Suponha que os dados de entrada e saída e sejam dados. O problema é identificar a dimensao n do sistema e as matrizes (A, B, C, D) do sistema (2.1)[10].

O sistema (2.1) pode ser representado na forma matricial [3]:

onde corresponde aos parámetros desconhecidos. A equacao (2.2) pode ser interpretada como um modelo de regressao. Se na equacao (2.2) as matrizes X_k+1, Y., X. e U. sao dadas, entao o parametro desconhecido Θ pode ser calculado pelo método dos mínimos quadrados, isto é:

Onde denota a estimativa de Θ e denota a norma de Frobenius de una matriz. De equacao (2.3), resulta:

Entao em um caso ideal, quando se tem os dados de entrada, saída e a sequencia de estados para dois instantes de tempo sucessivos k e k + 1, a identificacao do parametro Θ na equacao (2.2) é trivial. No entanto, na prática, X. e X_k+1 nao sao conhecidos e tem que ser estimados a partir dos dados de entrada e saída. Isto é um ponto importante nos métodos de identificacao por subespacos. A diferenca entre estes métodos reside na forma como obter a sequencia de estados estimados.

Fazendo iteracoes sucessivas no sistema (2.1) obtemse a seguinte equacao matricial:

onde a matriz U_f é definida de forma similar a matriz Y_f . As matrizes Y_f e H_i sao definidas por:

O número de colunas em Y_f e U_f é j = N - 2i + 1 , onde N representa a quantidade de dados e i é o número de linhas definido pelo usuario (por exemplo i=10). é a matriz de observabilidade estendida e é definida por:

onde (∗)^T denota a transposta da matriz (∗). X_p=X_o=[x_o,...,x_j-1] e X_f=X_i=[x_i,...,x_i+j-1] representam os estados passados e futuros, respectivamente, sendo que o símbolo p denota dados passados e f dados futuros.

A projecao ortogonal do espaco linha de A sobre o espaco linha de B é [10]:

A projecao oblíqua do espaco de linhas de G no espaco de linhas de H sobre o espaco de linhas de J é [10]:

onde ${(*)}^{\perp }$ denota o complemento ortogonal da matriz (*). Propriedades da projecao ortogonal e projecao oblíqua:

Para a prova, ver [10].

A seguir é apresentado o método MOESP básico, do qual um grande número de variacoes foi criado para diferentes tipos de problemas [12]. O objetivo deste método é computar Γ_i a partir da equacao (2.5), entao aplicando a projecao ortogonal da equacao (2.5) sobre o espaco linha de $U_f^{\perp }$ resulta:

Pela equacao (2.11) tem-se$U_f/U_f^{\perp }=0$ . Entao a equacao (2.13) pode ser simplificada:

A equacao (2.14) indica que o espaco coluna de Γ_i pode ser estimado pela SVD de $Y_f/U_f^{\perp }=0$ [12]. Γ_i pode ser estimada da fatoracao LQ a partir dos dados de entrada e saída, na forma:

A projecao ortogonal do lado esquerdo de (2.14) pode ser computada a partir da matriz R22. A SVD da matriz R22 é [12]:

A ordem n do sistema é igual ao número de valores singulares nao nulos em S. O espaco coluna de U1 aproxima consistentemente ${\Gamma }_i$ [12].

Algoritmo MOESP (Determinístico)

1. Construir as matrizes de Hankel U_k e Y_k.

2. Calcular a fatoracao LQ dos dados de entrada e saída, equacao (2.15).

3. Calcular a SVD da matriz R22 dada na equacao (2.16).

4. Determine a ordem do sistema por inspecao dos valores singulares em Sn e particionar o SVD para obter U1.

5. Determine as matrizes A e C das equacoes C = Γ.(1 : l, 1 : n) e Γ.(1 : l(I - 1), 1:n)A = Γ.(l + 1 : il, 1: n), respectivamente.

As matrizes B e D sao determinadas da equacao $K=({U_i^{\perp })}^T{R}_{21}{R}_{11}^{-1}$

Neste trabalho, a entrada u(k) do sistema é considerada um sinal de entrada persistentemente exitante de ordem 2i ver [8]. As matrizes D e B existem se posto(U₁^⊥(l(i − 1) + 1 : li, :)) = l ver [12].

O método N4SID soluciona o problema de identificacao determinística recuperando os estados passados e futuros do sistema desconhecido. A sequencia de estados X_f pode ser expressa por X_f = L_pW_p como combinacao linear das entradas passadas e saídas passadas [10]. Logo, substituindose X_f = L_pW_p na equacao (2.5) temse:

Aplicandose a projecao ortogonal da equacao (2.18) sobre o espaco linha de $U_f^{\perp }$ resulta:

Multiplicando-se a equacao (2.19) por [W_p/$U_f^{\perp }$]†. W_p de ambos os lados,

Como e usando a equacao (2.10) tem-se a projecao oblíqua Θ_i definida por [10];

De forma similar é obtido Θ_i−1, ver [10]. Θ_i dado na equacao (2.21) pode ser computado da fatoracao LQ a partir dos dados de entrada e saída, colocamos na forma A equacao (2.21) indica que o espaco coluna de ${\Gamma }_i$ puede ser estimado pela SVD de ${\theta }_i$ entao resulta:

Usando a equacao (2.22) computa-se e , logo as matrizes do sistema sao estimadas de equacao (2.23) [10]:

Este método pode ser resumido no seguinte algoritmo.

