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1 Introducão

A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. Para tal estudo, são utilizados estruturas que chamamos de grafos. Seja G = (V,E) um grafo, onde V é um conjunto finito cujos elementos são denominados vértices e E é um conjunto de subconjuntos de dois elementos de V denominados arestas. Podemos representar muitas situações reais através de grafos, por exemplo, a Internet, onde os vértices são os sites e as arestas são links entre os sites. O Facebook também pode ser facilmente modelado por um grafo, cujos vértices são perfis e cujas arestas são relações de amizade.

Na Teoria dos Grafos, podemos destacar problemas clássicos como o Problema das Pontes de Königsberg e o Problema das Quatro Cores. O primeiro problema trata de realizar um passeio pela cidade de Königsberg passando por suas sete pontes, sem repetir nenhuma, e retornando ao ponto de partida. Em 1741, Euler (1741) resolveu esse problema utilizando o seguinte raciocínio: ele considerou as pontes como as arestas e as ilhas ou margens como vértices, criando assim um multigrafo, apresentado na figura abaixo.

Euler mostrou que um grafo conexo G possui um circuito que passa, exatamente uma vez, por todas as arestas se, e somente se, todos os seus vértices são incidentes a um número par de arestas. Logo o problema das pontes de Königsberg não tem solução, pois todos os vértices do grafo da Figura 1 têm um número ímpar de arestas incidentes. Posteriormente, tais grafos ficaram conhecidos como grafos eulerianos.

O Problema das Quatro Cores trata da afirmação de que quatro cores bastariam para colorir um mapa qualquer de tal maneira que países vizinhos não tenham a mesma cor, como conjecturado por Guthrie. Tal problema surgiu por volta de 1852 e, durante mais de cem anos, muitos métodos foram desenvolvidos para resolvê-lo, mas foi apenas em 1976 que Appel e Haken (1976) apresentaram uma demonstração (com auxílio computacional importante) do Teorema das Quatro Cores. O estudo desse problema teve um papel muito importante no desenvolvimento da Teoria dos Grafos.

O objetivo deste trabalho é investigar as diversas ferramentas combinatórias para estudar um outro problema clássico bem conhecido em Teoria dos Grafos, o problema da existência de um ciclo hamiltoniano. Um caminho e um ciclo que percorram todos os vértices de um grafo (não repetindo nenhum vértice) são chamados, respectivamente, de caminho hamiltoniano e ciclo hamiltoniano de um grafo. Um grafo é hamiltoniano se contém um ciclo hamiltoniano.

O dodecaedro é hamiltoniano, pois possui um ciclo hamiltoniano e o grafo de Herschel não é hamiltoniano mas possui um caminho hamiltoniano. A Figura 2 apresenta um ciclo hamiltoniano no dodecaedro e um caminho hamiltoniano no grafo de Herschel.

Apesar de ser um problema extremamente simples de enunciar, decidir se um grafo é hamiltoniano é NPcompleto (tempo polinomial não determinístico) Karp (1972), o que sugere que seja extremamente difícil encontrar uma caracterização simples de grafos hamiltonianos. Conseguir essa caracterização significa encontrar condições necessárias e suficientes para que um grafo seja hamiltoniano que permitam decidir eficientemente se um grafo é hamiltoniano, encontrando um ciclo hamiltoniano se a resposta for positiva ou uma evidência simples de que isso não é possível se a resposta for negativa.

Na ausência de uma caracterização simples de grafos hamiltonianos, muito da pesquisa nessa área consiste em estudar condições necessárias ou condições suficientes para que um grafo seja hamiltoniano. Além de fazer um apanhado de condições clássicas, este trabalho estuda condições espectrais relacionadas a este problema.

O ramo da Teoria dos Grafos que se dedica ao estudo de propriedades de um grafo por meio de suas representações matriciais e de seus respectivos espectros é denominado Teoria Espectral de Grafos. Dado um grafo, conseguimos associá-lo a matrizes, e o espectro dessas matrizes está diretamente ligado a propriedades estruturais do grafo. Dentre as representações matriciais de grafos que serão utilizadas neste trabalho, estão a Matriz de Adjacências e a Matriz Laplaciana.

A Teoria Espectral de Grafos teve sua origem motivada pela Química Quântica, por Hückel (1931), que estabeleceu as ideias iniciais da teoria ao representar uma molécula de hidrocarboneto por um grafo e verificar a relação entre os autovalores do grafo e a energia de elétrons associados à molécula. Porém, somente em 1971, esse estudo foi trazido para o meio matemático e computacional por Cvetkovi´c (1971).

2 Conceitos Prelimin

Nesta seção, apresentamos conceitos básicos de Teoria dos Grafos, Álgebra Linear e Teoria Espectral de Grafos que serão utilizados ao longo deste trabalho. Tais definições, retiradas de Abreu et al. (2014), Bondy e Murty (2008), Meyer (2000), Brouwer e Haemers (2012), serão importantes para a compreensão dos resultados apresentados.

2.1 Grafos

Muitas situações do mundo real podem ser descritas através de diagramas consistindo de um conjunto de pontos e de um conjunto de linhas que ligam certos pares destes pontos. Por exemplo, os pontos poderiam representar pessoas e as linhas pares de amigos, ou os pontos podem ser centros de comunicação com linhas que representam a ligação entre os centros. O interessante nesses diagramas é saber se os pontos são ligados ou não por linhas. Situações matemáticas deste tipo deram origem ao conceito de grafo.

Um grafo é uma estrutura G = (V,E), constituída por um conjunto finito e não vazio V cujos elementos são denominados vértices, e por um conjunto E de subconjuntos de dois elementos de V, denominados arestas. Indicamos por |V| e |E|, respectivamente, o número de vértices e o número de arestas de G.

Os vértices de um grafo são representados graficamente por pontos e as arestas por ligações entre esses pontos, como mostra a Figura 3. Neste trabalho, consideramos apenas grafos simples, ou seja, sem arestas paralelas (duas ou mais ligações entre o mesmo par de vértices) e sem laços (arestas que ligam um vértice com ele mesmo). Dado um grafo G = (V,E) e u,v ‑ V, dizemos que a aresta e = {u,v} Є E é incidente em u e v. Vértices pertencentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes ou vizinhos.

Definição 2.1. Seja G = (V,E) um grafo. O grau de um vértice v, denotado por d(v), é o número de arestas que incidem em v. O grau mínimo de G, denotado por δ ­(G), é o número δ ­ = min{d(v) : v Є V} e o grau máximo de G, denotado por ­∆ (G), é o número ­∆ = max{d(v) : v Є V}.

Exemplo 2.1.No grafo representado na Figura 3, temos V = {v₁,v₂,v₃,v₄} e E = {e₁,e₂,e₃,e₄,e₅}, e portanto |V| = 4 e |E| = 5. Os graus dos vértices são: d(v₁) = d(v₃) = 2 e d(v₂) = d(v₄) = 3. O grau mínimo de G é δ ­(G) = 2 e o grau máximo é ­∆ (G) = 3.

Definição 2.2. Um grafo é dito regular se todos os seus vértices têm o mesmo grau. Um grafo regular com vértices de grau k é chamado de grafo k-regular.

Definição 2.3. Dado um grafo G = (V,E), dizemos que H = (W,F) é um subgrafo de G se H é um grafo, W ⊆ V e F ⊆ E. No caso em que F = {{u,v} Є E : u,v Є W}, dizemos que H é o subgrafo induzido de W, denotado H[W].

Na Figura 5, apresentamos em (A) um grafo G, em (B) um subgrafo de G e em (C) um subgrafo induzido de G.

Definição 2.4.Um grafo no qual quaisquer dois vértices distintos são adjacentes é dito grafo completo. Denotamos por K_n o grafo completo com n vértices.

A Fagura 6 representa o grafo completo K₅.

Definição 2.5. Um passeio entre dois vértices u,v Є­ V é uma sequência finita u = v₁,v₂,v₃, . . . ,vn = v de vértices de um grafo G = (V,E) tal que ei = {vi,vi+1} ­ E Є para 1 ≤ i ≤ n − 1. Quando, nessa sequência, temos v₁ = vn, chamamos de um passeio fechado.

Definição 2.6.Um caminho é um passeio sem repetição de vértices, e um ciclo é a união de um caminho com pelo menos duas aresta entre as suas pontas.

O comprimento de um caminho ou de um ciclo é o número de arestas que ocorrem em cada um. Os únicos caminho e ciclo com n vértices, a menos de isomorfismo, são denotados, respectivamente, por P_n e C_n.

Definição 2.7.Um grafo é conexo se existe um caminho ligando cada par de vértices. Caso contrário, o grafo é denominado desconexo.

Se G é um grafo desconexo, dizemos que Ǵ´ C é uma componente conexa de G quando Ǵ é um subgrafo conexo maximal de G, isto é, Ǵ é conexo e não existe um grafo conexo H C G tal que Ǵ C H e Ǵ ≠ H. Exemplos de grafos conexos e desconexos estão na Figura 7.

Definição 2.8.Dado um grafo G = (V,E), o grafo complementar de G, denotado por Ḡ = (V,Ē), é o grafo com o mesmo conjunto de vértices de G e tal que e = {u,v} ­Є Ē se, e somente se, e = {u,v} E.

Definição 2.9.Um grafo é dito bipartido se seu conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y tais que todas as arestas têm uma extremidade em X e uma extremidade em Y. Um grafo bipartido é dito completo se todos os vértices do conjunto X forem adjacentes a todos os vértices do conjunto Y. Nesse caso, se |X| = r e |Y| = s, escrevemos G = K_r,s. Um grafo do tipo G = K_1,n é chamado estrela.

2.2 Álgebra Linear

Muitos conceitos de Álgebra Linear serão importantes para a compreensão das condições que garantem a hamiltonicidade em grafos, principalmente quando começarmos a associar diferentes matrizes a um grafo e a estudar as propriedades dos grafos através dessas matrizes. Nesta seção, apresentaremos algumas definições e resultados que foram relevantes no trabalho.

Dada uma matriz simétrica M_n×n, os autovalores são dados pelo conjunto {­λ₁^M ,­λ₂^M , . . . ,­λ_n^M} e, por serem reais, podemos ordenar tais autovalores de tal forma que ­λ₁^M ≥ ­λ₂^M 2 ≥ ··· ≥ λ­_n^M .

Definição 2.10. Dada uma matriz M, chamamos de espectro de M o multiconjunto formado pelos autovalores da matriz M e suas respectivas multiplicidades. Denotamos o espectro da matriz M como spect(M).

Definição 2.11.Uma matriz P é dita matriz de permutação se gera uma permutação dos elementos de um vetor ou entre linhas ou colunas de uma matriz.

Definição 2.12. Uma matriz simétrica A_n×n é redutível quando existe uma matriz de permutação P_n×n e um inteiro r tais que 1 ≤ r ≤ (n − 1) e

onde X e Z são matrizes quadradas de ordem r × r e (n − r) × (n − r), respectivamente, Y é uma matriz de ordem r × (n − r) e 0 é a matriz nula de ordem (n − r) × r. Caso contrário, A é dita uma matriz irredutível.

Teorema 2.1 (Perron-Frobenius). (Abreu et al., 2014, Teorema 7.4) Seja a matriz A_n×n não negativa, irredutível e com autovalores ­λ₁ ≥ ­λ₂ ≥··· ≥ ­λ_n. Então

(i) ­λ₁ > 0 e existe um autovetor não-nulo x tal que Ax = ­λ₁x;

(ii) ­λ₁ > λ­₂;

(iii) |λ­_i| ≤ λ­₁, para todo i Є 1,2, . . . ,n;

(iv) o único vetor definido por Ap = ­λ₁p,p > 0 e ‖l p I‖1= 1 é chamado vetor de Perron. Não existe um autovetor não-negativo para A exceto para múltiplos positivos de p, independentemente do autovalor.

Definição 2.13. Seja um vetor x Є Rⁿ. Para p ≥ 1 a p-norma de x é definida como

Os resultados abaixo são conhecidas como Princípio de Rayleigh. Elas caracterizam os autovalores de uma matriz A como valores máximos de uma forma quadrática restrita à esfera unitária de Rⁿ com centro na origem.

Proposição 2.1.(Abreu et al., 2014, Proposição 7.2) Seja A_n×n simétrica. Então:

Corolário 2.1. Seja A_n×n simétrica. Então

e o valor máximo é atingido somente em autovetores unitários associados ao autovalor ­λ₁^A

2.3 Teoria Espectral de Grafos

Dado um grafo G, podemos associar a ele diferentes matrizes. A Teoria Espectral de Grafos estuda as propriedades do grafo por meio dessas representações matriciais e de seus respectivos espectros. Nesta seção, apresentamos matrizes associadas a grafos e resultados obtidos na literatura acerca do espectro dessas matrizes, que serão utilizados em nosso estudo sobre o problema de hamiltonicidade em grafo.

Definição 2.14.Seja G = (V,E) um grafo com n vértices {v₁, . . . ,v_n}. A matriz de adjacências A(G) de G é a matriz quadrada de ordem n cujas entradas são

A matriz de adjacências A(G) é uma matriz real formada por zero e uns. Essa matriz é simétrica, pois a qualidade de vértices serem adjacentes é simétrica. Sendo assim, os autovalores da matriz A(G) são reais. Como estamos trabalhando apenas com grafos simples, o traço de A(G) é zero, então a soma dos seus autovalores é zero.

Observe que, pela definição, a soma dos elementos de cada linha ou coluna da matriz de adjacências de um grafo é igual ao grau do vértice correspondente. Na Figura 10, exibimos um grafo G e sua matriz de adjacências A(G).

As raízes do polinômio característico da matriz de adjacências são os autovalores do grafo G. Denotamos por spect(G) o espectro do grafo G. O maior autovalor da matriz de adjacências A(G) de um grafo G é denominado índice de G é denotado por λ₁^A.

O grafo G, representado na Figura 10, tem como polinômio característico P_G(λ) = λ⁵ − 6λ³ − 4λ² + λ3 + 2. As suas raízes são todas simples e os autovalores são aproximados por −1.7751, − 0.5892, − 1,0.7237,2.6412. O índice de G é λ₁^A = 2.6412.

Definição 2.15. O raio espectral é o número real μ(G) = max{|λ_i| : i = 1,2, . . . ,n}, onde λ₁, . . . ,λn são autovalores. Isso é o raio do menor intervalo de centro na origem que contém todos os autovalores.

Se o grafo G for conexo, o item (i) do Teorema de Perron-Frobenius garante que o raio espectral é o índice do grafo, pois grafos conexos possuem matrizes de adjacências irredutíveis. O teorema garante também que μ(G) é positivo e tem multiplicidade 1.

Definição 2.16.Seja D a matriz diagonal dos graus dos vértices {v₁, . . . ,v_n} de um grafo G (ou seja, a matriz D tal que Dii = d(v_i)) e seja A(G) a matriz de adjacências de G. A matriz L = D − A é a matriz laplaciana do grafo G.

Na Figura 11, temos um exemplo das matrizes de adjacências, diagonal e laplaciana de um grafo G.

A seguir, apresentamos um resultado que relaciona os autovalores da matriz de adjacências com os autovalores da matriz laplaciana para um grafo d-regular.

Proposição 2.2. Seja G um grafo d-regular com n vértices, e seja x Є Rⁿ um vetor não nulo. Temos que x é um autovetor da matriz A(G), associado ao autovalor λ^A, se, e somente se, x é um autovetor da matriz L, associado ao autovalor d − λ^A.

Demonstração. Supomos que x é um autovetor da matriz de adjacências associado ao autovalor λ^A. Assim, como L = D − A, temos que A = D − L. Dessa forma, temos:

Portanto, x é autovetor de L associado ao autovalor d − λ^A. A recíproca é análoga.

Posteriormente, iremos utilizar um resultado de Cvetkovi´c et al. (2010) sobre o espectro de um grafo bipartido completo, particularmente de um grafo estrela. Temos que, para um grafo bipartido completo Kn1,n2 , seu polinômio característico é dado por:

Para o caso particular onde n₁ = n e n₂ = 1, obtemos um grafo estrela de n + 1 vértices cujo polinômio característico é dado por:

Portanto, temos que μ(K_1,n−1) = associado ao autovetor x =

Também utilizaremos o resultado abaixo para o raio espectral de um grafo G obtido de K_1,n−1 com adição de algumas arestas:

O fato que μ(G) ≥ μ(K_1,n−1) é imediato, pois K_1,n−1 é um subgrafo de G. Para provarmos a desigualdade estrita em (1), utilizaremos o Princípio de Rayleigh, que afirma que

e o valor máximo é atingido quando x é autovetor unitário associado λ₁^A.

Desenvolvendo o produto interno (Ax,x) = x^T Ax, onde x = (xi) e A = (a_ij), temos que:

Como o nosso autovetor x associado ao maior autovalor do grafo estrela tem entradas todas positivas, ao criarmos mais entradas aij ≠ 0, o valor x^T Ax será maior do que o valor que tinhamos anteriormente. Portanto

3 Condições clássicas de Hamiltonicidade

Um problema clássico em Teoria dos Grafos é o da existência de um ciclo hamiltoniano. Dado um grafo G = (V,E), o problema é determinar se G possui um ciclo hamiltoniano, isto é, um ciclo que, partindo de um vértice qualquer, percorre todos os demais vértices, sem repetição, e retorna ao vértice inicial.

É difícil decidir se um grafo G é hamiltoniano. Devido a sua complexidade, esse é um dos problemas que constam na primeira lista de problemas NP-completos Karp (1972). A NP-completude do problema sugere que seja extremamente difícil encontrar condições necessárias e suficientes para que um grafo seja hamiltoniano. A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas em aberto da Teoria dos Grafos.

Muito da pesquisa relacionada a esse problema consiste em encontrar condições suficientes ou necessárias para que um grafo seja hamiltoniano. São conhecidas condições justas que serão apresentadas nessa seção que garantem a hamiltonicidade de um grafo em termos do número de arestas, do grau mínimo e da sequência de graus dos vértices. As demonstrações nessa seção foram adaptadas de Bondy e Murty (2008); West (1996).

3.1 Condições Suficientes

Lema 3.1.Seja G um grafo de n vértices com grau mínimo δ(G) ≥Então G é conexo.

Demonstração. Se G tem apenas um vértice, então ele é trivialmente conexo. Se G tem dois ou mais vértices e grau mínimo δ(G) ≥ suponhamos, para obter uma contradição, que G será desconexo. Então segue que G possui m ≥ 2 componentes conexas.

Sejam com n₁,n₂, . . . ,nm vértices, respectivamente. Para cada i, 1 ≤ i ≤ m, tomamos um vértice

x_i Є V(Gi). Logo δ(x_i) ≥ , por hipótese. Então, segue que, para todo i, ni ≥ + 1, ou seja, ni ≥

Assim, n₁ + n₂ + . . . + n_m ≥ m . Portanto, n = n₁ + n₂ + . . . + n_m ≥ m ≥ 2 = +1, chegamos à contradição desejada. Logo G é conexo.

Teorema 3.1 (Dirac (1952)). Se G é um grafo com n ≥ 3 vértices e grau mínimo δ(G) ≥ , então G é hamiltoniano. Demonstração. Vamos fazer uma demonstração por absurdo. Suponhamos que G não seja hamiltoniano. Tomamos P um caminho v₁v₂ . . . vp em G com comprimento máximo.

Portanto, todo vértice adjacente a v1 e todo vértice adjacente a vp pertence a P. Dessa forma, d(v₁) e d(v_p) são, no máximo, p −1. Afirmamos que deve existir algum i, 1 ≤ i ≤ p −1 tal que temos v1 adjacente a v_i+1 e v_i adjacente a vp.

Suponhamos que este não seja o caso, ou seja, se v_i é adjacente a v_p então v_i+1 não é adjacente a v₁. Portanto

Assim, d(vp) ≤ p − 1 − < n − = . Isso é absurdo, pois, por hipótese, δ­(G) ≥ .

Agora tomamos o ciclo C = v₁v₂ . . . v_iv_pv_p−₁ . . . v_i+₁v₁ com os mesmos vértices de P, porém utilizando as arestas v_iv_p,v_i+₁v₁. Como G é não hamiltoniano, existe no mínimo um vértice w de G que não está em P. Mas como δ­(G) ≥ ≥ , pelo Lema 3.1, G é conexo e portanto podemos escolher um w com essa propriedade que seja adjacente a algum vértice vi Є P.

Tomando o caminho em G que começa em w, passa por v_i e continua ao longo do ciclo C, obtemos um caminho mais longo que P, o que é um absurdo, pois supomos que P era um caminho de comprimento máximo. Logo G é hamiltoniano.

Notamos facilmente que a condição de Dirac não é necessária, pois, por exemplo, um ciclo Cn com n vértices é trivialmente hamiltoniano, mas δ­(Cn) = 2. Por outro lado, chamamos a atenção que o Teorema de Dirac não pode ser enfraquecido. Por exemplo, considere o grafo G de ordem n = 2q desconexo com duas componentes completas K_q. O grau mínimo de G é q − 1 = − 1. Porém G não é hamiltoniano, pois é desconexo.

Teorema 3.2 (Ore (1960)). Se G é um grafo de ordem n ≥ 3 tal que d(u) + d(v) ≥ n para todo par u e v de vértices não-adjacentes, então G é hamiltoniano.

Demonstração. A demonstração é semelhante à prova do Teorema 3.1. Para garantirmos que G é conexo, vamos mostrar que quaisquer dois vértices u e v não-adjacentes estão em uma mesma componente. Isso de fato acontece, pois como d(u) + d(v) ≥ n e o conjunto S = V − {u,v} tem n − 2 elementos, pelo princípio da casa dos pombos pelo menos um vértice do conjunto S será adjacente a u e v. Assim temos G conexo. Tomamos um caminho de comprimento máximo com extremidades u e v. Se u e v forem adjacentes, temos um ciclo hamiltoniano. Se u e v não forem adjacentes, obtemos o absurdo na desigualdade (2) pois n ≤ d(u) + d(v) ≤ n − 1.

Podemos perceber que a condição de Dirac implica a condição de Ore também para vértices adjacentes. De fato, seja G um grafo de ordem n ≥ 3 tal que δ­(G) ≥ . Tomamos dois vértices u e v em G onde d(v) ≥ e d(v) ≥ assim d(u) + d(v) ≥ + ≥ n. Logo d(u) + d(v) .≥ n. O enunciado do Teorema de Ore utiliza exatamente as hipóteses necessárias para que a prova do Teorema de Dirac funcione.

O próximo resultado é uma versão mais fraca do Teorema de Ore, que garante a existência de um caminho hamiltoniano. Este resultado será utilizado para demonstrar condições espectrais para hamiltonicidade.

Lema 3.2. Seja um grafo G de ordem n ≥ 3 tal que

para todo par de vértices não adjacentes u e v. Então G contém um caminho hamiltoniano.

Demonstração. Seja G um grafo satisfazendo as condições do enunciado.

Construímos um novo grafo H com n + 1 vértices composto pelo grafo G e acrescentando-se um novo vértice x conectado a todos os vértices de G.

Por hipótese, G satisfaz a condição de que d_G(u) + d_G(v) ­ n − 1, para u e v vértices não-adjacentes em G, então

Dessa forma, temos que d_H(u) + d_H(v) ­≥ |V(H)|, para todo par de vértices não adjacentes u e v em H. Assim, pelo Teorema de Ore, H é hamiltoniano. Podemos escolher um ciclo hamiltoniano C = xv₁v₂ . . . vnx em H, logo v₁v₂ . . . v_n é um caminho hamiltoniano em G.

Destacamos que o Lema 3.2 não pode ser enfraquecido, pois, se substituirmos n − 1 em (3) por n − 2, perdemos a garantia de existir um caminho hamiltoniano no grafo. Por exemplo, se G é um grafo de ordem n = r + s, desconexo com duas componentes completas K_r e K_s, todo vértice x de K_r tem grau d(x) = r − 1 e todo vértice y de K_s tem grau d(y) = s − 1. Então d(x) + d(y) = r − 1 + s − 1 = n − 2. Porém, G não possui um caminho hamiltoniano, pois é desconexo.

Uma outra condição clássica que garante que um grafo seja hamiltoniano é a condição das arestas.

Teorema 3.3. Seja G um grafo com m arestas. Se m ­≥ + 2, então G é hamiltoniano.

Demonstração. Vamos mostrar que a condição das arestas implica a condição de Ore, que nos garante a existência de um ciclo hamiltoniano no grafo. Seja G um grafo satisfazendo a condição das arestas e sejam u e v vértices não adjacentes de G. Assim, o número máximo de arestas em G é d(u) + d(v) + . Então:

Logo d(u) + d(v) ­ ≥ − + 2 = n.

Na Figura 12, apresentamos três grafos hamiltonianos G, H e I para exemplificar as relações entre a condição de Dirac, a condição de Ore e a condição das arestas.

Em G temos um ciclo de comprimento 4 satisfazendo a condição de Dirac. Como satisfaz a condição de Dirac, G também satisfaz a condição de Ore, mas a condição das arestas não é satisfeita. No grafo H, temos um grafo completo K4 com a adição de um vértice de grau 2 adjacente a dois vértices de K₄. Neste exemplo podemos notar que as hipóteses do Teorema de Dirac não são satisfeitas. Já as condições das arestas e de Ore são satisfeitas. Por último, o grafo I que satisfaz a condição de Ore, mas não satisfaz a condição de Dirac nem a condião das aretas.

3.2 Condição Necessária

Após termos apresentado na seção anterior algumas condições suficientes clássicas para o problema de hamiltonicidade em grafos, mostraremos uma condição necessária de West (1996) para um grafo ser hamiltoniano.

Proposição 3.1. Se G = (V,E) tem um ciclo hamiltoniano, então, para cada conjunto não vazio S ⊆ ­ V, o grafo G − S tem no máximo |S| componentes.

