Judėjimo su apribojimais modeliavimas

Vytautas Kleiza; Rima Šatinskaitė

Articles

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional.

Recepción: 21 Junio 2021

Aprobación: 20 Diciembre 2021

DOI: https://doi.org/10.15388/LMR.2021.25225

Summary: Sudaryti judėjimo su apribojimais (judėjimo glodžia kreive) 2D ir 3D matematiniai modeliai. Modelių struktūrą sudaro netiesinės pirmos arba antros eilės diferencialinės lygtys. Ištiri laisvo judėjimo ir judėjimo su pasipriešinimu atvejai. Skaitiniais metodais gauti diferencialinių lygčių Koši uždavinio sprendiniai. Pateikti judėjimo su apribojimais taikymo pavyzdžiai, kuriuose yra svarbus tikslus įvairių judėjimo su apribojimais daugelio parametrų radimas.

AMS: 70K40

Keywords: matematinis modelis, netiesinė diferencialinė lygtis, apribotas judėjimas, gravitacijos jėga, energijos disipacija.

Abstract: This paper presents an investigation of modeling and solving of differential equations in the study of mechanical systems with holonomic constraints. The 2D and 3D mathematical models of constrained motion are made. The structure of the models consists of nonlinear first or second order differential equations. Cases of free movement and movement with resistance are investigated. Solutions of the Cauchy problem of obtained differential equations were obtained by Runge–Kutta method.

Keywords: mathematical model, nonlinear differential equation, constrained motion, gravitation force, energy dissipation.

1 I˛vadas

Judėjimo su apribojimais (constrained motion) uždavinys dažniausiai sprendžiamas arba naudojant lokalią koordinačių sistemą arba apibendrintose koordinatėse [1, 3]. Darbe šis uždavinys išspręstas inercinėje Dekarto koordinačių sistemoje, t. y. sudarytas judėjimo su stacionariais holonominiais ryšiais

x =x (u), y=y (u),z=z (u), uϵ [u_{1}, u_{2}], x, y, zϵ C^{(1)} [u_{1}, u_{2}]

(1)

(plokščios kreivės atveju z(u) 0) matematinis modelis (MM) ir apskaičiuoti visi tokio judėjimo parametrai (kaip laiko funkcijos). Visur tiriamo judėjimo priežastimi yra tik gravitacijos jėga ir pradinis greitis v1 = v1(u1), o MM sudarytas remiantis materialaus taško (MT) pilnos energijos balansu.

2 2D Modeliai

Tegul masės m MT pradeda judėjimą kreivės $L: γ = γ (x) (γϵ C^{(1)}, [x_{1}, x_{2}])$ taške $[x_{1}, γ, (x_{1})]$ su pradiniu greičiu v₁ = v₁(x₁) ir juda kreive L, veikiant tik gravitacijos jėgai, tada pagal energijos tvermės dėsnį potencinės Ep = mg y(x) + const ir kinetinės $E_{k} = \frac{m v^{2} (x)}{2}$ energijos suma yra pastovi, todėl

mg y (x) + const+ \frac{m v^{2} (x)}{2} = mg y_{1} +const+ \frac{m v_{1}^{2}}{2},

čia g laisvo kritimo pagreitis, taigi $v^{2} (x) = v_{1}^{2} -2g (y, (x), -, y_{1})$ , bet y₁ = y(x₁), todėl

v (x) = \sqrt{v_{1}^{2} +2g (y, (x_{1}), -y, (x))}

(2)

Iš (2) seka, kad MT judančio kreive L greitis bet kuriame kreivės L taške priklauso tik nuo MT ordinačių skirtumo y1 - y(x) ir pradinio greičio v1. Jei kreivė L apibrėžta parametrinėmis lygtimis $(1) x = x (u), γ = γ (u), u_{1} \leq u \leq u_{2}$ , tai

v (u) = \sqrt{v_{1}^{2} +2g [y, (u_{1}), -y, (u)]}

Rasime MT judančio gravitaciniame lauke kreive $γ (x), x_{1} \leq x \leq x_{2}$ judėjimo lygtis. Tegul pradiniame taške [x₁, y(x₁)] greitis lygus v1, tada greitis bet kuriame taške [x, y(x)] lygus

v (x) = \sqrt{v_{1}^{2} +2g (y_{1}, -y, (x))}

Jei s = s(t) MT nueito kelio laiko tarpe nuo t = 0 iki t = t funkcija, tai $ds= \sqrt{1+ y^{'} {(x)}^{2}}$ lanko ilgio diferencialas ir $dt= \frac{d_{s}}{v (x)}$ . Tada laikas T per kurį MT judės kreive nuo taško [x1, y(x1)] iki taško [x, y(x)]:

T = \int_{x_{2}}^{x} d t = \int_{x_{1}}^{x} \frac{ds}{v (x)} = \int_{x_{1}}^{x} \frac{\sqrt{1+ y^{'} {(x)}^{2}} dx}{\sqrt{v_{1}^{2} +2g (y, (x_{1}), -y, (x))}} .

(3)

Diferencijuodami (3) pagal . gauname MT judėjimo diferencialinę lygtį:

\frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{1+ {(y^{'})}^{2}}}{\sqrt{v_{1}^{2} +2g (y1-y)}}

(4)

Gavome diferencialinę lygtį atvejams kai judėjimui su apribojimais nėra energijos disipacijos.

Tirsime judėjimą (1 pav.) kreive y = f (x), kai MT su vienatine mase (m = 1) veikia tik gravitacijos jėga F_g o judėjimo kryptimi veikia terpės pasipriešinimo jėga F_k= k_v(yra energijos disipacija). Greičių lauko radimui sudarysime diferencialinę lygtį, remiantis tuo, kad kinetinė energija E_k sunaudota pasipriešinimo jėgai įveikti laiko tarpe nuo t = 0 iki t lygi:

E_{k} (t) = \int_{0}^{t} F_{k} ds = \int_{0}^{t} kv (Ƭ) v (Ƭ) dƬ = k \int_{0}^{t} v^{2} (Ƭ) dƬ

čia ds = v(τ )dτ – nueito kelio diferencialas taške τ .

1 pav
MT veikiančios je˙gos esant pasipriešinimui.

Pagal energijos tvermės dėsnį MT energija bet kuriuo laiko momentu t yra lygi MT energijai pradiniame taške minus energija sunaudota terpės pasipriešinimui nugalėti E_k, t. y.

mgy+ \frac{m v^{2}}{2} |_{t=t} = (mgy+, \frac{m v^{2}}{2}) |_{t=0} -k \int_{0}^{t} v^{2} (Ƭ) dƬ

Nemažinant bendrumo galime laikyti, kad $m = 1, v (0) = 0, γ (0)$ , tada laiko momentu t

gy+ \frac{v^{2}}{2} =-k \int_{0}^{t} v^{2} (Ƭ) dƬ

Diferencijuojant šį reiškinį gauname greičio pasiskirstymo laike diferencialinę lygtį:

v {v^{'}}_{t} +k v^{2} +g {y^{'}}_{t} =0

(5)

Lygtyje (5) visos funkcijos priklauso nuo laiko t, todėl y‘(t) yra nežinoma ir išspręsti gautą diferencialinę lygtį (t. y. rasti greičio v priklausomybę nuo laiko) negalime.

Padauginus diferencialinę lygtį (5) iš dt ir pastebėjus, kad $γ' d t = d γ, ν d t = d s, v' d t = d v$ , gauname funkcijų v, s, y diferencialų sąryšį:

vdv+kvds+gdy=0

(6)

Šis sąryšis galioja bet kurio parametro funkcijoms v, s, y. Todėl, pavyzdžiui, padalinę (6) iš dx (tada parametru tampa .) gauname greičio diferencialinę lygtį:

v {v^{'}}_{x} + kv \sqrt{1+ {y^{'}}_{x}^{2}} +g {y^{'}}_{x} = 0

(7)

Tačiau, kai v₁= 0, lygtis (4) tampa išsigimusia. Tada pastebėjus, kad ec p 5 ir pakeitus greičio funkciją v(x) į w(x) = v²(x), gauname jau neišsigimusią (net kai w(x1) = v2(x1) = 0) diferencialinę lygtį funkcijai w(x):

{w^{'}}_{x} +2k \sqrt{w (1+, {y^{'}}_{x}^{2})} + 2g {y^{'}}_{x} =0 (v, (x), =, \sqrt{w (x)})

(8)

Tai pirmos eilės netiesinė lygtis su Koši sąlyga v(x₁) = v₁.

3 3D Modeliai

Tegul dabar masės m = 1 MT juda kreive (1) veikiamas tik gravitacijos jėgos ir terpės pasipriešinimo jėgos F_k = -k_v. Tada gravitacijos jėgos F_g poveikį judėjimui sudaro tik laisvo kritimo pagreičio g = [0, 0, g]T projekcija į judėjimo kryptį τ = [x′(u) y′(u) z′(u)]^T:

F_{g} =p r_{Ƭ} g = \frac{- {z^{'}}_{u}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}}} g

Judėjimo lygčių sudarymui pažymėsime u = w(t), (čia w(t) nežinoma funkcija, t – laikas). Funkcijos w(t) radimui sudarysime diferencialinę lygtį, nes žinant w(t), gauname judėjimo lygtis

{\begin{matrix} x=x (w, (t)), \\ \begin{matrix} y=y (w, (t)), \\ z=z (w, (t)) . \end{matrix} \end{matrix}

Judėjimas veikiamas tik jėgomis F_g, F_k, (jų veikimo kryptys kolinearios), tai sumuodami jas gauname atstojamąją jėgą F (arba pagreitį a, nes m = 1)

F=a= F_{g} + F_{k} = \frac{-g {z^{'}}_{u}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}}} -kv

Judančio taško greičio vektorių v rasime diferencijuodami judėjimo lygtis:

v = {[x, (w, (t)), y, (w, (t)), z, (w, (t))]}^{'}_{t} = [{x^{'}}_{u}, {w^{'}}_{t}, {y^{'}}_{u}, {w^{'}}_{t}, {z^{'}}_{u}, {w^{'}}_{t}] = [{x^{'}}_{u}, {y^{'}}_{u}, {z^{'}}_{u}] {w^{'}}_{t}

tada judančio taško greičio modulis v ir pagreitis a:

\begin{matrix} |v| =v = \sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} {y^{'}}_{u}^{2} {z^{'}}_{u}^{2}} & {w^{'}}_{t} \\ a (t) = \frac{dv}{dt} = \frac{({x^{'}}_{u} {x^{″}}_{u} + {y^{'}}_{y} {y^{″}}_{u} + {z^{'}}_{u} {z^{'}}_{u}) {w^{'}}_{t}^{2} ({x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}) {w^{'}}_{t}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}}} |_{u=w (t)} & , \end{matrix}

o atsižvelgus i tai, kad a = Fg + Fk, turime

\begin{matrix} \frac{- g {z^{'}}_{u}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}}} -kv |_{u=w (t)} \\ = \frac{({x^{'}}_{u} {x^{″}}_{u} + {y^{'}}_{u} {y^{″}}_{u} + {z^{'}}_{u} {z^{″}}_{u}) {w^{'}}_{t}^{2} + ({x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}) {w^{″}}_{t}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}}} |_{u=w (t)} \end{matrix}

Išreiškus ${w^{″}}_{t} (t)$ gauname diferencialinę lygtį funkcijos w(t) radimui:

{w^{″}}_{t} (t) = \frac{-g {z^{'}}_{u} -k ({x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}) {w^{'}}_{t} - ({x^{'}}_{u} {x^{″}}_{u} + {y^{'}}_{u} {y^{″}}_{u} + {z^{'}}_{u} {z^{″}}_{u}) {w^{'}}_{t}^{2}}{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}} |_{u=w (t)}

(9)

ir pradines sąlygas: w(t1) = u1 (u1 pradinio kreivės taško parametro u reikšmė), ${w^{'}}_{t} (t_{1}) = \frac{v_{1}}{\sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {x^{'}}_{x}^{2} + {z^{'}}_{x}^{2}}} (nes v = \sqrt{{x^{'}}_{u}^{2} + {y^{'}}_{u}^{2} + {z^{'}}_{u}^{2}} {w^{'}}_{t}$ , o v₁ greitis pradiniame kreivės taške).

2 pav
Keplerio parabole˙ (me˙lyna spalva).

3 pav
70 kg mase˙s MT svoris judant parabole.

4 pav
Apribojanti kreive˙.

4 Skaičiavimo pavyzdžiai

4.1 Keplerio parabole˙ (le˙ktuvo trajektorija imituojanti nesvarumą [2])

Būtina lėktuvo trajektorija (apribojanti kreivė 2 pav.) K_p ∈ C⁽¹⁾[−∞, ∞], a > 0:

k_{p} (x, a) = \{\begin{array}{lr} exp (- a x^{2}) & jei - \infty < x \leq s (a), \\ - b (a) x^{2} + c (a) & \begin{matrix} jei s (a) < x < - s (a), & s (a) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{a}} \end{matrix}, \\ exp (- a x^{2}), & jei - s (a) < x \leq + \infty, \end{array} \begin{matrix} \begin{matrix} b (a) = aexp [- a s^{2} (a)], & c (a) & = & b (a) [\frac{1}{a} + s^{2} (a)] \end{matrix} \end{matrix}

Svorio kitimas judant parabole parodytas (3 pav.).

5 pav
Pagreičio a(t) dedamu˛ju˛ ax(t), ay (t), az (t) grafikai.

4.2 Jude˙jimas spirale elipsinio cilindro paviršiumi su pasipriešinimu

Tegul MT juda apribojančia kreive (u = 0 . . . 2π):

{\begin{matrix} x = 2 \cos u, \\ γ = - 4 \sin u, \\ z \times (2 π - u) / 2, \end{matrix}

esančioje elipsinio cilindro paviršiuje su pradiniu greičiu v1 = v(0) = 0, o terpės pasipriešinimo jėga Fk = 0.1v (4 pav.)

Pateiktos MT pagreičio $a t = {[a_{x}, (t), a_{y}, (t), a_{z}, (t)]}^{T}$ projekcijos į koordinačių ašis (5 pav.).

Visi pavyzdžiai skaičiuoti adaptyvaus žingsnio ketvirtos eilės Runges ir Kuto metodu.

Referencias

[1] B. Bagchi. Advanced Classical Mechanics. CRC Press, Canada, 1998.

[2] F. Karmali, M. Shelhamer. The dynamics of parabolic flight: flight characteristics and passenger percepts. Acta Astr., 63(5–6):594–602, 2008.

[3] J.L. Meriam, L.G. Kraige. Engineering Mechanics, Dynamics, 4th ed. John Wiley & Sons, Inc., USA, 2017.