Sobre la parametrización de cónicas con rotación (la manera fácil)

On parameterization of conics with rotation (the easy way)

Walter Mora Flores1 wmora2@gmail.com

Investigador independiente, Costa Rica

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.

Una parametrización de una curva $C$ en ${ℝ}^n$ es una función r de un intervalo I en ${ℝ}^n$ tal que el gráfico de r está contenido en el gráfico de $C$ .Usualmente en las aplicaciones se piden cosas adicionales como inyectividad, sobreyectividad, continuidad, derivabilidad, etc.

Una cónica en el plano xy es un conjunto $C=\{(x,y)|F(x,y)=0\}$ donde

donde no todos los coeficientes son cero. Para determinar si la ecuación (1) es la ecuación de una cónica "no degenerada" (es decir, si es una parábola, elipse o hipérbola), podemos usar el Teorema 2 (en el apéndice A).

Una parametrización de una cónica en el plano xy es una función $r:I\to ℝ$ que satisface la ecuación $F(x,y)=0$ es decir,

$F(x(t),y(t))=0$ para todo $t\in I$

Una parametrización racional es una parametrización de la forma $r(t)=(\frac{p_1(t)}{q_1(t)},\frac{p_2(t)}{q_2(t)})$ donde $p_i$,$q_i$ son polinomios. Un método para obtener parametrizaciones racionales de una cónica lo veremos en la sección 3.

En la tabla 1 se enumera algunas parametrizaciones usuales (trigonométricas y "racionales") de las cónicas propias, en posición estándar.

Tabla1
Tabla 1

Algunas parametrizaciones usuales de las cónicas

Elaboración propia

La parametrización de la hipérbola usando las funciones hipérbolicas (ver apéndice B), no presentan singularidades y gozan de simetría. En este caso t no es un ángulo, más bien (en el caso de una hipérbola centrada en el origen) es dos veces el área (orientada) de la región entre la hipérbola, el eje focal y un rayo del origen al punto P=r(t) (ver Figura 1)

Fig 1
Figura 1

Parametrización de la hipérbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ con $r(t)=(\pm a\cosh t,b\mathrm{senh}t)$

Elaboración propia

Las parametrizaciones racionales se usan junto con las parametrizaciones trigonométricas en cambios de variables. También se usan en teoría de números, aplicaciones computacionales, etc. En el ejemplo 1 se muestra una aplicación: Una parametrización de una curva de intersección entre un cono y un plano.

Ejemplo 1 (Parametrización de una curva de intersección).

Consideremos el problema de determinar una parametrización trigonométrica de la curva de intersección entre el cono $S_1:x^2+y^2=z^2$ y el plano $S_2:2y-z=2$ (ver figura 2).

Fig 2
Figura 2

$S_1\bigcap S_2$

Elaboración propia.

Una manera es parametrizar primero la proyección de la curva en plano xy y agregar después la coordenada z(t) (ver Figura 3).

Fig3
Figura 3

Proyección de la curva de intersección

Elaboración propia

La proyección de la curva de intersección en el plano xy es una hipérbola. Su ecuación se obtiene sustituyendo $2y-z=2$ en $x^2+y^2=z^2$ se obtiene $x^2+y^2=(2-2y{)}^2$ y completando cuadrados, armamos la ecuación canónica de esta hipérbola,

$\frac{(y-4/3{)}^2}{4/9}-\frac{x^2}{4/3}=1$

Una parametrización de la proyección de la curva de intersección en el plano xy es

$c(t)=(h+a\mathrm{senh}(t),k\pm b\cosh (t),0)=(\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{senh}(t),\frac{4}{3}\pm \frac{2}{3}\cosh (t),0)$

Finalmente, como $z(t)=2-2y(t)$ una parametrización de la curva de intersección es

$r(t)=(h+a\mathrm{senh}(t),k\pm b\cosh (t),z(t))=(\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{senh}(t),\frac{4}{3}\pm \frac{2}{3}\cosh (t),2-2(\frac{4}{3}\pm \frac{2}{3}\cosh (t)))$

