Ribinės teoremos Floydo trikampiui: naujas požiūris į nenaują uždavinį

Igoris Belovas

Articles

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.

DOI: https://doi.org/10.15388/LMR.2021.25222

Summary: Floydo trikampio algoritmo (ir atitinkamos kompiuterinės programos) sudary-mo problema yra neretai pateikiama informatikos mokslų krypčių studentams kaip pratimas ar pavyzdys, iliustruojantis teksto formatavimo ir ciklo konstrukcijų sąvokas. Straipsny- je siūloma pažvelgti į objektą (bei jo apibendrinimus) iš kito kampo, kaip į kombinatorinį skirstinį, ir nagrinėti jo elementų elgesį, taikant ribinių teoremų metodologiją. Iškeliami klausimai: kokiam ribiniam dėsniui paklūsta trikampio skaičiai? Koks yra konvergavimo į ribinį dėsnį greitis? Tokio tipo uždaviniai gali būti panaudoti kaip pratimai studijuojan- tiems matematikos ir informatikos krypčių studijų programose esančius tikimybių teorijos ir kombinatorikos dalykus bakalaurams, padėtų studentams įvaldyti atitinkamą įrodymų tech- niką ir matematinį aparatą. Straipsnyje siūloma galimų uždavinių serija bei pateikiamos jų įrodymų schemos.

Keywords: Floydo trikampis, ribinės teoremos, tolygusis skirstinys.

Abstract: Floyd’s triangle is often presented to computer science students as an exercise or example to illustrate the concepts of text formatting and loop constructs. The paper proposes to look at an object from a different angle and to examine limit theorems for the numbers of generalized Floyd’s triangles. Tasks of this type can be used as exercises in study programs of mathematics and informatics (couses of probability theory and combinatorics). It would help to master the appropriate proof techniques and mathematical apparatus. The article proposes a series of possible problems and their proof schemes.

Keywords: Floyd’s triangle, limit theorems, uniform distribution.

1I˛vadas

Floydo trikampis yra formuojamas užpildant trikampio eilutes iš eilės natūraliaisiais skaičiais, pradedant vienetu viršutiniame kairiajame kampe (žr. 1 lentelę). Šio trikampio algoritmo (ir atitinkamos kompiuterinės programos) sudarymo problema yra pateikiama informatikos mokslų krypčių studentams kaip pratimas ar pavyzdys, iliustruojantis teksto formatavimo ir ciklo konstrukcijų sąvokas [1, 6].

Kitas susijęs uždavinys studentams yra Floydo trikampio bendrojo nario $F n, k$ formulės išvedimas. Pastebėjus, kad pradinio stulpelio elementai yra paslinkti per

1 lentele
Floydo trikampis.

vienetą trikampiai skaičiai, t.y., $F n, 0 = T n + 1$ , kur

T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}, n \geq 0

(1)

ir kad kiekviena trikampio eilutė yra aritmetinė progresija su skirtumu 1, gauname trikampio elementų bendrą formulę,

F_{n}, k = \{\begin{array}{lr} 0 \\ t_{n} + & k + 1 \end{array}, \binom{j e i, k > n}{p r i e s i n g u, a t v e j u}

(2)

Tačiau į Floydo trikampį galima pažvelgti ir iš kitos pusės, kaip į kombinatorinį skirstinį. Tegų $Ω_{n}$ yra sveikaskaitis atsitiktinis dydis su tikimybėmis $p_{n k}$ , nusakomomis formule

P (Ω_{n} = k) = p_{n, k} : = \frac{F_{n}, k}{\sum_{j = 0}^{n} F_{n, j}}, 0 \leq k \leq n

(3)

Dabar galima nagrinėti $F_{n, k}$ elgesį, taikant ribinių teoremų metodologiją (pl. [2]). Pvz., skaičiai yra asimptotiškai normalūs su vidurkiu $μ_{n}$ ir dispersija $σ_{n}^{2},$ jei

\lim_{n \to ∞} \binom{s u p}{x} | \sum_{k < μ_{n} + x σ_{2}}^{} P_{n, k} - φ (x) | = 0

