticas estén basadas en el promedio de los precios del activo subyacente, esto evita la manipulación de los precios previo al vencimiento, lo que las convierte en instrumentos eficaces de cobertura ante los movimientos de los precios. En este mismo tenor, estas opciones son útiles cuando se realizan transacciones frecuentes sobre un mismo activo en un tiempo determinado; es decir, resulta más barato comprar una opción asiática que considere n diferentes precios de un mismo activo al vencimiento, que comprar n opciones del mismo activo a diferentes vencimientos, lo cual considera n diferentes primas, siendo más costoso. Asimismo, tiene un costo menor comprar una opción asiática que una plain vanilla porque la volatilidad del promedio en general es menor que la del subyacente. En este contexto, la literatura es extensa; véanse, por ejemplo: Arregui y Vallejo (2001), Vanmaele, Deelstra, Liinev,Shuguang, Shuiyong, Lijun (2006), Pascucci (2007), Peng y Peng (2010), Ortiz-Ramírez y Martínez-Palacios (2016), Li y Chen (2016), Martínez-Palacios, Ortiz-Ramírez y Martínez-Sánchez (2017), Wang y Zhang (2018), Pirjol y Zhu (2018), Ocejo (2018)), por nombrar sólo algunos. Es necesario recordar también que en la valuación de asiáticas no existe solución cerrada mediante el enfoque probabilista por lo que se proponen aproximaciones numéricas. Así por ejemplo Peng y Peng (2010) proponen un método de árbol binomial mediante el cual estiman el proceso de precios cuando el subyacente presenta elasticidad constante de la varianza (CEV) para valuar opciones asiáticas con promedio aritmético. Ortiz-Ramírez y Martínez-Palacios (2016) proponen una metodología mediante simulación Monte Carlo para obtener el precio de una opción asiática con subyacente promedio y tasa de interés estocástica conducida por procesos de reversión a la media de tipo Vasicek y CIR. Estos autores contrastan los resultados de la valuación de las opciones asiáticas con europeas y muestran que los precios obtenidos para opciones asiáticas son menores que los de europeas, bajo los mismos supuestos de mercado. Por su parte Li y Chen (2016) derivan una fórmula para el precio de opciones asiáticas con promedio aritmético mediante la expansión en serie Edgeworth; la fórmula obtenida es consistente con la de Black-Scholes-Merton y una suma finita que estima el término correspondiente a la asiática. Estos autores también presentan un método para calcular cada término de su fórmula y sus griegas correspondientes.

En búsqueda de modelos que expliquen de manera más fiel la realidad contingente, se encuentran en la literatura de valuación de opciones asiáticas sobre activos subyacentes, cuyos parámetros de tendencia y volatilidad son estocásticos; al respecto véanse, Jiang y Sluis (1999), Fouque y Chuan-Hsiang (2003), Nielsen y Sandmann (1996), Shuguang, Shuiyong, Lijun (2006), Min-Ku, Jeong-Hoon y Kyu-Hwan (2014), entre otros. De particular interés para esta investigación resultan los trabajos que valúan opciones asiáticas de tipo americano con o sin parámetros estocásticos; véanse, por ejemplo, Hull y White (1993b) , Jørgensen y Hansen (1998), Broadie, Glasserman y Ha (2000), Peskir y Uys (2003), Pascucci (2007), Keng-Hsin, Kehluh y Ming-Feng (2009) y Gaudenzi, Lepellere y Zanette (2010). Por ejemplo, Broadie, Glasserman y Ha (2000) desarrollan un método de simulación para determinar el precio de las opciones americanas dependientes de la trayectoria y sobre una gran cantidad de activos subyacentes. Pascucci (2007) considera un modelo general correspondiente a una ecuación diferencial parcial degenerada que incluye opciones asiáticas y modelos de volatilidad dependientes de la trayectoria como casos particulares. Este autor mediante una funcional adecuada demuestra la existencia y singularidad de una solución sólida para la frontera libre y los problemas de paro óptimos.

En el marco de las investigaciones referidas, las principales contribuciones de este trabajo son: 1) con base en supuestos de racionalidad económica, se caracteriza la opción asiática-americana mediante el enfoque teórico de EGDE en tiempo continuo, 2) se incluyen funciones de tiempo de paro; 3) se considera una tasa de interés estocástica; la empresa representativa tiene una función de producción estocástica; y 4) se determina el proceso de la tasa corta de tipo CIR (Cox, Ingersoll y Ross, 1985b) de manera endógena en el equilibrio.

Este trabajo está organizado de la siguiente forma: en la primera sección se describe el problema objeto de esta investigación, así como los activos de inversión del modelo; en la sección 2 se establece la ecuación de la riqueza de que dispone el agente económico. En la sección 3 se describe el proceso productivo; en la sección 4 se establece el tiempo de paro como un proceso que evitará que el agente incurra en bancarrota; en las secciones 5 y 6 se caracteriza la solución del problema planteado en la cuarta sección, mediante una ecuación diferencial parcial y los controles que optimizan el problema de decisión; en la sección 7 se caracteriza la prima de una opción asiática de venta con precio de ejercicio promedio geométrico de tipo americana como solución de una ecuación diferencial parcial y se establece el proceso para la tasa corta tipo CIR; por último, se presentan las conclusiones.

En esta sección mediante EGDE se establece un modelo de un consumidor-inversionista racional, representativo de una economía pequeña y cerrada, en la que sólo se produce y se consume un solo bien de carácter perecedero.

Considere un agente económico que dispone de un horizonte temporal, representado por el intervalo [0,T], donde T es estocástico (y será determinado en la sección 5). En el tiempo 𝑡=0, el agente es dotado con una riqueza inicial X₀ y enfrenta la decisión de cómo distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio de activos, con el objetivo de maximizar su utilidad total esperada y descontada por el consumo de un bien genérico y a la vez evitar la bancarrota. Para tal efecto, se supone que existe un sistema bancario en el que al agente puede prestar y pedir prestado a una tasa de interés continuamente capitalizable para todos los plazos, cuyo proceso se determinará de manera endógena en el equilibrio. En los mercados, las ventas en corto son permitidas e ilimitadas. Asimismo, se supone que al agente puede invertir en tres activos, un principal como ahorro en un banco, una acción y una opción asiática de venta de tipo americano; los precios de los activos se expresan en términos reales².

En las siguientes subsecciones de este apartado, se establecen como procesos markovianos controlados, los rendimientos de los precios de los activos que alimentan al modelo; así como la función objetivo a maximizar.

Se supone que el agente opera de manera continua y que no se incurre en ningún momento en costos por comisiones a agentes de casa de bolsa ni pagos de impuestos a autoridades fiscales. Con base en las hipótesis enunciadas, se supone ahora que X_t representa la riqueza real del consumidor en el tiempo t, así la dinámica del proceso de la riqueza está dada por:

es decir:

al definir en (10) a:

se reescribe la ecuación de la riqueza como:

Se considera que la empresa representativa en esta economía tiene una función de producción y_t =P_t S_t donde el producto marginal del capital P_t durante el proceso productivo, es modelado mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica:

en la que:

con ${\left\{U_t\right\}}_{t\ge 0}$un movimiento browniano unidimensional definido sobre un espacio fijo de probabilidad $\left({\Omega }^U,{\mathcal{F}}^U,({\mathcal{F}}_t^U{)}_{t\in \left[0,T\right]},P^U\right)$con su filtración aumentada. Los parámetros Θ, κ y ν se interpretan como producto marginal del capital de largo plazo, la velocidad de reversión y la volatilidad de la varianza del producto marginal del capital, respectivamente. Observe que la raíz cuadrada en P_t asegura que el proceso sigue siendo no negativo en cada instante de tiempo y si en algún momento alcanza un valor de cero entonces puede tomar un valor positivo de nuevo, por lo que el nivel absoluto de la varianza se incrementa con un aumento de P_t . Para efectos de hacer manejables analíticamente las ecuaciones, se supondrá que los procesos de Wiener son independientes, es decir, $\text{Cov}\left(d{W}_t,d{U}_t\right)=0.$ _t , dU_t ) = 0

En esta sección se establece ya el modelo a resolver, pero se hace indispensable imponer un tiempo de paro para que matemáticamente el problema no degenere.

Para resolver el problema en (15) y encontrar las proporciones de la riqueza que optimizan el portafolio de inversión y el consumo, se define la función de valor del problema de la siguiente manera:

Después de aplicar al primer sumando el teorema del valor medio del cálculo integral y recursividad al segundo sumando, se obtiene que:

Se emplea entonces expansión en serie de Taylor al segundo sumando, de donde se obtiene:

En consecuencia:

Ahora se calcula $dJ(X_t,P_t,M_{Gt},t)$ con el lema de Itô, de donde se sigue que:

A continuación, se calcula el valor esperado de esta última ecuación, y dado que $d{W}_t\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\text{y }d{U}_t \text{son}\hspace{0.33em}\mathcal{N}\left(0,dt\right),$se eliminan los términos con browniano. Asimismo, se divide la expresión entre y se toma el límite de esta cuando $dt\to 0,$de lo que resulta:

A la última ecuación se deben de imponer las condiciones de frontera correspondientes, lo que da lugar a la condición HJB:

Para elegir la función $J\left(X_t,P_t,M_{Gt},t\right)$ que satisfaga HJB, se propone el producto de funciones separables siguiente:

junto con $g(M_{GT},T)=0$debido a las condiciones de frontera de la ecuación de HJB. Dado J, se tiene:

Al sustituir los valores de (24) en (20), (21) y (22), se obtiene:

Observe que $\widehat{c}$ es lineal en la riqueza, pero estocástica, lo cual es acorde con la realidad incierta de los mercados financieros, por otra parte, las proporciones óptimas ${\widehat{u}}_{1t}$ y ${\widehat{u}}_{2t}$forman un sistema de ecuaciones lineales:

en donde se ha denotado mediante $\zeta =\frac{{\sigma }_A}{\sigma },\lambda =-\frac{\mu -r}{\left(\gamma -1\right){\sigma }^2}\text{ y }{\lambda }_{O_{At}}=-\frac{{\mu }_{O_{At}}-r}{\left(\gamma -1\right){\sigma }_{O_{At}}^2}.$, En este sistema, los premios al riesgo son combinación lineal uno del otro, lo cual se identifica porque el determinante D = 0 , lo cual era de esperarse puesto que la opción hereda propiedades del proceso subyacente.

A partir del sistema de ecuaciones en (28), se tiene que:

Al sustituir en (29) ${\mu }_{O_{At}}y {\sigma }_{O_{At}}$ a dadas en (7), se sigue que:

La ecuación anterior es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que es equivalente a la ecuación de Black-Scholes-Merton, con la diferencia de que (30) tiene un término más que representa el promedio del subyacente. Esta ecuación caracteriza la opción asiática de venta americana con precio de ejercicio promedio geométrico del subyacente, a la cual deben de imponer las condiciones de frontera apropiadas a fin de obtener una solución única y tal que la valuación sea de tipo americano, como sigue:

donde $\bar{\xi }=\mathit{min}\left\{\xi ,\widehat{\xi }\right\},$ y $\widehat{\xi }$es el tiempo de paro en donde se alcanza el $\mathit{max}\left\{\left(\mathit{exp}\left\{\frac{M_{GT}}{T}\right\}-S_T\right),0\right\}.$

Para obtener la dinámica de la tasa corta considere la solución de esquina ${\widehat{u}}_{1t}\text{=1 y }{\widehat{u}}_{2t}=0,$la cual conduce a partir de la ecuación (26) a:

Ahora, a partir de la ecuación (13) del proceso productivo sea $\mu =\tilde{\mu }{P}_t\text{ y }\left(1-\gamma \right){\sigma }^2=\left(1-\gamma \right){\tilde{\sigma }}^2{P}_t,$ de donde en conjunto con (32) se obtiene:

con $\phi =\tilde{\mu }-\left(1-\gamma \right){\tilde{\sigma }}^2,$ por lo que a partir de (13) y (14):

Al denotar en (32) $a=\kappa , b=\theta \phi \text{ y }\delta =\sqrt{\phi }\nu ,$ se obtiene la dinámica de la tasa corta:

con $a, b\text{ y }\delta >0.$Las propiedades de r_t son descritas por Cox, Ingersoll y Ross (1985 b), Brigo y Mercurio (2006), entre otros.

Para satisfacer las necesidades de los participantes de los mercados de derivados, las instituciones financieras emiten opciones exóticas además de opciones europeas o americanas sobre diversos subyacentes. Una opción exótica es una opción cuya función de pago es no estándar. Por lo general, no se cotiza en una bolsa ya que se negocian directamente entre empresas y bancos. Una opción asiática es una opción cuyo pago depende del promedio del precio del activo subyacente durante una parte o todo el plazo al vencimiento de la opción. Las opciones asiáticas se negocian activamente en los mercados de divisas, de tasas de interés y materias primas, son derivados dependientes de la trayectoria del subyacente cuyo pago depende explícitamente del precio promedio del subyacente. Su principal ventaja es que disminuye posibles manipulaciones del mercado que pueden suceder cerca de la fecha de vencimiento. En general, cuanto mayor sea el período del promedio, más suave será la trayectoria. En los mercados petroleros se emiten con frecuencia este tipo de derivados para estabilizar flujos de efectivo que surgen del cumplimiento de las obligaciones con los clientes. En el mercado cambiario, estas opciones proporcionan a la tesorería un instrumento de cobertura para una serie de flujos cuyo ejercicio se liquide en efectivo. Para materias primas, como metales industriales, combustibles o granos, entre otros, el promedio es útil para eliminar la sensibilidad extrema del valor al vencimiento de la opción al precio en efectivo del subyacente en una fecha específica.

En el proceso de solución del agente representativo del problema de optimización estocástica se reduce a resolver una ecuación diferencial determinista. La caracterización de la prima de una opción asiática de tipo americano con tasa de interés estocástica se establece con base en supuestos de racionalidad económica y se expresa como la solución a ecuación diferencial parcial. El proceso de tasa corta de interés es de tipo CIR, el cual se determina de manera endógena en el equilibrio. El modelo propuesto incluye funciones de tiempo de paro y una empresa representativa de una economía cuya función de producción también es estocástica.

El hecho de que la forma funcional para los activos de inversión y que las ecuaciones que sustentan al modelo se establezcan como procesos markovianos controlados, que la tasa de interés sea modelada mediante un proceso de reversión a la media permitió por una parte transformar la formulación estocástica del proceso de solución en una ecuación diferencial parcial determinista, y por otra obtener la ecuación diferencial parcial para caracterizar la prima de una opción asiática de tipo americano.

Se plantea en una agenda futura de investigación incorporar formas funcionales de procesos mixtos de difusión con saltos, para precios de activos con/sin volatilidad estocástica y/o tasa de interés estocástica, con el objetivo de recrear ambientes económicos más reales expuestos a riesgo de mercado.