Determinación experimental y verificación por el método del elemento finito de la frecuencia natural de vibración de barras de madera

Experimental determination and verification by the finite element method of the natural vibration frequency of wooden bars

El desarrollo de programas computacionales permite que el modelado numérico sea más accesible en ingeniería y diseño. Sin embargo, las simulaciones requieren datos experimentales de las propiedades físicas de los materiales utilizados (Gonçalves, Trinca, & Pellis, 2014). El método del elemento finito (MEF) es una técnica recomendada por ser económica y con gran potencial para el análisis de casos prácticos. No obstante, no está exento de incertidumbre y subjetividad en la interpretación de resultados (Gaff, Gašparik, Borůvka, & Babiak, 2015).

El MEF se ha utilizado de manera extensiva en la caracterización mecánica de productos forestales (Mackerle, 2005). Entre otras aplicaciones, para profundizar el estudio de nudos en la resistencia mecánica de la madera (Baño, Arriaga, Soilán, & Guaita, 2011; Hackspiel, De Borst, & Lukacevic, 2014a, 2014b), para estudiar el fenómeno de ruptura mecánica de la madera (Vasic, Smith, & Landis, 2005), el desarrollo de esfuerzos de crecimientos en árboles (Ormarsson, Dahlblom, & Johansson, 2009), la simulación de esfuerzos asociados a la flexión de la madera (Gaff et al., 2015) y la verificación del análisis modal en la evaluación de las frecuencias de vibración en elementos estructurales de madera (Kouroussis, Ben Fekih, & Descamps, 2017).

Por otra parte, el MEF se ha empleado para el estudio de productos de madera. Por ejemplo, Hwang y Suzuki (2016) observaron una fuerte correlación lineal (R² = 0.99) entre las frecuencias experimentales de tambores de Zelkova serrata (ρ_CH = 620 kg m^-3) en vibración y las frecuencias teóricas correspondientes pero determinadas con el método del elemento finito. Christoforo et al. (2016), con ayuda del MEF, determinaron el módulo de elasticidad estático en vigas la madera redonda. Por su parte, Kandler, Füssl y Eberhardsteiner (2015) relacionan diferentes enfoques estocásticos, siempre aplicando el método del elemento finito, para la caracterización de productos derivados de la madera.

El análisis modal realizado por el MEF requiere, por una parte, información sobre la configuración geométrica y las condiciones de frontera. Por otra parte, demanda los parámetros materiales densidad, módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson (Gaff et al., 2015). Como resultado, el análisis modal proporciona los modos y las frecuencias de vibración. Por ello, la comparación experimental y numérica se enfoca en las frecuencias observadas experimentalmente durante pruebas de vibraciones y las frecuencias resultantes del MEF (García, Sampaio, & Rosales, 2016).

En el contexto de la investigación, la madera es modelada como un sólido elástico, macroscópicamente poroso pero homogéneo, con propiedades de un medio continuo y con simetrías materiales y elásticas ortotrópicas (Guitard & Gachet, 2004). Sin embargo, la hipótesis de ortotropía material ha sido simplificada para considerar a la madera como un material isotrópico y así estudiar toda la probeta como un volumen sólido. Así, la probeta es idealizada como una viga continua, de geometría uniforme y de masa estructuralmente homogénea. Estas hipótesis simplificadoras de la descripción de la estructura del material y del cuerpo sólido en estudio han sido propuestas entre otros autores por De Amicis, Riggio, Girardi y Piazza (2011), De Borst et al. (2013) y Hofstetter, Hellmich y Eberhardsteiner (2004).

A partir de la medición de la frecuencia de resonancia en el primer modo de vibración de probetas de madera las vibraciones transversales permiten determinar de manera no destructiva su módulo dinámico (Machek, Militz, & Sierra-Alvarez, 2001) y viceversa, a partir del módulo dinámico es posible determinar la frecuencia natural (Kouroussis et al., 2017). Por consiguiente, si se determinan la frecuencia y el módulo de elasticidad de la madera, obtenidos de manera experimental o numérica, se podrá facilitar la caracterización dinámica de piezas de madera.

La revisión de la bibliografía revela escasa información acerca de las propiedades dinámicas de las especies estudiadas (Sotomayor-Castellanos, 2015). Por su parte, Tamarit Urias y López Torres (2007) y Silva Guzmán et al. (2010) reportan módulos de elasticidad determinados en condiciones de carga estáticas. De la misma manera, no se encontró información sobre el modelado por el método del elemento finito del comportamiento dinámico de las especies estudiadas.