(4)

kur $φ (x)$ yra standartinio normaliojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Iš tikrųjų, Floydo trikampio skaičiai nėra asimptotiškai normalūs, tačiau kokiam ribiniam dėsniui jie paklūsta? Koks yra konvergavimo į ribinį dėsnį greitis? Tokie uždaviniai Floydo trikampio apibendrinimams gali būti panaudoti kaip pratimai studijuojantiems matematikos ir informatikos krypčių studijų programose esančius tikimybių teorijos ir kombinatorikos dalykus bakalaurams.

2 Ribine˙s teoremos Floydo trikampio skaičiams

Sprendžiant ribinio dėsnio problemą įprastai (šabloniškai) iš pradžių apskaičiuojama Floydo trikampio skaičių generuojanti funkcija

\begin{matrix} g (x, y) = & \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} f_{n, k^{x n y k} = \frac{1}{(1 - y) (1 - x)^{3}} - \frac{1}{(1 - y) (1 - x)^{2}}} \\ + \frac{1}{(1 - y)^{2} (1 - x)} & - \frac{y}{(1 - y) (1 - x y)^{3}} - \frac{y}{(1 - y)^{2} (1 - x y)} \\ = \frac{1 + x^{4} y^{2} - x^{3} y - x^{2} y + x^{2} - x}{(1 - x)^{3} (1 - x y)^{3}} \end{matrix}

ir atsitiktinio dydžio $Ω_{n}$ momentus generuojanti funkcija

\begin{matrix} M_{n} (s) = (n! \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n, k})^{- 1} & \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}} & G (x, e^{s}) |_{x = 0} \\ = \frac{(n^{2} + 3 n + 2) e^{s (n + 2)} - (n | 2 + 3 n + 4) e^{s (n + 1)} - (n^{2} + n) e^{s} + (n^{2} + n + 2)}{(n + 1) (n^{2} + 2 n + 2) (1 e^{s})^{2}} \end{matrix}

Išnagrinėję normuoto atsitiktinio dydžio $X_{n} = Ω_{n} / n$ momentus generuojančios funkcijos $M_{X_{n}} (s)$ konvergavimą, gauname

M_{X_{n}} (s) = M_{U} (s) + O (\frac{1}{n})

kur $M_{U} (s) = (e^{s} - 1 \frac{)}{s}$ yra standartinio tolygaus atsitiktinio dydžio momentus generuojanti funkcija. Taigi, atsitiktinis dydis $Ω_{n}$ yra asimptotiškai tolygus. Visi šie skaičiavimai užimtų keletą puslapių, tačiau, iš tikrųjų, rezultatą galimą gauti trumpai ir tiesiogiai. Suformuluokime teoremą.

1 teorema. Atsitiktinis dydis $X |_{n} = Ω_{n} / n$ asimptotiškai yra standartinis tolygusis, $X_{n} ~ U (0, 1) .$

Nagrinėkime iš karto bendresnį atvejį.

2.1 Natu¯raliu˛ju˛ skaičiu˛ laipsniu˛ trikampis

Trikampio elementų bendroji formulė yra

F_{n, k}^{(1)} = \{\begin{array}{lr} 0, & j e i, k > n, \\ (T_{n} | + k + 1)^{s} & p r i e s i n g u, a t v e j u \end{array}

(5)

Įvertinkime šio apibendrinto Floydo trikampio eilutės elementų sumą (7), pasitelkiant rezultatą natūraliųjų skaičių laipsnių sumoms (gaunamas pritaikius Eulerio–Makloreno sumavimo formulę),

ψ_{n}^{(1)} : = \sum_{k = 0}^{n} k^{s} = \{\begin{array}{lr} \frac{n^{s + 1}}{s + 1} + O (n^{s}), & j e i s > - 1, \\ γ + \log n + O (n^{- 1}), & j e i s = - 1, \\ ς (s) + \frac{n^{s + 1}}{s + 1} + O (n^{s}), & j e i s < - 1, \end{array}

(6)

čia $ς (s)$ yra Rymano dzeta funkcija, $γ$ yra Eulerio–Maskeronio konstanta. Pagal (1) ir (6), turime

S_{n}^{(1)} = \sum_{k = 0}^{n} F_{n, k}^{(1)} = ψ_{T n + n + 1}^{(1)} - ψ_{T n}^{(1)} = \frac{1}{2^{s}} n^{2 s + 1} + O (n^{2 s}) .

