Considérese un polígono regular P_k de $3\le k∊\mathbb{\text{ℕ}}$ y longitud de lado L, mediante este polígono se puede construir una pirámide recta, Ξ_k, de base poligonal P_k, altura h, cúspide C y centro de la base O (Figura 1). Para determinar el volumen, V (Ξ_k), de la pirámide Ξk, se realizan dos aproximaciones, una con prismas internos y otra con externos, estos prismas constituyen dos torres, una interna y otra externa, que delimitan el volumen de la pirámide, luego, se calcula el factor de semejanza por medio de triángulos semejantes que son construidos al trazar la diagonal entre dos vértices opuestos de los polígonos tapa o base junto con las aristas de la pirámide y se comparan las bases de los triángulos con la base del triángulo más grande, iniciando con casos particulares hasta generalizar el factor de semejanza, veamos cómo puede ser esto con más detalle.

Figura 1:
Ejemplo de un polígono regular P₅
Elaboración propia.

Pensemos en la pirámide ${\Xi }_k^R={\Xi }_k$ a la cual se le divide la altura $h=OC$ en m partes iguales, $2\le m∊\mathbb{\text{ℕ}}$, mediante los puntos: $h_1,h_2,\dots ,h_{m-1}$, entonces, para construir los m-1 prismas internos, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, que aproximan a la pirámide, siendo k el número de lados del polígono base P_k y j el número del prisma contados de O a C,$1\le j\le m-1,3\le k$, todos de la misma altura $h/m=\Delta h$, se construyen los m-1 planos, ${\Pi }_1,{\Pi }_2,{\Pi }_3,\dots ,{\Pi }_{m-1}$, pasando por los puntos $h_1,h_2,\dots ,h_{m-1}$, paralelos al plano ${\Pi }_0$ de la base (Figura 2a), y se determinan las interrupciones con las k aristas, $A_1,A_2,\dots ,A_k$, de la pirámide ${\Xi }_k$; que en el caso del primer prisma, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, resultan ser los puntos: $v_{T11},v_{T12},v_{T13},v_{T14},v_{T15}$, vértices de un polígono semejante al de la base, los vértices de su tapa, $P_{T,k,1}^{Int}$, observe que para los vértices $v_{Tjk}$, T indica que los puntos se encuentran en la tapa, j el número de polígono y k el número correspondiente a cada vértice. Luego, los puntos, $v_{T1k}$, se proyectan ortogonalmente al plano base, ${\Pi }_0$, donde determinan los puntos $v_{B11},v_{B12},v_{B13},v_{B14},v_{B15}$, estos, conjuntamente con los puntos $v_{T1k}$, delimitan las artistas verticales del prisma ${\Psi }_{k,1}^{Int}$, siendo su base, $P_{B,k,1}^{Int}$, el polígono de vértices, $v_{B11},v_{B12},v_{B13},v_{B14}y{v}_{B15}$.

Para el caso del segundo prisma, ${\Psi }_{k,2}^{Int}$, se procede en forma análoga, es decir, se encuentran las intersecciones del segundo plano, ${\Pi }_2$, con las aristas, $A_k$, estos puntos son: $v_{T21},v_{T22},v_{T23},v_{T24},v_{T25}$, que determinan un polígono semejante al de la base de ${\Xi }_k$, obteniendo la tapa del segundo prisma, esto es: $v_{T21}{v}_{T22}{v}_{T23}{v}_{T24}{v}_{T25}=P_{T,k,2}^{Int}$. Luego, estos puntos se proyectan ortogonalmente sobre el plano anterior que resulta ser ${\Pi }_1$, así se determinan los k vértices de un nuevo polígono, $P_{B,k,2}^{Int}$, que resultan los vértices del polígono base, estos dos polígonos determinan al prisma ${\Psi }_{k,2}^{Int}$. En forma similar se construyen los demás prismas interiores, ${\Psi }_{k,j}^{Int},1\le j\le m-1,3\le k$, utilizando los planos paralelos ${\Pi }_{m-1}$ (Figura 2b).

Figura 2:
Construcción de los prismas interiores en una pirámide recta Ξ_k de base poligonal regular P_k y altura h.
Elaboración propia.

La sucesión de prismas, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, se constituye en una torre, $T_R^{Int}$, que aproxima interiormente a la pirámide ${\Xi }_k$ ya que todos los polígonos, tanto $P_{T,k,j}^{Int}$, como $P_{B,k,j}^{Int}$, determinados por los planos ${\Pi }_{m-1}$, tienen menor área que el polígono base $P_k$ y, por ello, cada prisma interior está dentro de la pirámide y tienen altura $h/m$, siendo además en número m-1. De ello se deduce que el volumen de la torre, $V(T_R^{Int})$, es menor que el volumen de la pirámide, es decir: $V(T_R^{Int})<V({\Xi }_k)$ (Figura 3a).

Figura 3:
Construcción de la Torre T_R^Intmediante los prismas interiores Ψ_k,j^Int que aproxima interiormente a una pirámide recta Ξ_k de base poligonal regular P_k y altura h.
Elaboración propia.

Ahora bien, ¿qué proporción guardan los polígonos $P_{T,k,j}^{Int}$ con relación al polígono base $P_k$ de la pirámide? Para responder esta cuestión considérense las diagonales de los polígonos tapa de cada uno de los prismas, estas son: $v_{T15}{v}_{T13},v_{T25}{v}_{T23},v_{T35}{v}_{T33},v_{T45}{v}_{T43},v_{T55}{v}_{T53}$, si m=6, y la diagonal del polígono base $P_k=P_0$, esta es: $v_{B05}{v}_{B03}$ (Figura 3b). Entonces, comparando las diagonales de los polígonos interiores con la diagonal del polígono original, que es la más grande, y considerando que los triángulos $v_{T15}{v}_{T13}C,v_{T25}{v}_{T23}C,v_{T35}{v}_{T33}C,v_{T45}{v}_{T43}C,v_{T55}{v}_{T53}Cy{v}_{B05}{v}_{B03}C$ son semejantes se obtienen los factores de semejanza, $F_{S_j}$, esto es: $F_{S_1}=\frac{v_{T15}{v}_{T13}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{5(h/6)}{h}=\frac{5}{6}$; es decir, hay que multiplicar las dimensiones de $P_k$ por 5/6 para obtener las de $P_{T,k,1}^{Int}$. Luego se tiene: $F_{S_2}=\frac{v_{T25}{v}_{T23}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{4(h/6)}{h}=\frac{4}{6}$; $F_{S_3}=\frac{v_{T35}{v}_{T33}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{3(h/6)}{h}=\frac{3}{6}$; $F_{S_2}=\frac{v_{T45}{v}_{T43}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{2(h/6)}{h}=\frac{2}{6}$; $F_{S_5}=\frac{v_{T55}{v}_{T53}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(h/6)}{h}=\frac{1}{6}$. Y, en el caso general, si se divide h en m partes iguales, se tiene para el primer prisma, j=1, que el factor de semejanza, es: $F_{S_1}=\frac{v_{T15}{v}_{T13}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(m-1)(h/m)}{h}=\frac{m-1}{m}$, para el segunda prisma es: $F_{S_2}=\frac{v_{T25}{v}_{T23}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(m-2)(h/m)}{h}=\frac{m-2}{m}$, y así, hasta llegar al prisma j-ésimo, para el cual se tiene:

Se puede observar que el conjunto de números, factores de semejanza:

$F_{S_j}=\left\{\frac{m-j}{m}\right\}=\left\{\frac{m-1}{m},\frac{m-2}{m},\frac{m-3}{m},\dots ,\frac{m-(m-2)}{m},\frac{m-(m-1)}{m},\right\}\backslash =\left\{\frac{m-1}{m},\frac{m-2}{m},\frac{m-3}{m},\dots ,\frac{2}{m},\frac{1}{m}\right\},1\le j\le m-1$

es igual al conjunto: $F_{S_j}=\left\{\frac{j}{m}\right\}=\left\{\frac{1}{m},\frac{2}{m},\frac{3}{m},\dots ,\frac{m-2}{m},\frac{m-1}{m},\right\}$, con $1\le j\le m-1$, si se consideran los prismas contados de C a O. Los conjuntos de factores de semejanza $\left\{\frac{m-j}{m}\right\}$ y $\left\{\frac{j}{m}\right\}$, con $1\le j\le m-1$, son iguales, pero algebraicamente no, es decir, $\left(\frac{m-j}{m}\right)\ne \left(\frac{j}{m}\right),1\le j\le m-1$.