El objetivo de la investigación fue determinar experimentalmente y verificar por el método del elemento finito la frecuencia natural de barras de madera ensayadas en vibraciones transversales. Para eso se experimentó con muestras de madera de 12 especies endémicas de México.

El material experimental consistió en piezas de madera aserrada recolectadas en aserraderos del estado de Michoacán, México (longitud Oeste 101° 49’ 59.99’’, latitud Norte 19° 10’ 0.01’’). Analizar un amplio rango de densidades aparentes de la madera fue el criterio para la selección de especies. La lista de especies estudiadas se presenta en la tabla 1. De cada especie se prepararon 32 probetas orientadas en las direcciones radial (R), tangencial (T) y longitudinal (L) y con dimensiones de 0.02 m x 0.02 m x 0.32 m (International Organization for Standardization, 2012). Las probetas se prepararon con madera sin anomalías estructurales y libre de defectos naturales. Las especies fueron identificadas en el Laboratorio de Mecánica de la Madera, de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, en Morelia, Michoacán, México.

La madera se almacenó durante 6 meses en una cámara de acondicionamiento con una temperatura de 20 °C (± 1 °C) y una humedad relativa de 60% (± 2%), hasta que su peso fue constante. El contenido de humedad de la madera se calculó de acuerdo con la norma ISO 13061-1:2014 (International Organization for Standardization, 2014a). La densidad aparente de la madera al momento del ensayo se calculó según la norma ISO 13061-2:2014 (International Organization for Standardization, 2014b). En lo subsecuente se escribirá densidad.

La determinación experimental del módulo dinámico siguió el procedimiento reportado por Villaseñor-Aguilar y Sotomayor-Castellanos (2015). Las pruebas de vibraciones transversales consistieron en medir la frecuencia natural de vibración perpendicular a la dirección longitudinal de la probeta. A este parámetro se le define como frecuencia experimental (f_exp). Con tal propósito se utilizó un analizador de frecuencias Grindosonic^® MK7 (Rango: 20 kHz - 100 kHz). La figura 1 muestra una fotografía de las pruebas de vibraciones transversales. El impulso elástico inicial fue aplicado en el centro geométrico de la cara superior de la probeta, en la dirección transversal a la misma, apoyada sobre dos soportes rígidos de tipo simple a una distancia nodal de 0.224 l. El ensayo dinámico en cada probeta fue repetido tres veces y el promedio de valores fue considerado para su análisis posterior.

A partir de la ecuación de movimiento de una viga en vibraciones transversales (1) (Weaver, Timoshenko, & Young, 1990):

E = Módulo de elasticidad (N m^-2)

l = Momento de inercia de la sección transversal de la probeta (m⁴)

m_l = Masa por unidad de longitud de la probeta (kg m-1)

A = Área de la sección transversal de la probeta (m2)

G = Módulo de Rigidez de la madera (N m-²)

y = Desplazamiento en la dirección transversal de la probeta (m)

x = Distancia en la dirección longitudinal de la probeta (m)

t = Tiempo (s)

K’ = Factor de forma en cortante (0.833 para probetas prismáticas)

r = Radio de giro de la sección transversal de la probeta (m²), con:

El módulo dinámico se calculó con la ecuación (2) (Machek et al., 2001):

Donde:

E_exp = Módulo dinámico (N m-²)

L = Largo de la probeta (m)

l = Distancia entre apoyos (m)

f_exp = Frecuencia natural experimental de la probeta (Hz)

ρ_CH = Densidad de la madera a un contenido de humedad CH (kg m^-3)

m, K = Constantes adimensionales (12, 65, 49, 48)

r = Radio de giro de la sección transversal de la probeta (m²) con:

I = Momento de inercia de la sección transversal de la probeta (m⁴)

A = Área de la sección transversal de la probeta (m²)

Los datos experimentales del contenido de humedad de la madera, de su densidad, de su módulo dinámico, así como al de las frecuencias naturales de vibración corresponden a los antecedentes de las especies reportadas por Sotomayor-Castellanos (2015). El experimento numérico consistió en introducir en el modelo los parámetros materiales: dimensiones (R, T, L), densidad (ρ_CH) y módulo dinámico experimental (E_exp) para estimar la frecuencia natural de vibración del sistema en movimiento, nombrada frecuencia numérica (f_MEF).