(7)

Normuoto atsitiktinio dydžio $X_{n}^{(1)} = Ω_{n}^{(1)} / n$ pasiskirstymo funkcija lygi

\begin{matrix} F_{X_{n}^{(1)}} (x) = (S_{n}^{(1)})^{- 1} & \sum_{k < n x}^{\infty} F_{n, k}^{(1)} & = (S_{n}^{(1)})^{- 1} & ( & ψ_{T_{n} + [n x] + 1}^{(1)} - & ψ_{T_{n}}^{(1)} \\ = \frac{n^{2} + n)^{s} ([n x] + 1) (1 + O (n^{- 1}))}{n^{2 s + 1} (1 + O (n^{- 1}))} \\ = \frac{[n x] + 1}{\binom{\underset{⏟}{n}}{\in [x, x + \frac{1}{n}]}} (1 + O (\frac{1}{n})) = x + O (\frac{1}{n}) . \end{matrix}

Taigi, 1 teorema galioja $F_{n, k}^{(1)}$ skaičiams. Analogiškai teorema įrodoma lyginių ir nelyginių skaičių laipsniams.

2.2 Pirminiu˛ skaičiu˛ laipsniu˛ trikampis

Tegu ${p_{n}}$ yra pirminių skaičių seka. Atitinkamo apibendrintojo trikampio elementų formulė yra

F_{n, k}^{(2)} = \{\begin{array}{lr} 0, & j e i k > n, \\ (p T_{n} + k + 1)^{s}, & p r i e \overset{}{s i n g u a t v e j u} \end{array}

(8)

Galime įvertinti šio apibendrinto Floydo trikampio eilutės elementų sumą (12), pasitelkiant pirminių skaičių laipsnių sumos asimptotine formule [5],

π_{s} (t) = \sum_{p k \leq t}^{\infty} P_{k}^{s} = π (t^{s - 1}) + \{\begin{array}{lrr} O (t^{s + 1} e^{θ (t)}), & j e i & s > 0 \\ O (t^{s + 1} e^{(s + 1) \frac{3}{5} θ (t)}), & j e i & - 1 < s < 0, \end{array}

(9)

kur

θ (t) = - 0.2098 (\log t)^{\frac{3}{5}} (\log \log t)^{- \frac{1}{5}}

ir $π (t)$ yra pirminių skaičių pasiskirstymo funkcija [4],

π (t) =li (t) + O (t e^{θ (t)}),

(10)

kur $li(t)$ yra integralinis logaritmas. Toliau, atsižvelgę į įvertį [3]

p_{n} = n \log n (1 + O (\frac{\log \log n}{\log n})),

(11)

apskaičiuosime sumą

S_{n}^{(2)} = \sum_{k = 0}^{n} F_{n, k}^{(2)} = π_{s} (PT_{n} + n + 1) = n^{2 s + 1} (\log n)^{s} (1 + O (\frac{\log \log n}{\log n}))

(12)

ir normuoto atsitiktinio dydžio $X_{n}^{(2)} = Ω_{n}^{(2)} / n$ pasiskirstymo funkciją

\begin{matrix} F_{X_{n}^{(2)}} (x) = (S_{n}^{(2)})^{- 1} & \sum_{k < n x}^{} F_{n, k}^{(2)} =(S_{n}^{(2)})^{- 1} (π_{s} (P T_{n} +[n x] + 1) - π_{s} (P T_{n})) \\ = \frac{[n x]}{n} + O (\frac{\log \log n}{\log n}) = x + O (\frac{\log \log n}{\log n}) . \end{matrix}

Taigi, 1 teorema galioja $F_{n, k}^{(2)}$ skaičiams. Kitas kelias įrodyti asimptotinį tolygumą – tai pastebėti, kad $m \leq p_{m} \leq m^{2}$ kai $m > 1$ (pl. (11)), ir pasinaudoti jau įrodytu rezultatu laipsninėms funkcijoms.

2.3 Rodykliniu˛ funkciju˛ trikampis

Ar visi Floydo tipo trikampių skaičiai paklūsta tolygiajam dėsniui? Nagrinėkime trikampį su elemento bendrąja formule

F_{n, k}^{(3)} = \{\begin{array}{lrr} 0, & j e i & k > n \\ e^{s (T_{n} + k + 1)} & priesingu & atveju. \end{array}

(13)

Įvertinsime trikampio eilutės elementų sumą, pasitelkiant geometrinės progresijos narių sumos formulę,

ψ_{n}^{(3)} : = \sum_{k = 0}^{n} e^{s k} = \frac{e^{s (n - 1)} - 1}{e^{s} - 1}

(14)

Kai $s > 0$ , turime

S_{n}^{(3)} = \sum_{k = 0}^{n} {| F}_{n, k}^{(3)} = ψ_{T_{n} + n + 1}^{(3)} - ψ_{T_{n}}^{(3)} = \frac{e^{s (T_{n} + n + 2)}}{e^{s} - 1} (1 - e^{- s (n + 1)}) .

(15)

Normuoto atsitiktinio dydžio $X_{n}^{(3)} = Ω_{n}^{(3)} / n$ pasiskirstymo funkcija lygi

F_{X_{n}^{(3)}} (x) = (S_{n}^{(3)})^{- 1} \sum_{k < n x}^{} F_{n, k}^{(3)} =(S_{n}^{(3)})^{- 1} (ψ_{T_{n} + [n x] + 1}^{(3)} - ψ_{T_{n}}^{(3)})

(16)

= \binom{\underset{⏟}{e^{s ([n x] - 1}}}{~ e^{- s n (1 - x)}} (1 + O (e^{- s n})) \Rightarrow F_{1} (x) = \{\begin{array}{lrr} 1, & jei & x \geq 1, \\ 0, & jei & x < 1, \end{array}

(17)

čia $F_{1} (x)$ yra išsigimęs skirstinys. Taigi, 1 teorema negalioja $F_{n, k}^{(3)}$ skaičiams.

2.4Uždaviniu˛ pavyzdžiai

Daugiau uždavinių apibendrintų Floydo trikampių skaičiams galima rasti 2 lentelėje. Visi šie skaičiai yra asimptotiškai tolygūs.

2 lentele.
Floydo trikampiai.

Literatu¯ra

[1] A. Arora, S. Bansal. Unix and C Programming. Firewall Media, 2005.

[2] I. Belovas. Centrinė ribinė teorema trikampių masyvų klasės skaičiams, asocijuotiems su Ermito daugianariais. Liet. matem. rink. LMD darbai, serija B, 61:1–7, 2020. https://doi.org/10.15388/LMR.2020.22466.

[3] P. Dusard. The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k 1) for k ≥ 2. Math. Comput., 68(225):411–415, 1999. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-99-01037-6.

[4] K. Ford. Vinogradov’s integral and bounds for the Riemann zeta function. Proc. London Math. Soc., 85(3):565–633, 2002. https://doi.org/10.1112/S0024611502013655.

[5] J. Gerard, L. Washington. Sums of powers of primes. Ramanujan J., 45:171–178, 2018. https://doi.org/10.1007/s11139-016-9847-4.

[6] C. Xavier. C Language And Numerical Methods. New Age International, 2007.

	0	1	2	3	4	5	. . .
0	1	0	0	0	0	0	. . .
1	2	3	0	0	0	0	. . .
2	4	5	6	0	0	0	. . .
3	7	8	9	10	0	0	. . .
4	11	12	13	14	15	0	. . .
5	16	17	18	19	20	21	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .