Existência e multiplicidade de soluções para uma equação elítica quaselinear do tipo Kirchhoff

Existence and multiplicity of solutions for a quasilinear elliptic equation of Kirchhoff type

No presente trabalho obtemos resultados de existência e multiplicidade de soluções fracas não negativas da seguinte classe de problemas do tipo Kirchhoff:

onde a, b > 0 são constantes, Δ_pu = div(|∇u|^p−2∇u) é o operador p−Laplaciano com p > 1, Ω é um domínio limitado suave em R^N, com os expoentes 1 < q + 1 < p, e as funções h(x) e f (x,s) satisfazem as seguintes hipóteses:

(h1) h ϵ L^∞(Ω) e h(x) > 0 em Ω₀ ⊂ Ω;

(f1) f (x,s) ϵ C(Ω̅ × [0,∞)), f (x,0) = 0;

(f2) , , q.t.p. x ϵ Ω com 0 ≤ α < 1 < β < ∞ e

Consideramos ainda a seguinte condição:

(f3) Existem C, r > 0 de modo que

q.t.p. x ϵ Ω se s ≥ r, onde F(x,s) = ∫^s0 f (x,t) dt.

O problema clássico de Kirchhoff

onde M : [0, + ∞) → [0, + ∞) é uma função contínua, é a versão estacionária da equação

proposta por Kirchhoff (1883), a qual é uma generalização da conhecida equação de corda vibrante de D’Alembert. O modelo descrito em (3) leva em conta as mudanças no comprimento da corda produzida por vibrações transversais, sendo L o comprimento da corda, h a área da seção transversal, E o módulo de Young do material, ρ a densidade da massa e P₀ a tensão inicial. Relacionado com (2), (Perera e Zhang, 2006) abordaram o problema:

onde Ω ⊂ R^N é um domínio limitado suave, N ≥ 1 e a, b > 0. A função g(x,t) é localmente Lipschitz contínua em t ϵ R, uniformemente contínua em x ϵ Ω̅ e subcrítica: |g(x,t)| ≤ C(|t|^p−1 + 1), para algum 2 < p < 2*, onde C é uma constante positiva. Eles obtiveram via métodos variacionais a existência de uma solução positiva, uma solução negativa e uma solução mudando de sinal para o problema (4).

Por sua vez, Liang et al. (2013) via o argumento do grau topológico e métodos variacionais obtiveram a existência de soluções positivas para o problema:

onde Ω ⊂ R^N é um domínio limitado suave, N = 1, 2 ou 3, a, b ≥ 0, com a + b > 0, τ é um parâmetro positivo e f (x,t) é uma função contínua que é assintoticamente linear em zero e assintoticamente 3−linear no infinito, com relação a t.

Destacamos também, o importante trabalho de Li et al. (2002), que através do Princípio Variacional de Ekeland e do Teorema do Passo da Montanha, provaram a existência e multiplicidade de soluções positivas para a seguinte classe de problemas elíticos:

onde Ω ⊂ R^N é um domínio limitado suave, N ≥ 1, 0 < q < 1, h ϵ L^∞(Ω), h(x) ≢ 0, e a função f (x,s) contempla os casos de crescimento assintoticamente linear e superlinear com relação a variável s no infinito e o caso linear em s.

Mencionamos ainda o trabalho de Corrêa e Figueiredo (2006) o qual obteve resultados de existência de soluções para o problema

onde 1 < p < N, s ≥ p*, λ ≥ 0 e M e f satisfazem certas propriedades. Recentemente Guo e Nie (2015) obtiveram, sob certas condições, resultados de existência de infinitas soluções para a seguinte equação

Citamos ainda dentre outros, os trabalhos de Huang et al. (2013), Pei (2012), Alves et al. (2005), Alves et al. (2010), Miotto (2010), Miotto (2014) e Sun e Tang (2011), os quais também utilizam métodos variacionais.

Nossos resultados são os seguintes:

Teorema 1.1. Suponhamos que as condições (h1), (f 1) e (f 2) sejam válidas. Então existe uma constante Λ > 0 tal que se ‖h‖_∞ <Λ, o problema (1) possui ao menos uma solução u1 ϵ W₀^1,p(Ω), com u₁ 0. Além disso, se h(x) ≥ 0, então u₁ é positiva q.t.p. em Ω.

Teorema 1.2. Suponhamos válidas as condições (h1), (f 1), (f 2), (f 3) com ‖h‖_∞ < Λ. Então o problema (1) admite uma segunda solução não negativa u₂ ϵ W₀^1,p (Ω). Além disso, u₂ > 0 q.t.p. em Ω, se h(x) ≥ 0.