Demonstração. Dado um ciclo hamiltoniano C no grafo G, seja S um conjunto não vazio tal que S ⊆ ­ V. Para todo vértice x Є S no ciclo C, d_C(x) = 2. Então:

onde c(G − S) denota o número de componentes de G − S e E_c(S,G − S) é o número de arestas do ciclo com uma extremidade em S e outra G − S. Em (2) temos que cada componente de G − S é conectada a S por pelo menos duas arestas do ciclo. Em (3), cada vértice de S é conectado a vértices de G − S por no máximo duas arestas do ciclo. Logo c(G − S) ≤ |S|.

Assim S deve ter no mínimo a mesma quantidade de vértices que as componentes de G − S.

Exemplo 3.1.No exemplo da Figura 14, dado um grafo G, escolhemos um conjunto S (composto pelos vértices pintados de preto), com cardinalidade |S| = 2. Notamos que o grafo G − S tem 3 componentes. Como a cardinalidade de S é menor que o número de componentes do grafo G − S, o grafo G não é hamiltoniano.

O grafo H da Figura 15 mostra que a condição necessária da Proposição 3.1 não é suficiente.

Nesse exemplo, o grafo satisfaz a condição necessária mas não possui um ciclo hamiltoniano. Todas as arestas incidentes aos vértices de grau dois deveriam ser usadas em um ciclo hamiltoniano, mas três delas são incidentes ao vértice central.

4 Condições de Fiedler - Nikiforov

Na seção anterior, apresentamos um apanhado de condições suficientes clássicas e uma condição necessária para que um grafo seja hamiltoniano.

Nesta seção, vamos estudar o problema de hamiltonicidade com ênfase em condições espectrais. O uso de técnicas algébricas na solução de problemas combinatórios tem uma longa história. Métodos algébricos mostraram-se particularmente eficazes no estudo de estruturas regulares e simétricas, ou na construção explícita de estruturas com uma dada propriedade, por exemplo, o estudo de grafos expansores Hoory et al. (2006).

Além disso, matrizes constituem uma estrutura de dados natural para armazenar grafos, o que motiva a busca de relações entre propriedades quantitativas e qualitativas de grafos e propriedades das matrizes que os representam. Um aspecto particularmente estudado é o espectro dessas matrizes, isto é, o estudo do conjunto de autovalores e autovetores das matrizes associadas a eles.

Nesse sentido, o trabalho de Fiedler e Nikiforov Fiedler e Nikiforov (2010) é precursor na obtenção de condições suficientes espectrais para hamiltonicidade. A partir desse trabalho, destacamos resultados espectrais obtidos recentemente para classes específicas de grafos, como grafos bipartidos Liu et al. (2015); Lu et al. (2012) e para autovalores de outras matrizes Yu e Fan (2013).

4.1 Os resultados de Fiedler - Nikiforov

Fiedler e Nikiforov encontraram condições suficientes para a hamiltonicidade de um grafo com base no seu raio espectral.

Seja um grafo G com n vértices e μ(G) o maior autovalor da matriz de adjacências de G. Escrevemos K_n−1 U v para a união de um grafo completo de n − 1 vértices e um vértice isolado, e K_n−1 ʘ e para um grafo completo de n − 1 vértices com uma aresta pendente. A Figura 16 mostra os dois tipos de grafos citados acima.

Notamos que K_n−1 U v não tem caminho hamiltoniano pois é desconexo e que K_n−1 ʘ e não tem ciclo hamiltoniano pois tem um vértice de grau 1.

Fiedler e Nikiforov (2010) demonstraram os seguintes teoremas:

Teorema 4.1.Se μ(G) ≥ n − 2, então G contém um caminho hamiltoniano, exceto quando G = Kn₋₁ U v. Se μ(G) > n − 2, então G contém um ciclo hamiltoniano, exceto quando G = K_n−1 ʘ e.

Um resultado semelhante foi obtido em termos do grafo complementar de G.

Teorema 4.2. Se μ(G) ≤ * , então G contém um caminho hamiltoniano exceto quando G = K_n−1 U v. Se μ(Ḡ) ≤ , então G contém um ciclo hamiltoniano exceto quando G = K_n−1 ʘ e.

Para demonstrar os resultados acima, os autores utilizaram condições clássicas apresentadas na seção 3, como o Teorema de Ore e a condição das arestas, por exemplo. Além disso, foram necessários definições e resultados preliminares. O conceito de fecho do grafo e suas propriedades e as desigualdades de Stanley (1987) e Hofmeister (1988) também foram importantes para as demonstrações, que apresentaremos nas próximas seções.

4.2 Demonstração do Teorema 4.1

Nesta seção apresentaremos resultados importantes para a demonstração do Teorema 4.1. Primeiramente mostramos um resultado semelhante ao Teorema 3.3 (condição das arestas) e depois disso demonstramos a desigualdade de Stanley (1987).

Lema 4.1.Seja G um grafo com n ­ 6 vértices e m arestas. Se m ­ ≥então G contém um caminho hamiltoniano, exceto quando G = K_n−1 U v. Se a desigualdade for estrita, então G contém um ciclo hamiltoniano, exceto quando G = K_n−1 ʘ e.

Demonstração. Seja G um grafo satisfazendo a condição das arestas m ­ ≥­ . Sejam u e v vértices não adjacentes de G e seja H = G −{u,v}. Consideramos dois casos:

(i) H não é completo. Basta mostrar que a condição d(u) + d(v) ­≥ n − 1 é satisfeita.

Neste caso, o número máximo de arestas de G é d(u) + d(v) +(n-₂²)− 1. Logo,

o que implica que

Logo d(u) + d(v) ­≥ n − 1. Assim, pelo Lema 3.2, G possui um caminho hamiltoniano e, se a desigualdade for estrita, pelo Teorema 3.2, G possui um ciclo hamiltoniano.

(ii) H é completo

Então o número máximo de arestas de G é d(u) + d(v) + ­* . Logo,

Portanto,

Como n ≥­ 6, temos que d(u) + d(v) ≥­ 4. Ressaltamos que se d(u) = 0 e d(v) ≥­ 4, nesse caso temos um grafo G = K_n−1 U u, que satisfaz a condição das arestas mas não tem um caminho hamiltoniano. Se d(u) = 1 e d(v) ≥­ 3 temos o grafo G = K_n−1 ʘ e, que satisfaz a condição das arestas mas não tem um ciclo hamiltoniano. Note que podemos encontrar facilmente um caminho hamiltoniano em G. Pois pela qualidade dos graus dos vértices u e v garantimos que saímos de u percorremos os vértices de K_n−2 e chegamos ao vértice v. Para garantirmos um ciclo hamiltoniano, temos a desigualdade estrita em (4). Portanto, d(u) + d(v) ≥­ 5. Suponhamos, sem perda de generalidade, que d(u) ≥­ 2 e d(v) ≥­ 3. Note que o grau do vértice v ser no mínimo 3 garante que haja ao menos um vértice adjacente a v e não-adjacente a u. Tomamos um ciclo que começa no vértice u, entra em K_n−2 pelo vértice vj e percorre K_n−2 até algum vértice vi adjacente ao vértice v. Após, saímos de v e entramos novamente em K_n−2 pelo vértice vm e percorremos K_n−2 (sem repetir os vértices já utilizados) até o vértice vn adjacente ao vértice u.

Observamos que a hipótese n ≥­ 6 no Lema 4.1 é necessária. Destacamos que o lema não é satisfeito para um caso específico para n = 4 e um específico para n = 5. No caso n = 4, se tomarmos G = K_1,3 e u e v vértices não-adjacentes temos um contra-exemplo para o caso em que m = 3 que não apresenta um caminho hamiltoniano.

Já no caso n = 5, se tomarmos o grafo G da Figura 18, em que m = 7, temos um contra-exemplo, pois G não apresenta um ciclo hamiltoniano apesar de satisfazer a desigualdade estrita.

A desigualdade de Stanley (1987) que apresentamos a seguir é importante para a demonstração do Teorema 4.1 dada em Fiedler e Nikiforov (2010), pois ela apresenta uma relação entre o raio espectral μ(G) da matriz de adjacências e o número de arestas m do grafo G.

4.2.1 Desigualdade de Stanley

Em seu artigo, Stanley (1987) relaciona o raio espectral da matriz de adjacências de um grafo com o número de arestas do grafo.

Teorema 4.3 (Desigualdade de Stanley). Seja G um grafo com m arestas e A a matriz de adjacências de G. Então

e a igualdade é válida se, e somente se, G é a união disjunta de um grafo completo K_k e vértices isolados, onde k é um inteiro positivo.

Para a demonstração, Stanley utiliza um resultado de Brualdi e Hoffman (1985) que mostra que o raio espectral μ(A) satisfaz μ(A) ≤ k − 1, valendo a igualdade se, e somente se, existe uma matriz P de permutação tal que PAP^T tem a forma

onde J⁰_k é uma matriz de ordem k × k com 0’s na diagonal principal e 1’s nas demais componentes. Em outras palavras, isso significa que G é isomorfo à união disjunta de um grafo completo K_k e vértices isolados.