No método N4SID é necessário computar duas projecoes oblíquas para recuperar as matrizes do sistema, portanto, é necessário ter duas condicoes inicias, isto pode levar a problemas de polarizacao. O número de linhas i da matriz de Hankel dos dados de entrada e saída, usados no método MOESP e N4SID, é dado pelo usuário e esta diretamente relacionada com o número de dados coletados. Idealmente, se os dados sao infinitos, o sistema identificado simula muito bem o sistema real, mas na prática isso nao acontece.

Modelo em Espaco de Estados com Matrizes Aleatórias. Nesta secao apresentase um modelo simulado usado na identificacao por subespacos aplicado a um sistema linear. A funcao drss do Matlab 7.0 permite gerar um modelo linear discreto em espacos de estados, com matrizes do sistema A, B, C e D na forma aleatória. A ordem escolhida do modelo é 4, que é igual ao posto (A). Gerou-se um sistema MIMO de duas entradas e duas saídas, na forma: M=idss(drss(4,2,2)); [A, B, C, D]=th2ss(M); (recuperando as matrizes do sistema); u=idinput([1000,2],’prbs’,[0 0.3]); y=sim(M,u). Para o modelo M com sinal de entrada u, foram coletados 1000 dados, dos quais 700 foram aplicados para identificacao e o restante para validacao. Os sinais pre-tratados através do comando ”detrend” do Matlab usados na identificacao sao mostrados na Figura 4.1.

Neste trabalho é usado dois modelos MOESP e N4SID. O modelo N4SID se encontra implementado no Toolbox do Matlab e o método MOESP é implementado por Michael Verhaegen. O passo seguinte é encontrar o melhor modelo que simule o processo M. Isto é mostrado na Tabela 4.1. A ordem n = 6 do sistema identificado é dada pelos valores singulares mais significativos da matriz S, a qual é obtida da decomposicao em valores singulares (SVD) de certas projecoes oblíquas ou ortogonais, dependendo do al- goritmo sendo aplicacao [3]. Para se avaliar a qualidade do modelo, aplicamse indicadores de desempenho. Neste trabalho empregouse a média da variancia relativa (MVAF), definido por:

Onde z é a saída real e z é a saída estimada pelo modelo obtido. O índice MVAF é usado pelo SMI toolbox do Matlab. Este índice de desempenho é empregado para se avaliar a qualidade do modelo produzido por cada algoritmo, como mostra a Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Resultados numéricos do Desempenho dos algoritmos.

Analisando-se os valores da Tabela 4.1, todos os modelos tiveram um bom desempenho em termos de validacao. Verifica-se que o tempo de processamento para a obtencao do modelo é menor para o método MOESP, motivo pelo qual se optou por esse método para identificar o processo. A ordem do sistema real nao é necessariamente a mesma do modelo obtido, portanto em geral as matrizes do sistema real e do modelo obtido tem diferentes dimensoes.

O detalhamento deste exemplo simulado pode ser encontrado em [13]. a funcao G(∗) e F (∗) é dada por:

Dada as funcoes G(*) e F (*), o passo seguinte é coletar os dados de entrada e saída. Estes dados sao gerados usando os seguintes comandos do Matlab:

N=1800; (número de dados a coletar); u = 1 + randn(n, 1); y = dlsim(num, dem, u); z = (y < .5) * .5 + ((y >= .5) & (y <= 1.5)). * y + (y > 1.5)*1.5.

Foram coletados 1800 pontos de entrada u e saída y, dos quais 1400 foram usados na identificacao e o restante na validacao. Agora deve-se encontrar um modelo que determine a melhor estimativa para a funcao G(*) . Neste trabalho sao usados os modelos MOESP, N4SID e NARX. NARX se encontram no Toolbox do Matlab. A ordem do sistema é dada pelos valores mais significativos da matriz S, a qual é obtida da SVD de certas projecoes oblíquas ou ortogonais, dependendo do algoritmo sendo aplicado [3]. O passo seguinte é estimar a funcao nao linear F (*), usando a saída estimada do sistema linear e a saída zk do modelo de Wiener. Esta estimativa e´ dada pelos polinomios de Chebyshev, para n = 13.

Esta metodologia pode ser resumido nos seguintes passos:

1. Dado um conjunto de dados de entrada uk e saída zk determine uma estimativa para a funcao G(∗).

2. Dada a sinal de entrada u_k e uma estima do sistema linear G(*), determine uma estimativa para

3. Dado o sinal estimado e o sinal de saída z_k, determine uma estimativa para funcao nao linear F (*).

O índice MVAF é usado para avaliar a qualidade do modelo produzido por cada algoritmo, como mostra a Tabela 4.2.

Tabela 4.2: Resultados numéricos do desempenho dos algoritmos.

Através dos dados apresentados na Tabela 4.2, percebe-se que o modelo MOESP superou os modelos N4SID e NARX na autovalidacao e na validacao cruzada, motivo pelo qual se utiliza este modelo para identificar o sistema de Wiener. A relacao entre a saída estimada linear e a nao linear F (*) é mostrada na Figura 4.2.

Figura 4.2: Sinal de saída y₁ e entrada u₁ usadas na identificacao.

A linha contínua azul representa o polinomio de Chebyshev para n=13. Da Figura 4.2 observa-se que o modelo identificado reproduz muito bem as principais características do processo. Foram consideradas condicoes iniciais nulas.