Este artigo está organizado da seguinte forma: na primeira seção, exploramos alguns resultados preliminares para este trabalho. Na seção seguinte, através do Princípio Variacional de Ekeland justificamos o Teorema 1.1. Ainda na referida seção, por meio do Teorema do Passo da Montanha faremos a demostração do Teorema 1.2.

Iniciamos essa seção apresentando algumas convenções. Temos que o expoente crítico de Sobolev é dado por . Como de costume, denotaremos a norma do espaço de Lebesgue L^r(Ω) por

Definimos o espaço de Sobolev W₀^1,p (Ω) como sendo o fecho de C^∞_c (Ω) em W^1,p(Ω), com respeito a norma

Dizemos que u ϵ W₀^1,p (Ω) é uma solução fraca para o problema (1), se u satisfaz a equação

para toda função φ ϵ C^∞_c (Ω).

A ideia principal dos métodos variacionais é relacionar a existência de solução de uma equação à existência de um ponto crítico de um funcional associado a equação. Associamos então, ao problema (1) o funcional I : W₀^1,p (Ω) → R, definido por

onde u₊ = max{0,u} e F(x,t) = ∫^t₀f (x,s) ds.

Através das hipóteses (h1), (f 1) e (f 2), mostra-se que I ϵ C¹(W₀^1,p (Ω),R) e apresenta derivada I’(u) em cada u ϵ W₀^1,p (Ω) dada por

para cada φ ϵ C^∞_c (Ω). Como por definição temos que u ϵ W₀^1,p (Ω) é um ponto crítico do funcional I caso I’(u) = 0 em (W₀^1,p (Ω))*, temos que os pontos críticos de I são soluções fracas de (1).

Abaixo, citamos alguns fatos relevantes para o estudo do problema (1).

Observação 2.1. (i)Consideremos c ϵ R. Uma sequência (un) ⊂ W₀^1,p (Ω) tal que I(u_n) = c + o(1) e I’(u_n) = o(1) em (W₀^1,p (Ω))* é dita ser uma sequência (PS)_c para o funcional I. Se qualquer sequência (PS)_c para o funcional I, possui uma subsequência convergente, então dizemos que I satisfaz a condição (PS) de nível c.

(ii)Se (u_n) é uma sequência (PS)_c limitada para o funcional I, então (u_n+) também é uma sequência (PS)_c para o funcional I. Com efeito, sendo (u_n) uma sequência (PS)_c para o funcional I, então para cada φ ϵ C^∞_c (Ω)

Tomando φ = u_n− na igualdade acima, decorre que

e usando o fato de que ∫_Ωf (x,u_n+)u_n− dx = 0, obtemos que

Logo,

Por sua vez, como (u_n) é limitada e ‖u_n‖ = ‖u_n+‖ + o(1), temos toda φ ϵ C^∞_c (Ω)

donde segue que (u_n+) também é uma sequência (PS)_c para o funcional I.

A seguir aprentamos uma condição para a validade da condição (PS) em um certo nível c.

Lema 2.1.Suponhamos válidas as condições (h1), (f 1) e (f 2) e que (un) ⊂W₀^1,p (Ω) é uma sequência (PS)c limitada para o funcional I. Então (un) possui uma subsequência convergente emW₀^1,p (Ω).

Demonstração: Seja (u_n) uma sequencia (PS)_c limitada para o funcional I, com un ≥ 0. Então, passando a uma subsequência se necessário, podemos supor que

e que existe 0 ≤ u ϵ W₀^1,p (Ω), de modo que un → u em W₀^1,p (Ω). Pelas condições (h1), (f 1) e (f 2), as imersões de Sobolev e o Teorema da Convergência Dominada, segue que

Assim se considerarmos

segue das relações (8), (9), (10) e do fato que (u_n) é sequencia (PS)_c para o funcional I, que c_n = o(1). Por outro lado,

Agora pelo fato que ‖u_n‖^p → c₀ e u_n → u em W₀^1,p (Ω), segue que

Assim pelas relações acima, sendo « ·,· » o produto interno euclideano em R^N, temos que

Agora usando o fato que existe C = C(p) > 0 de modo que para todo x,y ϵ R^N, temos se p ≥ 2 ou 1 < p < 2 respectivamente que,

obtemos por ‖u_n‖^p → c₀ e a relação (11) que existe C > 0 onde

donde segue que u_n → u em W₀^1,p (Ω), o que finaliza a justificativa.

Enunciamos agora dois resultados clássicos da teoria dos pontos críticos, a saber, o Princípio Variacional de Ekeland e o Teorema do Passo da Montanha. Começamos pelo Princípio Variacional de Ekeland, cuja demonstração pode ser encontrada em De Figueiredo (1989).