Pero no solo eso, todas las partes lineales de un prisma a otro guardan la proporción del factor de semejanza, mientras que las áreas de las bases o tapas aumentan en el cuadrado del factor de semejanza, esto es: $A(P_{T,k,1}^{Int})={\left(\frac{5}{6}\right)}^{2}A(P_k)$$ , para el primer polígono tapa interno y, en general se tiene que:

Ahora, para construir una torre exterior de prismas, $T_R^{Ext}$, que aproxime a la pirámide ${\Xi }_k$ exteriormente se divide la altura h en m partes iguales, $2\le m∊\mathbb{\text{ℕ}}$, y se consideran los m planos ${\Pi }_1,{\Pi }_2,\dots ,{\Pi }_{m-1},{\Pi }_c$, paralelos al plano ${\Pi }_0$ de la base de ${\Xi }_k$, espaciados la longitud $\Delta h=h/m$ (Figura 4a). Para construir el primer prisma exterior, ${\Psi }_{k,1}^{Ext}$, se consideran los vértices: $u_{B01},u_{B02},u_{B03},u_{B04}y{u}_{B05}$, del polígono base $P_k$ de la pirámide y se proyectan ortogonalmente sobre el plano ${\Pi }_1$, esto determina los puntos: $u_{T11},u_{T12},u_{T13},u_{T14}y{u}_{T15}$, estos diez puntos determinan al prisma ${\Psi }_{k,1}^{Ext}$ (Figura 4b), que tiene su base y su tapa constituidas de polígonos congruentes y, por ello, el polígono tapa sobresale de la pirámide ${\Xi }_k$, que tiene un ángulo agudo en C.

Para construir el segundo prisma exterior, ${\Psi }_{k,2}^{Ext}$, se consideran las intersecciones del plano ${\Pi }_1$ con las k aristas, $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_k$, de la pirámide ${\Xi }_k$, esto fija a los puntos; $u_{B21},u_{B22},u_{B23},u_{B24}y{u}_{B25}$, que se proyectan ortogonalmente sobre el plano ${\Pi }_2$, esto determina a los puntos: $u_{T21},u_{T22},u_{T23},u_{T24}y{u}_{T25}$, que delimitan un polígono congruente al que constituyen los puntos: $u_{B2k}$. Estos diez puntos constituyen un prisma que nuevamente, la tapa, queda por fuera de la pirámide. Este proceso se repite para la construcción de los m prismas exteriores, ${\Psi }_{k,j}^{Ext},1\le j\le m$, siendo que las tapas se encuentran a alturas$j(h/m)$, del plano ${\Pi }_0$ de la base de la pirámide, donde j indica el número del prisma, contados de O a C (Figura 4b).

Figura 4:
Construcción de la Torre T_R^Int mediante los prismas interiores Ψ_k,j^Int que aproxima interiormente a una pirámide recta Ξ_k de base poligonal regular P_k y altura h.
Elaboración propia.

Para determinar el factor de semejanza, $F_{S_j},1\le j\le m$, de esta familia de prismas exteriores se consideran las diagonales de sus polígonos base, estas son: $u_{B15}{u}_{B13},u_{B25}{u}_{B23},u_{B35}{u}_{B33},u_{B45}{u}_{B43},u_{B55}{u}_{B53}y{u}_{B65}{u}_{B63}$ (Figura 4c ), y se comparan con la diagonal del polígono base $P_k$ que es: $u_{B15}{u}_{B13}=u_{B05}{u}_{B03}$, notando, además que los triángulos $u_{B15}{u}_{B13}C,u_{B25}{u}_{B23}C,u_{B35}{u}_{B33}C,u_{B45}{u}_{B43}C,u_{B55}{u}_{B53}Cy{u}_{B65}{u}_{B63}C$ son semejantes, esto es:

es decir, hay que multiplicar las dimensiones de $P_k$ por 5/6 para obtener las de $P_{T,k,2}^{Int}$; luego;

En el caso general, si se divide h en $m$ partes iguales, se tiene para el primer prisma, j=1, que el factor de semejanza es: $F_{S_1}=1$$, si j=2, es: $F_{S_2}=\frac{u_{B25}{u}_{B23}}{u_{B15}{u}_{B13}}=\frac{(m-1)(h/m)}{h}=\frac{m-1}{m}$.