Note que o Teorema 4.3 fornece um limite superior para o raio espectral de qualquer grafo com m arestas, o qual implica o resultado em Brualdi e Hoffman (1985) no caso particular em que m = ­* .

Demonstração do Teorema 4.3. Seja A a matriz de adjacências do grafo G. Denotamos por A_i a linha i da matriz A e ri a soma dos elementos da linha A_i. Assim:

Seja x = (x1, . . . ,xn)^T um autovetor de A com ‖x‖ = 1 correspondendo ao autovalor μ(A), de forma que Ax = μ(A)x. Tomamos um vetor x(i) obtido de x pela substituição do elemento xi por zero, isto é, x(i) = (x1,x2, . . . , . . . , xn)^T. Sabendo que Ax = μ(A)x, temos que Aix = μ(A)xi. Como os elementos da diagonal principal de A são nulos, então temos que Aix = Aix(i), logo μ(A)xi = Aix(i).

Assim, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz,

para 1 ≤ i ≤ n. Em (*), temos o vetor Ai = (a_i1,a_i2, . . . ,a_in) e por hipótese r_i = a_i1 + a_i2 + · · · + ain_. Como Ai é um vetor que representa a linha i da matriz de adjacências, então é formado apenas por zeros e 1’s. Ao elevarmos ao quadrado cada termo, a soma não se altera. Logo ‖Ai‖² = a²_i1 + a²_i2 + · · · + a²_in = r_i. Em (**), temos o vetor x = (x₁,x₂, . . . ,x_i, . . . x_n). Como ‖x‖ = 1, então

Portanto, 1 − x²_i = ‖x(i)‖². Isso justifica (6).

Somando (6) em relação a i, obtemos

Mas ∑ⁿ_i=1 x2 i = 1 e ­∑ⁿ_i=1 ri = r1 + r2 + · · · + rn = 2m, pois esta é a soma das linhas da matriz de adjacências, então

Agora analisando ­∑ⁿ_i=1 rix²_i , temos

Observe que (­) é válido pela simetria da matriz de adjacências, em (­­ ) a desigualdade ocorre pois (xi − xj)² = x² i − 2xixj + x²_j Ciência e Natura . Novamente pela simetria de A, garantimos (­­­).

Como Ax = μ(A)x, temos que x^TAx = x^Tμ(A)x = μ(A)x^Tx = μ(A) pois x^Tx = ‖x‖ = 1. Logo ∑­ⁿ _i=1 rix²_i ≥ μ(A), por (8). De (7) resulta

Então μ(A)² + μ(A) − 2m ≤ 0. Usando conceitos básicos de inequação de 2^o grau concluímos que a desigualdade acima resulta em (5).

Para garantir a igualdade em (5), todas as desigualdades no argumento devem ser igualdades. Em particular, nós temos que

para todo i < j, o que implica que (xi − xj)²aij = 0. Portanto, aij = 0 ou xi = xj. Assim escolhemos uma matriz P de permutação tal que Px tem a forma

onde y₁,y₂, . . . ,yj são distintos. Isso significa dizer que a matriz P altera a rotulação, agrupando os elementos iguais de x. Afirmamos que PAP^T será uma matriz em blocos na forma

De fato, sabemos que (y_i − y_j)²aij = 0 e que y_i = y_j por definição. Assim aij = 0, logo teremos apenas zeros nas entradas fora dos blocos. Cada bloco Bi está associado a um autovetor (y_i,y_i, . . . ,y_i)T, dessa forma, (1,1, . . . ,1)^T é um autovetor de Bi. Assim cada B_i tem a mesma soma nas linhas, então μ(A) é o máximo na soma das linhas de A. Portanto = j é um inteiro ímpar, e

Para k = , temos m = . Assim ao substituirmos m = em (5) obtemos μ(A) = k − 1 e de Brualdi e Hoffman (1985) segue que existe um bloco não nulo B1 = J⁰_k , completando a demonstração.

Nesse momento, temos as ferramentas necessárias para demonstrar o Teorema 4.1.

Demonstração do Teorema 4.1. Pelo Teorema 4.3 temos

e, por hipótese, temos que

Assim,

Como m ≥ , pelo Lema 4.1 garantimos que G possui um caminho hamiltoniano exceto quando G = K_n−1 Uv. Se a desigualdade em (9) for estrita, garantimos que G possui um ciclo hamiltoniano exceto quando G = _Kn−1 ʘ e. 1Is7so completa a demonstração do Teorema 4.1.

4.3 Demonstração do Teorema 4.2

A demonstração do Teorema 4.2 é baseada no conceito de k-fecho de um grafo, usada diretamente por Ore (1960) e formalmente introduzida por Bondy e Chvátal (1976). Também utilizaremos a desigualdade de Hofmeister (1988). Nas próximas seções, apresentaremos esses conceitos e resultados que serão importantes para a compreensão da demonstração.

4.4 O fecho de um grafo

Os resultados que apresentaremos nesta seção são inspirados no Teorema de Ore (1960). Primeiramente mostraremos um resultado cuja a prova é semelhante à do Teorema 3.1.

Lema 4.2.(Bondy-Chvátal) Sejam G um grafo e u e v vértices não-adjacentes de G tais que d_G(u) + d_G(v) ­ n. Então G é hamiltoniano se, e somente se, G + uv é hamiltoniano.

Demonstração. () É imediata, já que, se G é hamiltoniano, então G + uv também é hamiltoniano. () Supõe que G= G + uv é um grafo hamiltoniano. Então existe um ciclo em G não repetindo nenhum vértice. Se esse ciclo não usa a aresta uv então teremos um ciclo hamiltoniano em G. Se esse ciclo usa a aresta uv, então, em G, temos um caminho hamiltoniano com extremidades u e v. Como, por hipótese, d_G(u)+d_G(v) ­ n, podemos estender esse caminho para um ciclo pelo método da demonstração do Teorema 3.1. Logo G tem um ciclo hamiltoniano.

O Lema 4.2 motiva a definição do conceito de fecho de um grafo.

Definição 4.1. O fecho de um grafo G com n vértices, denotado Cn(G), é o grafo obtido de G de forma recursiva pela adição de arestas entre pares de vértices não adjacentes u e v tais que

Destacamos que a ordem na qual as arestas são adicionadas a G formando o fecho não tem efeito no resultado final, e portanto o fecho de um grafo G é bem definido. A Figura 19 ilustra a formação do fecho de um grafo G com seis vértices. Neste exemplo acontece que o fecho é completo.

O estudo da operação fecho para o problema de ciclos hamiltonianos gerou o seguinte resultado de Bondy e Chvátal (1976).

Teorema 4.4. Um grafo G é hamiltoniano se, e somente se, o seu fecho C_n(G) é hamiltoniano.

Corolário 4.1. Seja G um grafo de ordem n ≥­ 3 cujo fecho é completo. Então G é hamiltoniano.

Definição 4.2. O k-fecho de um grafo G, denotado por C_k(G), é o grafo obtido de G por um processo recursivo, o qual consiste em adicionar arestas para pares de vértices não adjacentes u,v tais que

Teorema 4.5.Um grafo G tem um caminho hamiltoniano se, e somente se, Cn−1(G) tem um caminho hamiltoniano.

Se assumirmos que H = C_k(G) não é completo, dentre todos os vértices de H tal que o grau é menor do que n − 1, escolhemos um vértice com maior grau e denotamos por v. Dentre todos os vértices não adjacentes a v, escolhemos um com maior grau e denotamos por u. Pela definição de k-fecho temos

O fato de que vértices não-adjacentes do k-fecho satisfazem (10) é utilizado para a demonstração do Teorema 4.2.

4.5 Desigualdade de Hofmeister

Além dos conceitos do fecho de um grafo G definidos acima, também utilizaremos a desigualdade de Hofmeister (1988) para a demonstração do Teorema 4.2.

Em Hofmeister (1988), foi determinado um limite inferior para o raio espectral μ(G) em relação à sequência de graus de G. Já existem na literatura diversos resultados sobre a relação entre o raio espectral μ(G) e a sequência de graus de um grafo G. Por exemplo, segue da teoria de matrizes não negativas que o raio espectral satisfaz a desigualdade

A igualdade é válida no lado esquerdo de (11) se o grafo G é regular; no lado direito, se G tem uma componente ­∆-regular.

Outro limite inferior para μ(G) é dado por Von Collatz e Sinogowitz (1957). Eles mostram que

onde d = (d₁, . . . , d_n) é a sequência de graus de G. Para grafos regulares

temos que

Para compreendermos o resultado principal de Hofmeister, temos que apresentar algumas definições preliminares.

Definição 4.3. Sejam o vetor x = (x1, . . . ,xn) com entradas não negativas. Para p ≥ 1, a p-média de x é definida por

desde que lim p ͢ ∞x(p) = max{x1, . . . ,xn}.

Lema 4.3. Hofmeister (1986) A p-média, vista como uma função de p, é contínua e estritamente crescente se x possuir pelo menos duas componentes diferentes.

Para definirmos a média espectral característica, tomamos agora um grafo G. As desigualdades (11), (12) e o Lema 4.3 implicam a existência de um único p ЄR≥1 U {∞} tal que d^(p) = μ(G), desde que G não seja regular. Esse p é chamado de média espectral característica de G, que denotamos por char(G).

Apresentamos o resultado de Hofmeister que será utilizado na demonstração do Teorema 4.2.

Teorema 4.6 (Desigualdade de Hofmeister). Para todo grafo G, temos char(G) ≥ 2.

Demonstração. Seja G um grafo com sequência de graus (d₁, . . . ,d_n). Para obter nosso resultado basta mostrar que

pelo Lema 4.3. Sejam o vetor unitário x0 = 1/ · (1, . . . ,1)^T e a A matriz de adjacências do grafo G. É fácil ver que

Assim d⁽²⁾ = ‖­Ax0‖­ ≤ Ax­ = μ(G). Então μ(G) ≥ d⁽²⁾, como queríamos demonstrar

Após apresentarmos o conceito do fecho de um grafo e suas proprieades e a desigualdade de Hofmeister, temos todas as ferramentas necessárias para demonstrar o Teorema 4.2.

Demonstração do Teorema 4.2. Seja H = C_n−1(G). Suponhamos que μ(Ḡ) ≤ , mas que G não tem um caminho hamiltoniano. Pelo Teorema 4.5, o grafo H = C_n−1(G) não tem um caminho hamiltoniano. Utilizando a propriedade principal (10) do k-fecho de um grafo G, temos que d_H(u) + d_H(v) ≤ n − 2 para todo par de vértices não adjacentes u e v em H.

Em ­ temos que dH(u) + dH(v) ≤ n − 2. Então

para toda aresta uv Є E(). Agora, somando essas desigualdades para todas arestas uv Є E(), obtemos

Cada termo d (u) aparece na soma d (u) vezes

Usando a desigualdade de Hofmeister demonstrada no Teorema 4.6, obtemos

Uma vez que C Ḡ, nós temos, por hipótese,

Portanto,

De (13), temos que

e agora facilmente podemos ver que e() ≤ n − 1 e

Como supomos que H não tem caminho hamiltoniano e temos que e(H) ≥ , o Lema 4.1, implica que H = K_n−1 U v. Se G = H a prova está completa. Então assumimos que G é um subgrafo de K_n−1 U v. Então G é uma estrela K_1,n−1 de ordem n com algumas arestas adicionadas e, em particular, é conexo. Assim pelo Teorema de Perron-Frobenius e pelo Corolário 2.1

contradizendo μ(Ḡ) ≤ e completando a prova para caminhos hamiltonianos. Agora, suponha que μ(Ḡ) ≤ mas G não tem um ciclo hamiltoniano, usando o Teorema 4.4 e os argumentos acima nós vimos que

e uma vez que H não tem um ciclo hamiltoniano, o Lema 4.1, implica que H = Kn₋₁ ‑ e. Se G = H, a prova está completa, então assumimos que G é um subgrafo de Kn−1 ‑ e. Então G é uma estrela K1,n₋₂ com algumas arestas adicionadas. Portanto G contém um subgrafo de K_1,n−2. Assim pelo Teorema de Perron-Frobenius e pelo Corolário 2.1

contradizendo μ(Ḡ) ≤ e completando a demonstração.

5 Condição de Butler

5.1 Butler - Chung

Butler e Chung (2010) mostram uma condição espectral suficiente para um grafo ser hamiltoniano com base em uma análise da proximidade entre os autovalores da matriz laplaciana e o grau médio do grafo.

Teorema 5.1. Seja G um grafo com n vértices com grau médio d e 0 = λ^L_n ≤ λ^L_n−1 ≤ λ^L_n−2 ≤ . . . ≤ λ^L₁ os autovalores da matriz laplaciana de G. Existe uma constante c tal que, para n suficientemente grande, se

para todo i ≠ n, então G é hamiltoniano.

Quando G é d-regular, pela Proposição 2.2 temos a seguinte relação entre os autovalores da matriz de adjacências e os autovalores da matriz laplaciana:

Como o grafo é d-regular, temos que λ^A₁ = d está relacionado com o autovalor λ^L_n, que é o único autovalor que não é levado em consideração no enunciado do Teorema 5.1. E com isso vemos que o Teorema 5.1 implica o seguinte resultado de Krivelevich e Sudakov (2003), que foi obtido para a constante c =

Teoria 5.2. Seja G = (V,E) um grafo d-regular com n vértices, onde n é suficientemente grande. Se

para todo i ≠ 1, então G é hamiltoniano.

O resultado do Teorema 5.1 é mais forte do que o Teorema 5.2, pois garante a hamiltonicidade para qualquer grafo, enquanto que Teorema 5.2 garante hamiltonicidade apenas para grafos d-regulares.

Quando G não é regular, os autovalores das matrizes de adjacências e laplaciana não estão mais relacionadas de uma forma trivial e torna-se mais importante determinar qual espectro é utilizado. Na prova do Teorema 5.1, é utilizado o espectro da matriz laplaciana, pois a matriz laplaciana é útil para controlar a expansão da vizinhança de um conjunto de vértices.

Destacamos que a demonstração que vamos apresentar do Teorema 5.1 adapta proposições e lemas para grafos d-regulares que são utilizados na demonstração do Teorema 5.2. Por simplicidade, muitos dos lemas técnicos são demonstrados para o caso d-regular.

5.2 A família de (n,d,λ)-grafos

Um grafo G é chamado (n,d,λ)-grafo se, e somente se é d-regular, tem n vértices e λ_A² = ‑. Essa é uma família de grafos pseudo-aleatórios, veja Krivelevich e Sudakov (2006) para mais informações. Nesta seção apresentamos uma quantidade de resultados na distribuição das arestas em grafos pseudo-aleatórios. Para um subconjunto de vértices U C V(G) denotamos por N(U) o conjunto de todos os vértices em V − U adjacentes a algum vértice em U. Também denotamos por e(U) o número de arestas com ambas as extremidades em U.

Teorema 5.3. (Alon e Spencer, 2004, Corolário 21 9.2.5, 9.2.6) Seja G = (V,E) um (n,d,λ)-graufo Então:

(a) para quaisquer dois subconjuntos B,C _C­ V o número de arestas de G com uma extremidade em B e outra em C satisfaz

(b) para todo subconjunto B ⊆ V,

Podemos destacar um trabalho mais recente de Krivelevich e Sudakov (2006) que apresenta uma cota melhor do que (17).

A seguir mostraremos proposições que serão importantes para a demonstração do Teorema 5.1. As Proposições 5.1, 5.2 e 5.3 são ditas propriedades da expansão das arestas. A Proposição 5.1 diz que, para um conjunto de vértices V0 pequeno, o número de arestas com ambas as extremidades em V₀ é limitado por ­λ|V₀|. Isso nos garante que temos arestas com uma extremidade em V₀ e outra extremidade em V − V₀. De fato, como ­∑_vЄV0 d(v) = |e(V₀,V − V₀)| + 2|e(V₀)|, esse número é dado por e(V₀,V − V₀) ≥ d|V₀| − 2­λ|V₀|. A Proposição 5.1 a seguir garante que muitas arestas saem de qualquer conjunto pequeno. Porém, como diversas arestas podem ter a mesma extremidade, isso não garante que o conjunto de vizinhos seja grande.

A Proposição 5.2 garante que para todo conjunto de vértices muito pequeno V₀, teremos uma vizinhança relativamente grande.

Nas proposições abaixo, supomos que G = (V,E) é um (n,d,­λλ)-grafo com ­ <

Proposição 5.1. Todo subconjunto V0 ­c V de cardinalidade |V₀| ≤ ­gera no máximo λ­|V₀| arestas.

Demonstração. De (18),

como |V0| , temos

Logo e |V0| ≤ λ,lVol

Proposição 5.2. Para todo subconjunto V0 C­ V de cardinalidade |V0| ≤

Demonstração. Denotamos N(V0) = U. Pela Proposição 5.1 aplicada a V0, temos e(V0) ≤ λ ­|V0|. Como o grau de todo vértice em V0 é d, nós obtemos:

Por outro lado, segue de (17) que

Da desigualdade (19), temos

e isso implica que

Se |U| ≤ |V0|, então

Então < (d − 2λ­)|V₀| contradizendo (20).

Proposição 5.3. Para todo subconjunto V₀ V de cardinalidade |V₀| > , |N(V₀)| > − |V0|.

Demonstração. Seja o conjunto U = V \ (V₀ U N(V₀)). Então claramente e(V₀,U) = 0. Por outro lado de (17) temos

Isso implica que

A desigualdade < n implica que |U| < . Então |N(V₀)| = |V| − |V₀| − |U| > − |V₀|.

Proposição 5.4. Sejam dois subconjuntos disjuntos tais que U₁,U₂ C V(G) não são conectados por uma aresta em G, temos |U₁||U₂|< .

Demonstração. Por (17)

Assim Segue que |U₁||U₂| <

Proposição 5.5. Se G = (V,E) é um (n,d,λ­)-grafo com ­ <então G é conexo.

|Demonstração. Se G é desconexo, então G tem uma componente conexa V₀ de tamanho |V₀| ≤ . Como N(V₀) = Φ­, segue da Proposição 5.3 que |V₀| ≤ . Isso contradiz a Proposição 5.2, já que a mesma afirma que |N(V₀)| ≥

Para provar o resultado do Teorema 5.1, precisaremos de um resultado mais geral, que adapta o resultado do Teorema 5.3 para a matriz laplaciana. Inicialmente, enunciaremos um resultado que é semelhante ao resultado do Teorema 5.3.

Teorema 5.4.(Butler e Chung, 2010, Teorema 2.1) Supomos que um grafo G com n vértices tem grau médio d e os autovalores 0 = λ^L_n ≤ λ^L_n−1 ≤ . . . ≤ λ­^L₁ da matriz laplaciana satisfazem |d − ­λ_i| ‑ ‑ para todo i ≠ n. Então, para quaisquer dois subconjuntos de vértices B e C, temos

e

Vamos utilizar o Teorema 5.4 para provar o resultado de Butler e Chung em dois passos. Primeiramente, mostraremos que nós temos uma boa expansão na vizinhança e depois disso mostraremos que o grafo é conexo. Para estudar essa expansão das arestas e mostrar que o grafo é conexo vamos enunciar uma proposição que apresenta resultados parecidos como das proposições acima. A demonstração dessa proposição sera omitida, pois são semelhantes as proposições já provadas anteriormente.

Proposição 5.6.(Butler e Chung, 2010, Proposição 2.3) Seja G um grafo de n vértices com grau médio d e |d − λ­i| ≤ θ para os autovalores da matriz laplaciana tal que i ≠ n. Assumimos que 8θ < d e que B,C ⊆ V. Então temos que:

• se |B| ≤ , então e(B) ≤ |B|;

• se |B| ≤ , então |N(B)| > |B|;

• se |B| > , então |N(B)| > |B|;

• se B n C = Φ ­ e e(B,C) = 0, então |B‖C| <

• G é conexo.

5.3 Demonstração do Teorema 5.1

A demonstração do Teorema 5.1 é parecida com a demonstração do Teorema 5.2, com algumas pequenas mudanças nas constantes. Destacamos que os resultados utlizados para demonstrar o resultado de Butler e Chung estão relacionados com o teorema de Krivelevich e Sudakov para grafos d-regulares.

A demonstração envolve uma técnica de rotação de caminhos inspirada na demonstração clássica do Teorema 3.1. A ideia principal é que, dado um caminho de comprimento máximo, as arestas dos pontos finais do caminho devem estar conectadas ao centro do caminho e podem ser usadas para rotacionar o caminho e criar um novo caminho de comprimento máximo. Esse processo de rotação pode ser repetido e nós podemos formar uma grande coleção de caminhos máximos, o que permite que um desses caminhos possa ser fechado para formar um ciclo hamiltoniano.

Demonstração Teorema 5.1. Seja P = (v₁,v₂, . . . ,v_m) um caminho de comprimento máximo em G. Se v_i é adjacente a vm para algum i então outro caminho máximo é dado por P´ = (v₁, . . . ,v_i,v_m,vm₋₁, . . . ,v_i+1), que inclui a aresta {v_i,v_m} e retira a aresta {v_i,v_i+1}.

Nós dizemos que P´ é uma rotação de P com extremidade fixa v₁, eixo de rotação vi e aresta removida {vi,vi+1}. Em seguida, escolhemos um vértice de P´ como eixo de rotação e criamos um novo caminho máximo P´´, e assim por diante. Para t ≥ 0 seja o conjunto St de vértices v Є {v₂, . . . ,v_m} tais que v é extremidade de um caminho obtido de P por no máximo t rotações com extremidade fixa v₁ e todas as arestas removidas pertencentes a P. Então, temos que S₁ é o conjunto de vértices finais obtido através do caminho inicial usando até uma rotação, S₂ permite rotações nos caminhos de S₁, mantendo v₁ fixo e utilizando arestas de P, e assim sucessivamente. Logo S₁⊆ S₂ ⊆ S₃ . . .. É fácil ver que, pela maximalidade do caminho P, todas as arestas incidentes a um vértice em S_t têm a segunda extremidade no caminho P.

Analisando os conjuntos S_t, podemos mostrar esses têm uma boa expansão na vizinhança.

Lema 5.1.Para todo t ≥ 0, |S_t+1| ≥|N(S_t)| −|S_t|.

Demonstração. Seja

Vemos que, para um vértice v_i Є T, as arestas {v_i−1,v_i} e {v_i,v_i+1} não são arestas removidas. Assim |T| ≥ |N(S_t)| − 3|S_t|, pois, para cada v_i ≥ Є S_t, temos que i,i − 1,i +1 T.

Consideramos um vértice vi Є V(P) com i Є T. Então, v_i tem um vizinho x S_t. Isso significa que existe um caminho P‑ de comprimento máximo com x como extremidade, obtido de P por no máximo t rotações. Observamos que, durante esse processo repetido de rotações, vamos removendo arestas no nosso caminho inicial P. Como v_i−1,v_i,v_i+1 /S_t ambas as arestas {v_i−1,v_i} e {v_i,v_i+1} continuam presentes em P‑. Agora, rotacionando P‑ com eixo de rotação vi, uma das arestas {v_i−1,vi},{v_i,v_i+1} será removida. Logo v_i−1 ou v_i+1 Є S_t+1 e, assim, cada elemento de T produz um elemento de St+1, por exemplo, se v_i+1 Є S_t+1, v_i+1 poderia ser imagem de vi ou v_i+2.

Temos que dois elementos de T podem gerar um mesmo elemento de S_t+1, de forma que |S_t+1| ≥ | . Então

Agora seja

Pela Proposição 5.6(b), se |S_t| ≤ então |N(S_t)| ≥ .Pelo Lema 5.1 temos que

Em particular, se d é grande comparado a ­θ (digamos d > 1000θ­) então, quando |S_t| ≤ ­ , podemos ver facilmente por indução que

Isso implica que, em no máximo

passos nós temos que |S_t| > ­ . Pela Proposição 5.6(c) quando adicionamos um passo nós temos que

Isso implica que |S_t+1| ≥ . Aplicando a Proposição 5.6 com B = S_t+1 e C = V − N(S_t+1), concluímos que

Utilizando novamente a Proposição 5.6(c) como em (26) temos

e portanto |S_t+2| ≥ > para n suficientemente grande.

Sejam B(v₁) = S_t0 e A0 = B(v₁) U {v₁}. Para v Є B(v₁), podemos repetir o argumento acima e obtermos um conjunto B(v) de extremidades dos caminhos de comprimento máximo com ponto fixo v. Assim |B(v)| > n/6. Note que cada extremidade em B(v) será obtida em no máximo 2_t0 rotações de P.

Também notamos que cada vértice em B(v₁) está em P, e portanto P deve conter pelo menos n/6 vértices, isto é, P contém uma fração constante dos vértices do grafo. Para cada a Є A₀,b Є B(a), existe um caminho de comprimento máximo P(a,b) com extremidades a e b que é obtido de P em no máximo p = 2_t0 rotações.

Agora retornamos ao caminho inicial P, que dividimos em 2p segmentos disjuntos I₁, . . . ,I_2p, cada um com comprimento pelo menos [n/12p]

Já que cada caminho P(a,b) é obtido de P por no máximo ­ rotações, existem no mínimo ­ segmentos que não foram alterados. Chamaremos esses segmentos de intactos. Definimos a orientação natural do segmento como a orientação no caminho original P, quando percorrido de v₁ a v_n. Dependendo da rotação, a orientação de um segmento intacto pode mudar. Dado um segmento intacto, dizemos que o segmento tem orientação relativa + com relação a um novo caminho se mantém a orientação natural e - caso contrário. Vejamos um primeiro exemplo:

Rotacionamos o caminho inicial P, com eixo de rotação x e a aresta removida {x,y} criamos um novo caminho de comprimento máximo,

em que o segmento pq trocou sua orientação relativa.

Vejamos um segundo exemplo:

Rotacionamos o caminho inicial P, com eixo de rotação x e a aresta removida {x,y} criamos um novo caminho de comprimento máximo, que

manteve a orientação relativa de pq.

Seja k = 2 max{1,[500p­/d]. Consideramos as sequências σ = I_i1 , . . . ,I_ik de k segmentos intactos de P que ocorrem nessa ordem em P(a,b), com as respectivas orientações relativas. Dizemos então que P(a,b) contém . Note que P(a,b) tem no mínimo ­ segmentos Iij intactos, logo P(a,b) contém no mínimo ­ sequências σ. Considere o seguinte exemplo para k = 4.

Acima, construímos uma sequência σ com quatro segmentos intactos de P que ocorrem nessa ordem em P(a,b). Note que os segmentos I13 e I12 mantiveram sua orientação relativa no novo caminho, o que não aconteceu com os segmentos I1 e I20.

Dado σ, definimos L(σ) como o conjunto de todos os pares (a,b) para os quais σ está contido em P(a,b). O número total de possibilidades para a sequência direcionada σ é no máximo

Considere a sequência ‑0 que está contida em P(a,b) para o maior número de pares (a,b), a Є A0 e b Є B(a). Afirmamos que

Existem pelo menos maneiras de escolher o par (a,b) e cada P(a,b) contém no mínimo sequências direcionadas σ. Finalmente, existem no máximo 2­ρ(2ρ­ − 1) · · · (2ρ­ − k + 1) possibilidades para σ.

Por hipótese k ­≤ ρ/2 então (­ρ− k)/(2­ρ − k) ≥ 1/3 e segue que existe a sequência σ₀ no qual

Seja α = . Definimos A como o conjunto de todos a Є A0 tais que L(σ₀) contém, no mínimo, pares com a como primeiro elemento.

Tomamos a Є A₀. Se a Є Ậ, a aparece, no máximo, n vezes. Se a Ậ, a aparece, no máximo, vezes. Como |L(σ₀)| ≥ αn², temos:

Logo, teremos que:

Portanto,

Como < 1, concluímos que ≤| Ậ |.

Para a Є Ậ, seja B(a) = {b ‑ B(a), (a,b) ‑ L(σ₀)}. A definição de Ậ garante que | B (a)| ≥ .

Seja C₁ a união dos primeiros segmentos de σ0, fixando a ordem e a orientação relativa na qual eles ocorrem ao longo de qualquer um dos caminhos P(a,b), (a,b) Є L(σ₀). Seja C₂ a união dos últimos segmentos de σ₀.

Note que

Dado um caminho P₀ e o conjunto S ­⊆ {v₁, . . . ,v_m}, um vértice v Є S é chamado de ponto interior de S com respeito a P se ambos os vizinhos de v ao longo de P estão em S. O conjunto de todos os pontos interiores de S é denotado por int(S). Usando (24) e (27), temos o seguinte resultado:

Lema 5.2.(Krivelevich e Sudakov, 2003, Proposição 3.2) O conjunto C₁ contém um subconjunto C_´1 com |int(C´₁ )| ≥ tal que todo v Є C_´1 tem, no mínimo, 14θ vizinhos em int(C_´1). O mesmo vale para C₂.

Tal lema garante que, para um conjunto grande C_´1 , cada elemento nesse conjunto possui um grande número de vizinhos em int(C_´1 ).

Agora fixamos os conjuntos C_´1 e C_´2. Usando a Proposição 5.6(d) é possível mostrar que os vértices das extremidades estarão ligados ao interior dos caminhos.

Lema 5.3. (Krivelevich e Sudakov, 2003, Proposição 3.3 e 3.4) Existe um vértice â Â conectado por uma aresta ao conjunto int(C_´1). Similarmente, existe um vértice b Є B( a) conectado por uma aresta ao conjunto int(C_´2).

Seja x um vértice separando C_´1 e C_´2 ao longo de P( â, b ). Isso divide o caminho em dois caminhos P₁ e P₂.

Agora fixamos x e rotacionamos cada caminho P_i, garantindo que usamos somente vértices no respectivo conjunto int(C_´i ) como eixo de rotação.

Podemos mostrar que os conjuntos de extremidades são suficientemente grandes, então a Proposição 5.6(d) implica que existe uma aresta entre esses conjuntos de extremidades que chamamos de V₁ e V₂. Essa aresta fecha um caminho de comprimento máximo para um ciclo. Como G é conexo, pelo Corolário 5.6(e) qualquer ciclo não-hamiltoniano pode ser estendido para um caminho adicionando algum vértice. Portanto, por hipótese, a maximalidade de P₀ implica que P₀ é um caminho hamiltoniano e, assim, criamos um ciclo hamiltoniano, como queríamos.

Para isso, seja o conjunto T_i de vértices v Є C_´1 \ x tais que v é extremidade de um caminho obtido de P₁ por i rotações com extremidade fixa x. Todos os eixos de rotação estão em int(C_´1 ) e todas as arestas removidas estão em P₁.

Analisando os conjuntos T_i, podemos mostrar, usando (24), que, quando |T_i| é pequeno, ele contém um subconjunto que expande, em particular, em até log ­() passos, teremos |T_i| ≥ .

Lema 5.4.(Krivelevich e Sudakov, 2003, Proposição 3.5) Existe um i tal que |T_i| ≥ .

Assim, o conjunto V₁ de extremidades de todas as rotações de P₁ é tal que |V₁| ≥ ­ . Pelo Lema 5.4, b tem um vizinho em int(C_´2 ). O mesmo argumento pode ser feito para P₂ e mostrar que o conjunto V₂ de extremidades de todas rotações de P₂ é tal que |V₂| ≥ . Logo temos o seguinte:

Concluímos, pelo Corolário 5.6(d), que existe uma aresta conectando V₁ e V₂, fechando o ciclo.

6. Conclusões

Neste trabalho apresentamos, essencialmente, condições necessárias e suficientes para um grafo ser hamiltoniano. Tal estudo foi motivado pelo fato de tratar-se de um problema de difícil solução, apesar de ter um enunciado simples. Foram apresentadas condições suficientes clássicas, como o Teorema de Dirac - que garante hamiltonicidade via grau mínimo do grafo - e, também, o Teorema de Ore - que envolve o grau dos vértices não adjacentes. Vimos que essas condições não são necessárias, por exemplo, um ciclo Cn com n vértices é hamiltoniano, mas δ(C_n) = 2. Por outro lado, podemos mostrar que existem grafos com n vértices e grau mínimo n/2 − 1 que não são sequer conexos, quanto mais hamiltonianos, e portanto a condição de Dirac não pode ser melhorada.

A Teoria Espectral de Grafos estuda propriedades de um grafo através dos autovalores e autovetores de uma matriz associada ao grafo, que formam o espectro do grafo com respeito a essa matriz. Estudamos dois trabalhos precursores na obtenção de condições suficientes espectrais para um grafo ser hamiltoniano. Em Fiedler e Nikiforov (2010), foi obtido um resultado envolvendo a matriz de adjacências, mais especificamente, o raio espectral da matriz de adjacências. Já em Butler e Chung (2010), há uma condição envolvendo os autovalores não triviais da matriz laplaciana.

O objetivo principal deste trabalho era mostrar as condições conhecidas na literatura, bem como suas demonstrações, detalhadamente. Para apresentar as demonstrações dos resultados mais relevantes, utilizamos diversas ferramentas combinatórias e de Álgebra Linear, incluindo os conceitos de fecho de um grafo e de distribuição das arestas em grafos pseudo-aleatórios.

Percebemos também que as cotas existentes nas condições eram justas. Isso significa dizer que existem grafos para os quais as cotas não podem ser melhoradas, já estão otimizadas. Além disso, podemos destacar que existem diversos trabalhos que tratam do enfraquecimento de condições do tipo Dirac-Ore. Como sabemos, essas condições são justas, logo alguns grafos não-hamiltonianos vão ser falsos positivos em um teste mais fraco. Nesse sentido, ressaltamos o trabalho de Erdös e Hobbs (1978), que apresentam o seguinte resultado: se n ≥ 4 e G é um grafo 2−conexo com 2n ou 2n − 1 vértices, o qual é regular de grau n − 2, então G é hamiltoniano se, e somente se, G não é o grafo de Petersen.

Nos resultados espectrais estudados neste trabalho, podemos destacar uma diferença fundamental nas suas demonstrações e nos métodos utilizados. Em Fiedler e Nikiforov (2010) a cota espectral garante que um grafo seja hamiltoniano utiliza diretamente o resultado clássico de Ore e portanto qualquer grafo que satisfaça a condição espectral também satisfaz a condição de Ore. Já em Butler e Chung (2010), os autores apresentam a construção do ciclo hamiltoniano com base em propriedades do grafo que decorrem da caracterização espectral, sem a utilização de uma condição que garante hamiltonicidade. Por isso, é natutal que a demonstração do resultado de Butler e Chung seja mais difícil que a do resultado de Fiedler e Nikiforov.

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