Teorema 2.1 (Princípio Variacional de Ekeland). Seja (X,d) um espaço métrico completo e Φ : X → R ⋃ {∞} um funcional de classe C¹e limitado inferiormente. Então se

existe uma sequência (u_n) em X satisfazendo a condição (PS)_c.

O próximo resultado é o Teorema do Passo da Montanha que pode ser encontrado em Schechter (1991).

Teorema 2.2 (Teorema do Passo da Montanha). Seja X um espaço de Banach real e Φ : X → Rum funcional de classe C¹satisfazendo:

para algum r > 0 e v ϵ X com ‖v‖ > r. Então, existe uma sequência (u_n) em X satisfazendo a condição (PS)_c, onde c ≥ ν pode ser caracterizado por

onde

Com o objetivo de obter sequências (PS)_c para o funcional I fazendo o uso dos resultados acima mencionados, vamos a seguir obter alguns resultados auxiliares sobre as funções f (x,s) e F(x,s) baseados nas condições (f 1) e (f 2). Pela hipótese (f 2), temos que dado ε ϵ (0,1), existe δ > 0 tal que para s ϵ R ⋂ (0,δ) vale

Logo, para 0 < s < δ, temos

Por outro lado, de , temos que existe δ₁ > δ, de modo que 0 < δ₁ < s, obtemos

e por conseguinte

Das desigualdades (12), (13) e como f ϵ C(Ω̅ × [0,∞)), existe C_ε > 0 de modo que para todo s ϵ [0,∞)

Integrando em s a expressão acima, obtemos para s ≥ 0,

O próximo resultado será essencial para garantirmos as hipóteses do Teorema do Passo da Montanha, bem como para a demonstração da existência de uma solução através do Princípio Variacional de Ekeland.

Lema 2.2. Suponhamos que as condições (h1) ,(f 1) e (f 2) sejam satisfeitas. Então existem r, γ > 0 e Λ > 0, Λ = Λ(a,α, p,q, f ,N,Ω), tal que para qualquer h ϵ L^∞(Ω) com ‖h‖_∞ < Λ temos que

para todo u ϵ W₀^1,p (Ω), com ‖u‖ = r.

Além disso, existe v₀ ϵ W₀^1,p (Ω) com ‖v₀‖ > r, tal que I(v₀) < I(0).

Demonstração: Utilizando o fato que para todo s,t ϵ [0,∞), temos

e a estimativa (15) e por fim as Imersões de Sobolev, obtemos que

onde C_q é uma constante positiva de modo que

Devido a condição (f 2), como α < 1, podemos escolher ε > 0 tal que . Sejam ainda e .

Consideremos para cada t ≥ 0 a função

Como 0 < q < p − 1, temos que g possui mínimo global no ponto

onde e então

Assim existe uma constante Λ = Λ(a,α,q,p, f ,N,Ω) > 0 tal que se ‖h‖∞ < Λ então g(r) < C₁. Portanto, se ‖h‖_∞ < Λ, segue pela desigualdade (16) que para todo u ϵ W₀^1,p (Ω) com ‖u‖ = r e γ = (C₁ − g(r))r_p > 0 que

Resta justificar que existe v₀ ϵ W₀^1,p (Ω) de modo que ‖v₀‖ > r, tal que I(v₀) < I(0). Para tanto, pelo fato de β > 1 existe ε > 0 de modo que μ₁ < (β − 2 ε)μ₁. Assim pela definição de μ₁, existe 0 v ϵ W₀^1,p (Ω) de modo que

Assim pela desigualdade (15), segue que

Portanto, pela desigualdade acima e o fato que p < p² e β − 2ε < β − ε, segue que

quando t → ∞. Logo existe t₀ > 0 suficientemente grande onde se v₀ = t₀v, temos que v₀ ϵ W₀^1,p (Ω) com ‖v₀‖ > r e tal que I(v₀) < I(0).

Procedemos inicialmente a demonstração do Teorema 1.1, que nos garante a existência de uma solução para o problema (1).

Demonstração do Teorema 1.1: Para cada R > 0 consideramos

Sejam r > 0 obtido no Lema 2.2. Como B_r é um conjunto fechado em (W₀^1,p (Ω),‖ · ‖), o qual é um espaço de Banach, decorre que (B_r, ‖ · ‖) é também um espaço métrico completo. Novamente, pelo Lema 2.2, temos existe γ > 0 de modo que

Ainda, note que por I ser um funcional contínuo em B_r, está bem definido o valor

Observermos que pela definição de c₁ e a estimativa acima temos

Dado h ϵ L^∞(Ω), consideremos v ϵ C^∞_c (Ω0), onde v 0 e

Então pela relação (15), considerando ε > 0 de modo que β − ε > 0, segue que

Logo para t → 0+ como q + 1 < p, obtemos I(tv) < I(0). Mas para t > 0 de modo que t‖v‖ < r, temos que tv ϵ B_r o que implica pela definição de c₁ que

Portanto pela relação (17) e pelo Princípio Variacional de Ekeland, temos que existe (u_n) ⊂ B_r sequência (PS)_c1 para o funcional I. Agora pelo fato que (un) ser limitada em (W₀^1,p (Ω), pela Observação 2.1 podemos supor que 0 ≤ un.