Para la tercera diagonal es: , y en general, para el polígono j-ésimo se tiene:

Este conjunto de factores de escala resulta ser:

que es el mismo conjunto que: $F_{S_j}=\left\{\frac{j}{m}\right\}=\left\{\frac{1}{m},\frac{2}{m},\frac{3}{m},\dots ,\frac{m-2}{m},\frac{m-1}{m},\frac{m}{m}=1\right\},1\le j\le m$; estos factores de semejanza como conjuntos son iguales, algebraicamente no, es decir,

Ahora, si se denota la suma de los volúmenes de los prismas interiores ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, es decir, de la torre interna $T_R^{Int}$ por $V(T_R^{Int})=\sum _{j=1}^{m-1}V({\Psi }_{k,j}^{Int})$ y la suma de los volúmenes de los prismas exteriores ${\Psi }_{k,j}^{Ext}$ por $V(T_R^{Ext})=\sum _{j=1}^{m}V({\Psi }_{k,j}^{Ext})$, se tiene una forma de aproximar el volumen de la pirámide ${\Xi }_k$, sin dejar de observar que $V(T_R^{Int})<V({\Xi }_k)$, mientras que: $V({\Xi }_k)<V(T_R^{Ext})$, lo que establece la relación:

El volumen de cada uno de los prismas solo depende del área de su base ya que todos tienen la misma altura, entonces, considerando los factores de semejanza entre prismas internos, relación 2, se tiene:

mientras que para los polígonos exteriores se tiene, utilizando la relación 3 que:

$A\left(P_{B,k,j}^{Ext}\right)=A(P_k){\left(\frac{m+1-j}{m}\right)}^2,1\le j\le m.$

Así se tiene que el volumen $V({\Psi }_{k,j}^{Int})$ del j-ésimo prisma interior es:

Y el volumen $V({\Psi }_{k,j}^{Ext})$ del j-ésimo prisma externo ${\Psi }_{k,j}^{Ext}$ es:

Entonces, sustituyendo estos valores en la relación 4, se tiene que:

Pero resulta que el conjunto de valores $\left\{\frac{m-j}{m}\right\}$ es igual al conjunto $\left\{\frac{j}{m}\right\},1\le j\le m-1$; y lo mismo hay que tomar en cuenta con los conjuntos $\left\{\frac{m+1-j}{m}\right\}$ y $\left\{\frac{j}{m}\right\}$, $1\le j\le m$, lo que permite considerar que la ecuación 7 se pueda escribir en la forma:

Simplemente lo que se ha hecho es sumar los volúmenes de los prismas de C a O. Eso equivale a considerar las sumas comenzando del último prisma al primero; esta propiedad se puede entender en la forma de escribir la suma al revés, donde precisamente se ha hecho el mismo cambio de índices:

$\sum _{j=1}^{m-1}{\left(\frac{m-j}{m}\right)}^2={\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2+{\left(\frac{m-2}{m}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{1}{m}\right)}^2$

$={\left(\frac{1}{m}\right)}^2+{\left(\frac{2}{m}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{m-2}{m}\right)}^2+{\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2=\sum _{j=1}^{m-1}{\left(\frac{j}{m}\right)}^2$

$\sum _{j=1}^m{\left(\frac{m+1-j}{m}\right)}^2=1^2+{\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{2}{m}\right)}^2+{\left(\frac{1}{m}\right)}^2$

Tomando en consideración esto se puede simplificar la ecuación 8 para llegar a que:

Ahora, a la suma $A(P_k)\left(\frac{h}{m^3}\right)\sum _{j=1}^{m-1}{j}^2$ se le agrega y resta un término, el m², con la finalidad de hacerla semejante, en índice, a la suma derecha de la desigualdad 10, y así se tiene que:

$A(P_k)\left(\frac{h}{m^3}\right)\sum _{j=1}^m{j}^2-A(P_k)\left(\frac{h}{m^3}\right)m^2$

$=A(P_k)\left(\frac{h}{m^3}\right)\left(1^2+2^2+\dots +(m-1{)}^2+m^2\right)-A(P_k)\left(\frac{h}{m^3}\right)m^2$