El código en Mathematica es

r1[t_] := {h + a Sinh[t], k + b Cosh[t], 2 - 2 (k + b Cosh[t])};

r2[t_] := {h + a Sinh[t], k - b Cosh[t], 2 - 2 (k - b Cosh[t])};

Graphics3D[{Cone[{{0, 0, -4}, {0, 0, 0}}, 4], Cone[{{0, 0, 4}, {0, 0, 0}}, 4], (*Plano*)

First@ParametricPlot3D[{0, 0, 2}+t {1, 0, 0}+s {0, -1, 2}, {t, -5, 5}, {s, -3, 2},

Mesh -> None, PlotStyle -> {Gray, Opacity[0.4]}],

(*Curva de intersecci\'on*)

First@ParametricPlot3D[{r1[t], r2[t]}, {t, -2, 2}, Mesh -> None,

PlotStyle ->Directive[{Black, AbsoluteThickness[3], Black, AbsoluteThickness[3]}]]

}, Boxed -> False, PlotRange -> All,

ViewPoint -> {3, 0.98, 1.18}, ViewVertical -> {0.25, 0.096, 2.032},

ImageSize -> 400 , Method -> {"ShrinkWrap" -> True}]

Las parametrizaciones racionales tienen varias aplicaciones. En particular, podemos establecer si ciertas integrales se pueden calcular en términos de funciones elementales (las usuales en cálculo) y también podemos obtener una forma de las ternas pitagóricas. Esto se puede observar en los ejemplos 2 y 3.

Ejemplo 2 (¿Cuáles primitivas se pueden calcular?).

Si R(t) es una función racional (un cociente de polinomios) entonces, siempre que se pueda factorizar y resolver las ecuaciones lineales involucradas, se puede calcular la integral

${\int }_{\textcolor{red}{}}^{\textcolor{red}{}}R\left(t\right)dt$

en términos de funciones elementales. Una función $y=y\left(x\right)$ es algebraicamente dependiente dex si existe un polinomio en dos variables F tal que $f(x,y(x\left)\right)=0$ (como es el caso de las cónicas). La pregunta ahora es,

¿se puede calcular ${\int }_{\textcolor{red}{}}^{\textcolor{red}{}}R(x,y(x\left)\right)dx$ ?

La respuesta es: ¡A veces, y no depende de una buena adivinanza!. Depende de si podemos parametrizar racionalmente la curva C. Si una curva C de ecuación $f(x,y(x\left)\right)=0$ se puede parametrizar racionalmente por $r\left(t\right)=\left(x_1\right(t),x_2(t\left)\right)$ entonces

$\int R(x,y(x))dt=\int R(x_1(t),x_2(t))x_2^{\prime }(t)dt$

con lo cual la integral se puede calcular (porque el integrando es racional).

En este caso $y\left(x\right)=\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ y $\text{F}\left(x,,,y\right)=y^2-a{x}^2-bx-c=0$ es una cónica, por tanto puede ser parametrizada racionalmente.

En este caso $y(x)=\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ y $F(x,y)=y^2-a{x}^2-bx-c=0$ es una cónica, por tanto puede ser parametrizada racionalmente.

$\int R(\cos \theta ,\mathrm{sen}\theta )dx$ se puede calcular.

Usamos una parametrización de la hipérbola $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm{sen}\theta =\frac{2t}{1+t^2},d\theta =\frac{2dt}{1+t^2}$

$\int R(\cosh \theta ,\mathrm{senh}\theta )dx$ se puede calcular.

Usamos una parametrización de la hipérbola$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Sustituimos cosh θ y senh θ por

$x(t)=\frac{1+t^2}{1-t^2},y(t)=\frac{2t}{1-t^2},d\theta =\frac{2dt}{1-t^2}$

¿Puede $\int \sqrt{1+x^3}dx$ ser calculada en términos de funciones elementales? No. Se puede probar que la curva de ecuación $y^2-x^3-1=0$ no se puede parametrizar racionalmente, así que no podemos usar las técnicas que hemos mencionado. Estas integrales (integrando con una raíz cuadrada de un polinomio cubico) son “integrales elípticas” y no son expresables en términos de funciones elementales.

En general, las curvas de ecuación $F(x,y)$ con grado $\ge 3$ no pueden ser parametrizadas racionalmente (excepto algunos casos especiales). Y esto llevó al nacimiento de la Topología y de la (posiblemente complicada) Geometría Algebraica (Shafarevich, 2013) (Miranda, 1983).

Ejemplo 3 (Ternas Pitagóricas).

Una parametrización racional de la circunferencia $x^2+y^2=1$ es

$x(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2},y(t)=\frac{2t}{1+t^2}$

Las componentes racionales de la circunferencia se obtienen sustituyendo $t=\frac{u}{v}$ con u, v enteros. Sustituyendo en la parametrización racional, tenemos

$x=\frac{v^2-u^2}{u^2+v^2},y=\frac{2uv}{u^2+v^2}$

Y como $x^2+y^2=1$ obtenemos una suma de cuadrados de enteros:

${(v^2-u^2)}^2+(2uv{)}^2={(u^2+v^2)}^2$

Las ternas Pitagóricas son enteros $x,y,z\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que $x^2+y^2=z^2$ por lo que $x=v^2-u^2$, $y=2uv$ y $z=u^2+v^2$ son ternas Pitagóricas. En realidad todas las ternas Pitagóricas son de esta forma (Angell, s.f).

Los problemas de cónicas con rotación aparecen de manera natural en muchos contextos. Y si solo interesa una parametrización trigonométrica, podemos usar diagonalización no ortogonal para parametrizar "rapidamente".

Considere el problema de determinar una paremetrización trigonométrica de la curva de intersección entre:

• el cono $S_1:x^2+y^2=z^2$

• y el plano $S_2:4z+y+2x=2$

Como antes, parametrizamos la proyección de la curva con $(x(t),y(t),0)$ y como $\frac{2-y-2x}{4}$ entonces:

$\frac{2-y(t)-2x(t)}{4}$

La proyección de la curva en el plano xy es una curva $C_{xy}$ (con rotación) de ecuación

$\frac{3x^2}{4}-\frac{xy}{4}+\frac{x}{2}+\frac{15y^2}{16}+\frac{y}{4}-\frac{1}{4}=0$

Según el Teorema 2 (en el apéndice A), esta curva corresponde a un elipse (ver figura 4).

Fig4
Figura 4

La proyección de la curva en el plano xy presenta rotación

Elaboración propia

Necesitamos un cambio de variable que nos permite parametrizar la cónica $C_{xy}$ usando una ecuación canónica (esto lo hacemos en el Ejemplo 8.

Los cambios de variable en realidad son transformaciones. En este caso necesitamos transformaciones afines que envían cónicas con rotación en cónicas de la misma clase, en posición estándar, aunque no necesariamente congruentes.

La forma matricial de una cónica es

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+B\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+F=0$ con $B=\left[\begin{array}{cc}D& E\end{array}\right]$

Necesitamos eliminar el producto "cruzado" Bxy en la ecuación. Este término desaparece si "eliminamos", con un cambio de variable, la diagonal secundaria$\left(\begin{array}{cc}& B/2\\ B/2& \end{array}\right)$, es decir, si diagonalizamosA.

Este tipo de transformaciones envían cónicas en cónicas de la misma clase, aunque no necesariamente congruentes.

Es decir, debemos encontrar un cambio de variable adecuado $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ de tal manera que:

$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ll}x& y\end{array}\right]\underset{\mathbf{A}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]+\mathbf{B}\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]+F=0& ⟹\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]{\mathbf{C}}^T\left[\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right]\mathbf{C}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+\mathbf{B}\mathbf{C}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+F=0\\ & ⟹\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{\prime }}& 0\\ 0& C^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+\mathbf{B}\mathbf{C}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+F=0\\ & ⟹\underset{\text{No hay producto cruzado}uv}{\underbrace{A^{\mathrm{\prime }}{u}^2+C^{\mathrm{\prime }}{v}^2}}+\mathbf{B}\mathbf{C}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]+F=0.\end{array}$

La buena noticia es que la matriz A asociada a la cónica, es simétrica, por tanto podemos diagonalizarla (Ver teorema 1).

Teorema 1

Si $A_{n\times n}$ es simétrica, entonces existe una matriz invertible C tal queda $C^{T}AC=D$ donde D es una matriz diagonal.

• La matriz C no es única, una de estas matrices C se puede obtener usando usando completación de cuadrados o también por operaciones elementales "acopladas" sobre A, [3]. En este caso podemos obtener una parametrización de la cónica en el plano xy pero no mucha información adicional.

• También C se puede obtener como una matriz ortogonal (unitaria), es decir, una matriz cuyas columnas son vectores propios de A. Este último caso corresponde a la "diagonalización ortogonal" de A y permite parametrizar la cónica en el plano xy y además recuperar, con el cambio de variable, foco(s), vértice(s), asíntotas, etc.

A continuación, se presenta el ejemplo 4 en donde se muestra la diagonalización no ortogonal.

Ejemplo 4 (Diagonalización no ortogonal).

Considere la cónica $x^2+xy+y^2=1$.

• Forma matricial: $\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]-1=0$

• Un cambio de variable adecuado puede ser $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\underset{\text{C}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]{\mathbf{C}}^T\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right]\mathbf{C}\left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right]-1=\left[\begin{array}{ll}u& v\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right]-1=3u^2+v^2-1=0$

Parametrización en el plano xy

Al aplicar un cambio de variable adecuado¹ $(x,y)=C_{2\times 2}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ podemos obtener la ecuación canónica de la cónica en el plano uv y por tanto una parametrización $c(t)=(u(t),v(t))$ en este plano. Entonces una parametrización en el sistema xy es

$r(t)=(x(t),y(t))=C\cdot \left[\begin{array}{c}u(t)\\ v(t)\end{array}\right]$

o también de manera más práctica, si $w_1$, $w_2$ son las columnas de C es decir, $C=\left(\begin{array}{cc}{w}_1& w_2\end{array}\right)$ entonces $h(t)=u(t)w_1+v(t)w_2$

En la Figura 5 podemos ver el proceso del cambio de variable en el caso de una elipse.

Fig5
Figura 5

Cambio de variable $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$.

Elaboración propia

Cambio de variable con diagonalización por completación de cuadrados.

Supongamos que la ecuación de la cónica propia, con rotación, es

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$(2)

Podemos completar cuadrados de varias maneras

• Si A=C,

  $A{x}^2+Bxy+A{y}^2+Dx+Ey+F=(2A-B){\left(\frac{x-y}{2}\right)}^2+(2A+B){\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+Dx+Ey+F$

• Si $A\ne C$,

  $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=A{(x+\frac{B}{2A}y)}^2+(C-\frac{B^2}{4A})y^2+Dx+Ey+F$

• Si $C\ne 0$,

  $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=x^{2}A-\frac{B^2}{4C}+C\frac{Bx}{2C}+y^2+Dx+Ey+F$

Ahora, deducimos un cambio de variable $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ que diagonaliza la matriz asociada de la cónica: Nos queda una cónica del mismo tipo, pero no necesariamente congruente. Pero es suficiente para parametrizar la cónica original.

1.) Si A=C, el cambio de variable es $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ con $c=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$A{x}^2+Bxy+A{y}^2+Dx+Ey+F=0$

Se transforma en

$(2A+B)u^2+(2A-B)v^2+D(u+v)+E(u-v)+F=0$

Ahora se puede verificar (en el caso de una cónica propia), que -4(2A+B)(2A-B) tiene el mismo signo que $B^2-4AC$ o se anulan simultaneamente. Es decir, son cónicas del mismo tipo.

Una representación de este caso se puede observar en el ejemplo 5.

Ejemplo 5. Determine una parametrización trigonométrica para la cónica $x^2+xy+y^2-1=0$.

Solución: Como A=1=C y B=1, podemos usar $(x,y)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

6
Figura 6

Cambio de variable $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$.

Elaboración propia

sol5
Solución ejemplo 5
Elaboración propia

2.) Si$A\ne 0$; la completación de cuadrados sugiere la sustitución $u=x+\frac{B}{2A}y$ y $y=v$ es decir $x=u-\frac{B}{2A}v$ y $y=v$.

Si $A\ne 0$ el cambio de variable es $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

$A{x}^2+Bxy+A{y}^2+Dx+Ey+F=0$

se transforma en:

$A{u}^2+v^2(C-\frac{B^2}{4A})+Du+v(E-\frac{BD}{2A})+F=0.$

Ahora se puede verificar (en el caso de una cónica propia), que $-4A(C-\frac{B^2}{4A})$ tiene el mismo signo que $B^2-4AC$ o se anulan simultáneamente. Es decir, son cónicas del mismo tipo.

Una representación de este caso se puede observar en el ejemplo 6.

Ejemplo 6. Determine una parametrización trigonométrica para la cónica $\frac{x^2}{4}-2xy+x-y-1=0$

Solución: Como $A=\frac{1}{4}$ y $B=-2\ne 0$ podemos usar $(x,y)=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

Fig7
Figura 7

Cambio de variable $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

Elaboración propia

Sol6
Solución Ejemplo 6
Elaboración propia

3.) Si $C\ne 0$ la completación de cuadrados sugiere la sustitución $u=x$ y $v=y+\frac{B}{2C}x$, es decir $x=u$ y $y=v-\frac{B}{2C}u$

El cambio de variable es $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ con $C=\left[\begin{array}{cc}1& -B/2A\\ 0& 1\end{array}\right]$

$A{x}^2+Bxy+A{y}^2+Dx+Ey+F=0$

Se transforma en:

$(A-\frac{B^2}{4C})u^2+C{v}^2+u(D-\frac{BE}{2C})+Ev+F=0$

Ahora se puede verificar (en el caso de una cónica propia), que $-4(A-\frac{B^2}{4C})C$ tiene el mismo signo que $B^2-4AC$ o se anulan simultáneamente. Es decir, son cónicas del mismo tipo.

Una representación de este caso se puede observar en el ejemplo 7.

Ejemplo 7 Determine una parametrización trigonométrica para la cónica de ecuación $x^2+y^2+2xy+\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$

Solución: Aquí podemos usar el cambio de variable 1.) Pero lo haremos con el cambio de variable 3.). Como C=1 y B=2 podemos usar $(x,y)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

8
Figura 8

Cambio de variable $(x,y)=C\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$

Elaboración propia

Sol7
Solución Ejemplo 7
Elaboración propia

En el ejemplo 8 se presenta una forma para determinar una parametrización trigonométrica de la curva de intersección entre un cono y un plano. En este caso, la proyección de la curva de intersección presenta rotación, por lo que, como el propósito es solo parametrizar, podemos usar diagonalización no ortogonal.

Ejemplo 8: Determinar una parametrización trigonométrica de la curva de intersección entre el cono $S_1:x^2+y^2=z^2$ y el plano $S_2:4z+y+2x=2$

Sol8
Solución Ejemplo 8
Elaboración propia

El código en Mathematica es

ClearAll[x, y, u, v, h, k, a, b, mC, h, k, a, b, rxy, r, cv, n,e1,e2] mC = {{1, 1/6}, {0, 1}};

h = -1/3; k = -2/11; a = Sqrt[16/33]; b = Sqrt[48/121];

u[t_] := h + a Cos[t]; v[t_] := k + b Sin[t];

(*Parametrizaciones*)

cv[t_] := mC.{u[t], v[t]};

x[t_] := cv[t][[1]]; y[t_] := cv[t][[2]];

rxy[t_] := {x[t], y[t], 0};

r[t_] := {x[t], y[t], 1/4 (2 - y[t] - 2 x[t])};

(*Una base ortonormal del plano 4z+y+2x=2*)

n = {2, 1, 4};

{e1, e2} = Orthogonalize@{{0, n[[3]], -n[[2]]}, {-n[[3]], 0, n[[1]]}};

Graphics3D[{

(*Proyecci\'on de la curva*)

First@ParametricPlot3D[rxy[t], {t, 0, 2 Pi}, Mesh -> None,

PlotStyle -> {Blue, AbsoluteThickness[2]}],

(*Curva de intersecci\'on*)

First@ParametricPlot3D[r[t], {t, 0, 2 Pi}, Mesh -> None,

PlotStyle -> {Brown, AbsoluteThickness[2]}],

(*Cono*)

First@ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z^2, {x, -2, 1.5}, {y, -2, 2}, {z, 0, 1.5},

PlotPoints -> 40, Mesh -> None,

ContourStyle ->

Directive[Orange, Opacity[0.2], Specularity[White, 30]],

PerformanceGoal -> "Quality"],

(*Plano*) First@ParametricPlot3D[{0,0,1/2}+t*e1+s*e2,{t,-2, 2}, {s,-1,2},

Mesh -> None, PlotStyle -> {Gray, Opacity[0.2]}]

}, Boxed -> False, PlotRange -> All, ImageSize -> 400,

Method -> {"ShrinkWrap" -> True}]

Una "parametrización racional" de una curva es una parametrización en terminos de cocientes de polinomios. Estas parametrizaciones son muy útiles en muchos contextos, como el de gráficos por computadora, modelado geométrico, ecuaciones diofánticas, cambios de variable en integración, etc. Las cónicas tienen la propiedad de que cada par de puntos en ella, se pueden obtener por intersección con una línea recta. La idea básica consiste en utilizar un "lápiz o haz de líneas rectas" que pasan por un punto (a,b) de la curva, de manera que al calcular el otro punto de intersección de cada recta genérica del "haz", con la curva, se determina una parametrización de la curva (excepto por uno o dos puntos). Cada línea del "haz" depende de un parámetro t que será el parámetro de la parametrización de la curva (ver figura 9).

9
Figura 9

Parametrización de una cónica con un "haz de rectas"

Elaboración propia

La idea general es como sigue:

• Tenemos una cónica C (no degenerada) de ecuación $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ $(a,b)\in C$

• El haz de rectas que pasan por (a,b) tienen ecuación general $y=t(x-a)+b$ donde t es un parámetro que hace variar las rectas.

• Sustituimos en la ecuación de la cónica $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ y queda

  $A{x}^2+Bx(t(x-a)+b)+C(t(x-a)+b{)}^2+Dx+E(t(x-a)+b)+F=0$

  Es decir, recolectando, queda una ecuación cuadrática $\alpha (t)x^2+\beta (t)x+\gamma (t)=0$

• La ecuación $\alpha (t)x^2+\beta (t)x+\gamma (t)=0$ tiene a lo sumo dos soluciones. Una de las soluciones es $x=a$ pues el punto $(a,b)$ satisface la ecuación de la cónica. Entonces el resultado de la división cuadrática por $(x-a)$ tiene que ser un polinomio en x de grado 1, es decir, $q(t)x-p(t)$

  $\begin{array}{rl}\alpha (t)x^2+\beta (t)x+\gamma (t)& x-a\\ ...& q(t)x-p(t)\\ \dots & \end{array}$

  Residuo: 0

  $\alpha (t)x^2+\beta (t)x+\gamma (t)=(x-a)(q(t)x-p(t))=0$

  Por lo tanto las soluciones son $x=a$ y $x=\frac{p(t)}{q(t)}$ donde $p(t)$ y $q(t)$ son polinomios en $t$ de grado a los sumo 2.

• Sustituimos $x(t)=\frac{p(t)}{q(t)}$ en $y=t(x-a)+b$ y obtenemos

  $C:r(t)=(\frac{p(t)}{q(t)},\frac{p_1(t)}{q_1(t)}),t\in ℝ-\{$ ceros de $q(t)$ y $q_1(t)\}$

  Observe que si tomamos valores racionales de $t$, podemos obtener puntos con coordenadas racionales en la cónica.

En el ejemplo 9 se presenta una parametrización racional de una cónica usando un "haz de rectas".

Ejemplo 9: Determine una parametrización racional de la cónica $C:xy+y+2=0$ (ver figura 10).

10
Figura 10

Parametrización racional de C

Elaboración propia

Sol9
Solución Ejemplo 9
Elaboración propia

Con este método es que se obtienen las parametrizaciones racionales de la Tabla 1.

Hay algoritmos más sofisticados para obtener parametrizaciones racionales de ciertas curvas, pero no todas las curvas tienen una parametrización racional [6],[5]