Em virtude do Lema 2.1 existem 0 ≤ u₁ ϵ (W₀^1,p (Ω) tal que, a menos de subsequência, u_n converge fortemente para u₁ em W₀^1,p (Ω).

Assim se Se 1 < q + 1 < p, pela continuidade de I, obtemos I(u₁) = c₁ < I(0), donde segue que u₁ 0 e pela continuidade da derivada I’ temos I’(u₁) = 0, isto é, u₁ é um ponto crítico do funcional I e consequentemente uma solução fraca do problema (1).

Além disso, se considerarmos h(x) ≥ 0, obtemos Δpu1 ≤ 0. Logo, pelo Princípio do Máximo Forte (Vazquez, 1984) existem duas possibilidades, ou u₁ > 0 em Ω ou u₁ ≡ 0 q.t.p. em Ω. Entretanto, como I(u₁) = c₁ < I(0), segue que u₁ > 0 em Ω, o que prova o Teorema 1.1.

Vamos agora, através do Teorema do Passo da Montanha, garantir a existência de uma segunda solução não negativa, do problema (1).

Demonstração do Teorema 1.2: Sejam r,γ,Δ > 0 dados no Lema 2.2. Suponhamos que h satisfaz a condição (h1) e ‖h‖_∞ < Λ. Aplicando o Teorema do Passo da Montanha com X = W₀^1,p (Ω) e Φ = I temos que para

existe uma sequência (u_n) ⊂W₀^1,p (Ω) tal que (u_n) é uma sequência (PS)_c para o funcional I.

Devemos mostrar que (u_n) é uma sequência convergente. Para tanto, pelo Lema 2.1, basta mostrar que (u_n) é limitada em W₀^1,p (Ω).

Suponhamos que isso não ocorra, isto é, ‖u_n‖ → ∞, quando n → ∞ e seja

Claramente, wn é limitada em W₀^1,p (Ω), pois ‖w_n‖ = 1. Logo podemos supor, a menos de subsequência, que existe w₀ ϵ W₀^1,p (Ω) de modo que w_n → w₀ em W₀^1,p (Ω), w_n → w₀ em L^r(Ω), se 1 ≤ r < p* e w_n → w₀q.t.p. em Ω.

Mostremos agora que w₀ ≡ 0 em Ω. Caso w₀ ≢ 0 em Ω, temos que ∫Ω |w₀|^p²dx > 0. Assim pela condição ( f 2) e do fato que f ϵ C(Ω̅ × [0,∞)), que existe C_ε > 0 onde para todo s ϵ [0,∞)

Então por (u_n) ser uma sequência (PS)_c para o funcional I, por ‖u_n‖ → ∞ e q < p², temos

donde segue que

Então pela igualdade acima, a relação (18) e por p² > p, segue que

Dessa forma temos que

o que é uma contradição pois ε > 0. Portanto w₀ ≡ 0 em Ω.

Segue de (f 3) e do fato que f ϵ C(Ω̅ × [0,∞)), que existe C > 0 onde para todo s ϵ [0,∞)

Assim como (u_n) é uma sequência (PS)_c ilimitada para o funcional I, pela relação (19) e q + 1 < p, segue que

Portanto, (u_n) é uma sequência limitada em W₀^1,p (Ω). Sendo assim, pela Observação 2.1 podemos supor que u_n ≥ 0 e devido o Lema 2.1 existe 0 ≤ u₂ ϵ W₀^1,p (Ω) tal que, a menos de subsequência u_n → u₂ em W₀^1,p (Ω). Uma vez que o funcional I ϵ C₁(W₀^1,p (Ω),R), segue que I(u₂) = c > I(0) > I(u₁) e I’(u₂) = 0. Logo, u₂ é solução fraca não negativa do problema (1), distinta da solução u₁.

Caso h(x) ≥ 0, da mesma forma que na demonstração do Teorema 1.1 obtemos Δ_pu₂ ≤ 0 e assim, pelo Princípio do Máximo Forte, u₂ > 0 q.t.p. em Ω, o que conclui a demonstração.