Con ello, y considerando que:

se obtiene, en la ecuación 10:

Simplicando se llega a:

Ahora, si el número m de divisiones de la altura h se hace muy grande la cantidad de planos paralelos a la base ${\Pi }_1,{\Pi }_2,\dots ,{\Pi }_{n-1}$ aumenta, es de esperarse, entonces, que la distancia h/m entre ellos disminuya, lo que conduce a considerar que la distancia del primer plano ${\Pi }_1$ a ${\Pi }_0$ sea cada vez más chica. Pero es precisamente el plano ${\Pi }_1$ el que determina, en el caso de los prismas interiores, al polígono tapa $P_{T,k,1}^{Int}$, y este, según el proceso de construcción descrito al inicio de 2.1 es igual al polígono $P_{B,k,1}^{Int}$; si los planos reducen su distancia entonces la sección determinada por las aristas y los planos no pueden llegar a ser más grandes que el polígono base $P_k$, de ahí que cuando m es muy grande la diferencia entre sus factores de semejanza de los polígonos $P_{T,k,1}^{Int}$ y $P_k$ puede llegar a ser tan pequeña como se quiera, según el principio de Exhausción de Eudoxio, es decir: $|P_{S_1}-P_k|<ϵ,\forall ϵ>0$ (Figura 5).

Figura 5:
El polígono base, P_B,k,1^Int, del primer prisma Ψ_k,1^Int de la torre interna T_R^Int, que es igual al de la tapa P_T,k,1^Int, está cada vez más cerca del polígono base P_k si el número m de subdivisiones de htiende a ser muy grande.
Elaboración propia.

Ahora, hay que considerar dos procesos infinitos que suceden simultáneamente cuando $m\to \infty$; el primero es el aumento de prismas, tanto interiores ${\Psi }_{k,j}^{Int}$ como exteriores ${\Psi }_{k,j}^{Ext}$, el segundo es el hecho de que el área $A(P_{B,k,1}^{Int})$, del polígono base del primer prisma ${\Psi }_{k,1}^{Int}$, tiende al área $A(P_k)$ del polígono base de la pirámide ${\Xi }_k$, mientras que $A(P_{B,k,1}^{Ext})$ es siempre igual a $A(P_k)$, ya que: $P_{B,k,1}^{Ext}=P_k$ , $\forall k>3$; o dicho de otra forma:

Una vez considerando lo anterior se calcula el límite de toda la desigualdad 14, si $m\to \infty$, esto es:

Lo que conduce a: $\frac{A(P_k)}{3}\le {lim}_{m\to \infty }\frac{V({\Xi }_k)}{h}\le \frac{A(P_k)}{3}$; pero esto es cierto siempre que: $\left|V({\Xi }_k)-\frac{A(P_k)h}{3}\right|<ϵ,\forall ϵ>0$, es decir

En otras palabras:

El volumen de una pirámide recta, ${\Xi }_k$, de altura h y base el polígono regular $P_k$$ es un tercio del área de la base $A(P_k)$ por la altura h.

Existe una primera aproximación a la demostración de este teorema, sin detalles de por qué surge o se encuentran los factores de semejanza, en el Pogorélov (1974, p.192-194).

Para el caso de encontrar una expresión matemática para el volumen, $V({\Xi }_k^O)$, de una pirámide oblicua, ${\Xi }_k^O$, de base poligonal $P_k$, altura h y aristas $A_1,A_2,\dots ,A_{k-1},A_k$, se procede, en forma análoga, a como se hizo con la pirámide recta ${\Xi }_k$; no obstante, ahora las dificultades estriban en la forma en cómo se construyen los prismas, tanto internos como externos, que aproximan a la pirámide.