El cálculo por el método del elemento finito (MEF) siguió el procedimiento reportado por Soto-mayor-Castellanos y López-Garza (2016). El modelado consideró los aspectos siguientes: El programa utilizado para el análisis numérico fue ANSYS® 15. Se realizó un estudio de convergencia de la malla. Se modeló la probeta como una viga compuesta de un material isotrópico. Los valores de la densidad (ρ_CH) y el modulo dinámico experimental (E_exp) empleados corresponden a los resultados experimentales presentados en la tabla 1. El coeficiente de Poisson fue 0.3, valor sugerido por Sotomayor-Castellanos y López-Garza (2016). Los principales parámetros que se utilizaron en el MEF fueron geometría 3D; Tipo de elemento: Hexaédrico SOLID186; Tamaño de malla: 0,002 (m); Número de elementos; 116700: Número de nodos: 77495 (figura 2); y Función de forma: lineal.

No obstante que el número de probetas por cada muestra fue de 32, cantidad suficiente para considerar la teoría de las grandes muestras en el análisis, se calculó a posteriori el tamaño de la muestra necesario para validar las pruebas estadísticas. El tamaño de la muestra (número de probetas) se calculó con la ecuación (3) (Gutiérrez Pulido & De la Vara Salazar, 2012):

Donde:

n = Tamaño de la muestra

σ = Desviación estándar

e = Error de estimación aceptable

La tabla 1 presenta los resultados de la densidad, del módulo dinámico, de la frecuencia experimental y de la frecuencia numérica de las especies en estudio. La figura 3 presenta la deformación de una probeta de Cedrelaodorata en el primer modo de vibración. El contenido de humedad de la madera promedio fue de 10.8% con un coeficiente de variación de 1.1%. Este parámetro se consideró constante y sin influencia en los resultados.

Las magnitudes de la densidad cubrieron un intervalo de 544 kg m^-3, con un mínimo para Spathodea campanulata de 357 kg m-3 y un máximo para Acacia farnesiana de 901 kg m^-3. Los valores del módulo dinámico experimental comprendieron un intervalo de 10312 MN m^-2, con un mínimo de 3765 MN m^-2 para S. campanulata y un máximo de 14077 MN m^-2 para Platymiscium dimorphandrum. Asimismo, los valores de la frecuencia experimental cubrieron un rango de 291 Hz, con un mínimo para S. campanulata de 655 Hz, y un máximo de 987 Hz para Cupressus lindleyi.

Para las frecuencias experimental y numérica, los valores del sesgo y de la curtosis estandarizados se situaron al interior del intervalo -2, +2. Conjuntamente, el valor P = 0.4197 de la prueba de conformidad de varianzas verificó igualmente que no existe una diferencia estadísticamente significativa entre las desviaciones estándar de las muestras observadas. Asimismo, el valor P = 0.9308 del análisis de varianza confirmó que no existe una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de las dos variables. En consecuencia, desde el punto de vista estadístico, las magnitudes de la frecuencia predichas numéricamente equivalen a las determinadas experimentalmente.

Sin embargo, los resultados de la tabla 1 sugieren, para cada especie, diferencias aritméticas entre las frecuencias experimentales y numéricas. En efecto, se puede observar una diferencia máxima entre f_exp y f_MEF de 14.1% para A. farnesiana, especie que presentó la máxima densidad. Con todo, esta diferencia no es proporcional en función de la densidad de la madera. En efecto, la diferencia mínima entre frecuencias es de 1.7% y corresponde a Cedrela odorata con densidad de 566 kg m^-3. Esta tendencia se indica en la figura 4 que muestra la correlación de la frecuencia experimental en función de la densidad de la madera y su coeficiente de determinación. En las figuras 4 y 5 la leyenda de los puntos corresponde a la numeración de las especies de la tabla 1.

En efecto, el coeficiente de determinación de la regresión f_exp = f(ρ_CH) es R² = 0.71, valor aceptable de acuerdo con el paradigma vigente para ciencias y tecnología de la madera, el cual considera a la densidad como predictor de sus características elásticas, en este caso, del módulo dinámico (Niklas & Spatz, 2010). Sin embargo, no se observa una correspondencia inequívoca entre módulo dinámico y densidad de la madera, ambos experimentales.

Como consecuencia, los resultados numéricos que utilizan estos datos como parámetros materiales en el modelo resultan en una variación correspondiente y/o similar. Este resultado se explica en la figura 5 que presenta la correlación de la frecuencia experimental (f_exp) en función de la frecuencia numérica (f_MEF), con un coeficiente de determinación aceptable, pero menor (R² = 0.66).

La calidad de un procedimiento de caracterización mecánica de la madera está delimitada principalmente por dos factores: el primero es la precisión del parámetro medido para explicar el parámetro dependiente, esta capacidad es cuantificada por medio del coeficiente de determinación (R²) derivado del análisis de regresión, y el segundo factor es el error introducido en la predicción del parámetro, el cual puede ser valorado por el coeficiente de variación (CV) de las mediciones. Si el análisis de regresión entre dos parámetros o variables se deriva de mediciones realizadas en las mismas condiciones experimentales y con el mismo aparato, el efecto del error de medición y del coeficiente de variación ya está incluido en el valor de R² directamente (Hanhijärvi, Ranta-Maunus, & Turk, 2005). Retomando este argumento, el coeficiente de determinación entre f_exp versus ρ_CH fue de 0.71 (figura 4) y en comparación con el coeficiente de determinación entre f_MEF versus ρ_CH que fue de 0.66 (figura 5), es decir, una disminución de 7%.

La estrategia de comparar resultados experimentales con numéricos es reportada recientemente por Christoforo et al. (2016), quienes determinaron para Pinus elliottti (570 kg m^-3) los módulos de elasticidad estáticos de manera experimental y compararon sus resultados con los módulos estimados con el MEF. Estos autores encontraron un coeficiente de determinación entre los dos módulos de 94.5%. Por su parte, Kandler, Füssl, Serrano y Eberhardsteiner (2015) encontraron coeficientes de correlación entre los módulos dinámicos experimentales y numéricos de 0.88. Por su parte, Lukacevic, Füssl, Griessner y Eberhardsteiner (2014) reportan igualmente que la simulación numérica es capaz de reproducir adecuadamente el comportamiento estructural básico de piezas de madera de tamaño estructural de Picea abies (ρ_CH = 390 kg m^-3) y completa la validación. Sus resultados experimentales y numéricos de resistencia mecánica en flexión resultaron con un coeficiente de determinación de 0.79. Comparando con los resultados de esta investigación (2017), los coeficientes de determinación fueron menores que los reportados en la literatura.

Se determinó experimentalmente y se verificó por el método del elemento finito la frecuencia natural de barras de madera ensayadas en vibraciones transversales. El modelo fue validado experimentalmente comparando las predicciones del modelo para 12 especies leñosas, con los resultados promedio de 32 especímenes ensayados en vibraciones transversales para cada una de las mismas especies.

Desde el punto de vista estadístico las magnitudes de la frecuencia predichas numéricamente son equivalentes a las determinadas experimentalmente. El uso del módulo dinámico obtenido experimentalmente y empleado en las simulaciones del movimiento de probetas de 12 especies de madera conduce a valores de frecuencia equivalentes a los obtenidos en las pruebas de vibraciones, probando así la eficiencia del modelado numérico para estimar la frecuencia de una pieza de madera. Este corolario es particular para las condiciones experimentales y específicas a este estudio de caso. Para prospecciones más generales se recomienda realizar estudios intensivos para las condiciones de carga y para la configuración de las pruebas correspondientes.

La densidad de la madera predice su módulo dinámico hasta en 71%. La comparación de la predicción del modelo numérico con los resultados experimentales, en términos de la correlación entre la frecuencia numérica y la frecuencia experimental, explica 66% de esta dependencia. Así, la regresión lineal calculada indica una moderada calidad predictiva del modelo de simulación empleado en la investigación.

Con todo, los coeficientes de determinación reportados en la bibliografía y citados anteriormente son mayores que los obtenidos en esta investigación. El modelo numérico aquí utilizado parte de que el material con el cual está conformado el volumen puesto en vibración es homogéneo e isotrópico. Esta hipótesis material introducida para simplificar el tratamiento numérico no satisface necesariamente las características materiales de las probetas estudiadas experimentalmente. En efecto, la estructura anatómica de cada una de las especies es diferente y particular, argumento que sugiere para futuras simulaciones similares a las propuestas en esta investigación detallar más el modelo material de la madera.

Los autores desean agradecer al Doctor Juan Zárate Medina, profesor de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, por su colaboración en la realización de las pruebas de vibraciones transversales. La investigación estuvo patrocinada por la Coordinación de la Investigación Científica, de la misma universidad.