Para comenzar, considérese una pirámide oblicua, ${\Xi }_k^O$, de altura h, base el polígono regular $P_k$, $3\le k$, $k∊\mathbb{\text{ℕ}}$, cúspide C y centro de la base O (Figura 6a). Al considerar la altura h de la pirámide se ve que si se divide en m partes iguales, $2\le m,m∊\mathbb{\text{ℕ}}$, esto es: $h/m=\Delta h$, entonces la línea OC, tanto como las aristas $A_k$ también quedan divididas en el mismo número de partes, según el teorema de Thales, aunque no de longitud $\Delta h$ (Figura 6b). Bajo esta nueva perspectiva la idea es aproximar la pirámide oblicua ${\Xi }_k^O$ mediante una torre, $T_O^{Int}$ de prismas, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, que llamaremos prismas internos, y cuya suma de volúmenes es menor que el de la pirámide, y de otra torre, $T_O^{Ext}$, que exceda a ${\Xi }_k^O$ en volumen, constituida de prismas ${\Psi }_{k,j}^{Ext}$, que llamaremos prismas externos, donde nuevamente j representa el número de prismas contados de O a C; $1\le j\le m-1$, para la torre interna y $1\le j\le m$ para la externa, siendo k es el número de lados del polígono base $P_k$, $3\le k,k∊\mathbb{\text{ℕ}}$.

Figura 6:
La pirámide oblicua Ξ_k^O
Elaboración propia.

Para construir los prismas, tanto internos como externos, se utilizan los m-1 planos, ${\Pi }_1,{\Pi }_2,\dots ,{\Pi }_{m-1}$, paralelos al plano ${\Pi }_0$ de la base y que pasan por los puntos $h_1,h_2,\dots ,h_{m-1}$, que dividen a h en m partes iguales. En el caso del primer prisma interno, ${\Psi }_{k,1}^{Int}$, se determinan las intercepciones del primer plano, ${\Pi }_1$, con las k aristas de la pirámide, esto fija los puntos: $v_{T11},v_{T12},v_{T13},v_{T14},v_{T15}$, si es que m=6, configurando el polígono tapa, $P_{T,k,1}^{Int}$, del prisma, ${\Psi }_{k,1}^{Int}$. Después, los puntos, $v_{T1k},1\le j\le m-1$, se proyectan ortogonalmente al plano base, ${\Pi }_0$, donde determinan los puntos $v_{B11},v_{B12},v_{B13},v_{B14},v_{B15}$, de la base, $P_{B,k,1}^{Int}$, del primer prisma, estos puntos, conjuntamente con los vértices $v_{T1k}$, delimitan al primer prisma ${\Psi }_{k,1}^{Int}$ (Figura 7a).

Para el caso del segundo prisma, ${\Psi }_{k,2}^{Int}$, se procede en forma análoga, es decir, se encuentran las intersecciones del segundo plano, ${\Pi }_2$, con las aristas, $A_k$, $1\le j\le m-1$, estos puntos son: $v_{T21},v_{T22},v_{T23},v_{T24},v_{T25}$, que determinan un polígono semejante al de la base de la pirámide ${\Xi }_k^O$, obteniendo la tapa del segundo prisma, esto es: $v_{T21}{v}_{T22}{v}_{T23}{v}_{T24}{v}_{T25}=P_{T,k,2}^{Int}$. Luego, estos puntos se proyectan ortogonalmente sobre el plano anterior que resulta ser ${\Pi }_1$, así se determinan los k vértices de un nuevo polígono, $P_{B,k,2}^{Int}$, los polígonos, tapa, $P_{T,k,2}^{Int}$, y base, $P_{B,k,2}^{Int}$, determinan al segundo prisma interior, ${\Psi }_{k,2}^{Int}$; en forma similar se construyen los demás prismas interiores, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, $1\le j\le m-1,3\le k$, utilizando los planos paralelos ${\Pi }_{m-1}$ (Figura 7b).

Figura 7:
Construcción de los prismas interiores en una pirámide recta Ξ_k de base poligonal regular P_k y altura h.
Elaboración propia.

Una vez construidos los prismas internos se presenta la cuestión ¿cuál es la proporción de semejanza que guardan todos los prismas interiores con relación a la diagonal de la base de ${\Xi }_k^O$? Para ello hay que observar la Figura 7c, ahí se ve que todas las diagonales de los polígonos tapa $P_{T,k,j}^{Int}$ que resultan ser; $v_{T15}{v}_{T13},v_{T25}{v}_{T23},v_{T35}{v}_{T33},v_{T45}{v}_{T43},v_{T55}{v}_{T53}$, si m=6, conjuntamente con el punto C, cúspide de la pirámide, forman triángulos semejantes al formado por la diagonal, $v_{B05}{v}_{B03}$,de la base de ${\Xi }_k^O$ y el punto C, estos triángulos son: $v_{T15}{v}_{T13}C,v_{T25}{v}_{T23}C,v_{T35}{v}_{T33}C,v_{T45}{v}_{T43}C,v_{T55}{v}_{T53}Cy{v}_{B05}{v}_{B03}C$. Ahora, por el Teorema de Thales se sabe que si todas las diagonales están separadas la distancia h/m entonces la arista $A_5=v_{B05}C$ que contiene a los vértices $v_{T15},v_{T25},v_{T35},v_{T45},v_{T55}$, si m=6, está dividida en 6 partes iguales de longitud H/6, que no es necesario determinar; con ello se tiene que el factor de semejanza, $F_{S_j}$, entre diagonales de las tapas es, para el primer polígono, $F_{S_1}=\frac{v_{T15}{v}_{T13}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{5(H/6)}{H}=\frac{5}{6}$; es decir, hay que multiplicar las dimensiones de $P_k$ por 5/6 para obtener las de $P_{T,k,1}^{Int}$. Luego se tiene, para la segunda diagonal:

$F_{S_2}=\frac{v_{T25}{v}_{T23}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{4(H/6)}{H}=\frac{4}{6};F_{S_3}=\frac{v_{T35}{v}_{T33}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{3(H/6)}{H}=\frac{3}{6};F_{S_4}=\frac{v_{T45}{v}_{T43}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{2(H/6)}{H}=\frac{2}{6};$

$F_{S_5}=\frac{v_{T55}{v}_{T53}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(H/6)}{H}=\frac{1}{6}.$

Y, en el caso general, si es que se divide h en m partes iguales entonces $H=v_{B05}C$ también queda dividida en m partes iguales, se encuentra que, si j=1, para la primera diagonal del polígono $P_{T,k,1}^{Int}$ el factor de semejanza: $F_{S_1}=\frac{v_{T15}{v}_{T13}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(m-1)(H/m)}{H}=\frac{m-1}{m}$ , para la segunda diagonal es: $F_{S_2}=\frac{v_{T25}{v}_{T23}}{v_{B05}{v}_{B03}}=\frac{(m-2)(H/m)}{H}=\frac{m-2}{m}$, y en general, para la j-ésima diagonal de los polígonos tapa:

Si se sabe el factor de semejanza de las diagonales de los polígonos tapa, entonces se deduce que es el mismo para las bases, $P_{B,k,j}^{Int}$,y prismas, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, no así para sus áreas o volúmenes.

Ahora, dando valores a j en $F_{S_j}=\frac{m-j}{m}$, $1\le j\le m-1$, se puede encontrar el conjunto de factores de semejanza: $F_{S_j}=\left\{\frac{m-j}{m}\right\}=\left\{\frac{m-1}{m},\frac{m-2}{m},\frac{m-3}{m},\dots ,\frac{m-(m-2)}{m},\frac{m-(m-1)}{m}\right\}=\left\{\frac{m-1}{m},\frac{m-2}{m},\frac{m-3}{m},\dots ,\frac{2}{m},\frac{1}{m}\right\},1\le j\le m-1.$

Este conjunto, como en el caso de la torre interna recta, es igual al conjunto:

al considerar las diagonales o polígonos tapa, sí se cuentan los prismas de C a O. Y, como ya se ha dicho, los factores de semejanza $\left\{\frac{m-j}{m}\right\}y\left\{\frac{j}{m}\right\}$, como conjuntos son iguales, pero algebraicamente no, es decir, $\left(\frac{m-j}{m}\right)\ne \left(\frac{j}{m}\right)$, $1\le j\le m-1$.

Ahora, a pesar de que se habla aquí de una torre interna, $T_O^{Int}$, formada por prismas internos, ${\Psi }_{k,j}^{Int}$, no es posible decir que tal torre está en el interior de la pirámide oblicua ${\Xi }_k^O$, ya que hay partes de los prismas que quedan fuera, no obstante, si es posible asegurar que tal torre aproxima a la pirámide en volumen por defecto, esto es: $V(T_O^{Int})<V({\Xi }_k^O)$, ya que según los factores de escala para los prismas, $F_{S_j}=\frac{m-j}{m}$, y considerando que el área de las tapas crece en el cuadrado del factor de semejanza, se tiene que, la suma de los volumen de los cinco prismas, si m=6, es: