I˛vadas

Šis tekstas apie sąvokų „dydis“ ir (realusis) „skaičius“ naudojimą mokyklinėje mate- matikoje. Svarstomi klausimai: kokia yra šių sąvokų svarba mokyklinės matematikos turinyje ir kaip šios sąvokos apibrėžiamos? Klausimai kyla rūpinantis matematikos sąvokų apibrėžimų tikslumu mūsų vadovėliuose.

Apskritai sąvokų svarbą matematikoje lemia ne tik tai, kad jomis nusakomi abst- raktūs objektai. Dar svarbiau yra tai, kad matematikos objektai sąvokomis nusako- mi vienareikšmiškai, o sąvokų rinkinys sudaro loginiais ryšiais susijusią hierarchinę struktūrą. Šie mokyklinės matematikos aspektai reikšmingi tada, kai siekiama vaikus supažindinti su matematinio mąstymo specifika. Tokia yra šio svarstymo prielaida.

Visų klasių mūsų matematikos vadovėliuose žodžiai „dydis“ ir „skaičius“ minimi ypač dažnai. Tačiau jų reikšmės paaiškinimą vargu ar rasime, o tuo labiau apibrėži- mo. Dydis kartais laikomas ne matematine sąvoka. Tačiau matematiniame kontekste„dydis“ ir „skaičius“ yra traktuojami sinonimiškai. Tausodami vietą tokias situacijas iliustruojančių pavyzdžių čia nepateikiame.

Akademinėje matematikoje skaičiaus ir dydžio sąvokos apibrėžiamos aksiomų pa- galba bei konstruojamos naudojant ekvivalentumo klases. Mokyklinėje matematikoje tokios šių sąvokų apibrėžimo priemonės nėra tinkamos dėl jų kognityvinio sudėtingu- mo. Siekiant mokyklinę matematiką grįsti matematiniu samprotavimu, visos mate- matinės savokos turėtų būti aiškiai ir logiškai tvarkingai apibrėžiamos, bei suderintos su turiniu.

Straipsnyje primenamas sąvokų „dydis“ ir „skaičius“ vaidmuo matematikos evo- liucijos eigoje siekiant pagrįsti jų svarbą moyklinėje matematikoje. Po to aptariami jų apibrėžimo variantai.

1 Dydis ir skaičius matematikoje

Matematikos evoliucijos eigos, pradedant senovės graikų matematika ir baigiant šiuo- laikine matematika, pagrindiniu bruožu laikyčiau matematikos objektų sampratos kaitą. Euklido„Pradmenų“ aksiomos buvo grindžiamos jų intuityviu akivaizdumu, suderinamu su realiame pasaulyje matomomis geometrinių objektų (dydžių) savybė- mis. Šiuolaikinės matematikos aksiomos nutraukė šio tipo ryšį su realiuoju pasauliu ir matematinių objektų savybes grindžia tik tomis savybėmis, kurios išreiškiamos aksio- momis, nebandant jų susieti su realaus pasaulio reiškiniais. Matematika evoliucionavo nuo matematikos kaip mokslo apie kiekį į simbolinę matematiką, kai simboliai įgyja matematikos objektų vaidmenį (S. Stenlund [10]). Šioje istorijoje tiek dydis, tiek skaičius yra tos matematikos sąvokos, kurios geriausiai iliustruoja matematikos kai- tą. Čia ir toliau laikomės iš Aristotelio „Metafizikos“ kildinamos terminų sampratos, pagal kurią kiekis (angl. quantity) yra skaičius (angl. number ) arba dydis (angl. magnitude).

Skaičius buvo visą ko pradas Pitagoro pasaulėžiūroje. Tačiau istorija su nebend- ramačiais dydžiais pakeitė tokį skaičiaus statusą. Lyginant su aritmetika, Euklido„Pradmenyse“ dominavo geometrija. Šio veikalo nagrinėjimo objektai buvo dydžiai. Nagrinėti penkių rūšių dydžiai: tiesės atkarpos, plokštumos sritys, erdvinių figūrų pa- viršiai ir tūriai, bei kampai. Skirtingai nuo šiuolaikinės matematikos, senovės graikų matematikoje dydžiai neturėjo jokio ryšio su skaičiais. Senovės graikų požiūris į skai- čius ir dydžius pasikeitė tik gerokai vėliau.

Realiųjų skaičių atsiradimas Vakarų kultūroje siejamas su flamandų matematiku ir inžinieriumi Simonu Stevinu (1548–1620). Jis pirmasis tarp matematikų atvirai neigė kai kuriuos Euklido „Pradmenų“ principus ir apibrėžimus. Stevino nuomone, skaičius yra tai, kas išreiškia ko nors kiekį, pavyzdžiui, dydžio matavimo rezultatas. Tokiam radikaliam požiūrio pasikeitimui galėjo turėti įtakos iš arabų ir indų atėję matematiniai tekstai, bei praktinės matematikos svarbos iškilimas.

Praėjus šimtmečiui po Stevino darbų, Newtono laikais skaičius jau naudojamas išreikšti bet kokių dydžių santykiui. Apie 1800 vis dar buvo įprasta matematiką lai- kyti „niekuo daugiau kaip mokslu apie kiekį“ (Euler, 1771). Tuo matematika siejama su realiu pasauliu ir taip vadinamais matematikos taikymais. Funkcijos ir netgi skai- čiai buvo laikomi sąryšiais tarp dydžių; jų „egzistavimas“ grindžiamas akivaizdžiu egzistavimu tokių realaus pasaulio objektų, kaip fizikiniai dydžiai, laikas.

19 amžiaus pradžioje, B. Bolzano, A.-L. Cauchy, N.H. Abelio ir kitų matemati- kų darbų dėka, pradėjo ryškėti nauji matematikos pagrindų kontūrai. Jais tapo tuo, kas vadinama analizės „aritmetizacija“. Jos pagrindą sudarė loginis realiojo skaičiaus sampratos pagrindimas, kuris senovės graikų suformuotą aritmetikos ir geometrijos svarbos santykį pagaliau apvertė aukštyn kojomis. Pagrindinė „aritmetizacijos“ spren- džiama problema buvo klausimas kaip skaičių pagalba išreikšti intuityviai supranta- mą (geometrinio) dydžio tolydumą. Šios veiklos viena iš pasekmių yra Dedekindo– Cantoro aksioma:

Tarp realiųjų skaičių sistemos (aritmetinio kontinuumo) ir geometrinės tiesės (geometrinio kontinuumo) egzistuoja tvarką išsauganti abipus vie- nareikšmė atitiktis.

Tuo pačiu metu, kuriant loginius matematinės analizės pagrindus, „ontologinį įsi- pareigojimą“ skaičiaus sąvokai stengėsi išsaugoti G. Frege. Jis atmetė matematinės analizės redukavimą iki natūraliųjų skaičių ir bandė išsaugoti tradicinį požiūrį, kad realusis skaičius yra dydžių santykis [2]. Panašiu metu ir nepriklausomai kitokią dy- džio sampratą 1901 metais pasiūlė O. Hölder’is. Euklido padarytas prielaidas apie dydžius performulavo kaip „matavimo aksiomas“. Panašią dydžio sąvoką apibrėžian- čią aksiomų sistemą siūlo A.N. Kolmogorovas matematikos enciklopedijoje. Jei dydžių sistemoje $\textcolor{red}{}D$ pasirinktume vienetinį dydį$\textcolor{red}{}\ell$, tai visi kiti sistemos dydžiai $\textcolor{red}{}a$ išreiškiami lygybe$\textcolor{red}{}a=\alpha \ell$, čia $\textcolor{red}{}\alpha$ teigiamas realusis skaičius.

2 Dydis ir skaičius mokykline˙je matematikoje

Mokyklinė matematika dar labiau komplikuoja dydžio ir skaičiaus sąvokų traktavimą. Aksiominės dydžio ir skaičiaus sampratos naudojamos simbolinėje matematikoje yra nepriimtinos mokyklinėje matematikoje dėl savo kognityvinio sudėtingumo. Pradi- niame ugdyme stengiamasi remtis mokinio realiame pasaulyje įgyta patirtimi. Todėl dydis ir skaičius mokiniui aiškinami intuityviai ir vizualiai. Klausimas – kaip turėtų keistis sąvokų samprata vėlesnėse klasėse, kad baigiant mokyklą kiekvienas mokinys turėtų bent apytikrį simbolinės matematikos esminių bruožų supratimą?

Šiuolaikinė matematikos sąvokų sistemos kūrimo problema buvo sprendžiama nuo 18 amžiaus pabaigos iki 20 amžiaus pradžios ir motyvuojama universitetinėmis studi- jomis. Analogiška hierarchinės sąvokų struktūros mokyklinėje matematikoje konstra- vimo problema dar tik pradedama spręsti. Išsamią mokyklinės matematikos turinio versiją pastaruoju metu pasiūlė amerikiečių matematikas Hung-Hsi Wu ([11] – vie- na iš šešių šiai temai skirtų jo knygų). Ji apima pagrindinius matematikos teiginius tradiciškai priskiriamus mokyklinei matematikai ir skirta vadovėlių autoriams, mate- matikos mokytojams ir jų rengėjams. $H.-H$ Wu mokyklinės matematikos turinys yra toliau plėtojamas.

Skirtingai nuo akademinės matematikos, mokyklinė matematika yra priklausoma nuo požiūrių į mokymą ir mokymąsi. Kas ir kaip mokoma klasėje priklauso ir nuo psichologijos, didaktikos bei bendrosios edukologijos mokslų teorijų. Tai sudaro dar didesnį alternatyvių pasirinkimų spektrą. Priklausomybę nuo didaktinių pasirinkimų iliustruosime dydžio ir skaičiaus mokymu.

Lietuvoje, kaip ir daugelio kitų šalių mokyklose, matematikos mokymas prasideda nuo supažindinimo su nuosekliu skaičiavimu ir aritmetinių veiksmų su natūraliaisiais skaičiais atlikimu. Keliamas tikslas išugdyti kasdieniniame gyvenime naudingus įgū- džius. Mokymas grindžiamas mokinio turima patirtimi, skatinant jį ir sudarant sąly- gas pačiam atrasti matematikos faktus ir sąvokas. Toks mokymo pasirinkimas aiškina- mas progresyviosios pedagogikos ideologija pasiremiant konstruktyvizmo principais.

Kitokį pradinį matematikos mokymą siūlo V.V. Davydovo programa [1]. Pagal ją, nuo pirmosios dienos klasėje lyginami ir matuojami tolydūs dydžiai, tokie kaip ilgis, plotas, masė ir panašiai. Prie skaičiavimo ir veiksmų su skaičiais pereinama pirmųjų metų antroje pusėje. Realieji skaičiai ir veiksmai su jais Davydovo programoje grindžiami matavimais, o ne nuosekliu skaičiavimu. Panaši idėja, realaus skaičiaus kaip matavimo rezultato apibrėžimas, buvo naudojama vakarų Vokietijos mokyklose laikotarpiu 1960–1970 (H.-H. Steiner [9]).

Matematine prasme turime dvi priešingas skaičiaus sąvokos aiškinimo strategijas. Pirmoji jų prasideda diskrečių objektų skaičiavimu, pereinant prie veiksmų su trupme- nomis, paliekant paskutinį perėjimą prie realiųjų skaičių nutylėtu. Antroji mokymo strategija prasideda atvirkščiai nuo tolydžiųjų dydžių, matuojamų realiaisiais skai- čiais ir pereinant prie diskretaus atvejo vėliau. Abu mokymo būdai panašūs dviem aspektais: grindžiami aktyvia mokinių veikla ir realaus pasaulio kontekstu. Tačiau esmingai skiriasi požiūriu į sąvokų sampratą. Skirtumą paaiškina Vygotskio pasiū- lytos spontaniškos sąvokos ir mokslinės sąvokos sampratos. Pirmoji formuojasi kai mokinys abstrahuoja (apibendrina) kasdieninės patirties savybes arba konkrečius at- vejus; antroji vystosi dirbant su pačiomis savybėmis formaliame lygmenyje, panašiai kaip mokymasis žaisti šachmatais nagrinėjant žaidimo taisykles [8, 1].

Dar vienas skirtingų strategijų aiškinant skaičiaus ir dydžių sampratas šaltinis yra G. Frege darbai. Jie pagrįsti požiūriu, kad skaičiaus samprata turėtų remtis „onto- loginiu įsipareigojimu“, priešingu Dedekindo ir Cantoro loginiam realiojo skaičiaus sąvokos pagrindimui. Realusis skaičius apibrėžiamas dydžių santykiu. Šios idėjos yra plėtojamos vokiečių didaktikoje (H. Griesel [3]).

Lietuvoje dydžio sąvokos supratimo tikslumui mokykloje daug dėmesio savo dar- buose skyrė Liubomiras Kulviecas. Savo darbe [4] jis rašė: „Su fizikinių dydžių sąvokų apibrėžimo problema nuolat susiduria kiekvienas fizikos dėstytojas $\stackrel{\text{\_}}{\text{a}}$ $\textcolor{red}{}⋴$ vidurinės mokyklos mokytojas, aukštosios mokyklos dėstytojas ar fizikos vadovėlio autorius. <...> Ir pasidaro taip, kad negalima rasti nė vieno fizikinių dydžių apibrėžimo būdo, kuris būtų visų pripažintas: vienos ir tos pačios sąvokos yra apibrėžiamos skirtingai, kar- tais net klaidingai“. Vėliau, nagrinėdamas geometrinės atkarpos . pavyzdį, Kulviecas jos ilgį $\ell \left(\alpha \right)$ apibrėžia naudodamas ekvivalentumo klases sudarytas iš kongruenčių atkarpų [5]. Jis parodo, kad taip apibrėžtas ilgis tenkina A.N. Kolmogorovo suformu- luotas dydžio aksiomas. Taigi, ilgis nėra skaičius. Tačiau, pasirinkus tokioje sistemoje kurį nors ilgį $\textcolor{red}{}\ell \left(e\right)$, bet kurios atkarpos $\textcolor{red}{}\alpha$ ilgį $\textcolor{red}{}\ell \left(\alpha \right)$ galima išreikšti vieninteliu būdu:$\textcolor{red}{}\ell \left(\alpha \right)=\alpha ·\ell \left(e\right)$, čia $\textcolor{red}{}\alpha$ teigiamas realusis skaičius. Jei $\textcolor{red}{}\ell \left(e\right)$ yra ilgio matavimo viene- tas, tai realųjį skaičių $\textcolor{red}{}\alpha$ Kulviecas vadina atkarpos $\textcolor{red}{}\alpha$ ilgio skaitine reikšme. Su ilgio skaitine reikšme praktiškai susiduria mokiniai mokomi pirmoje klasėje pagal V.V. Davydovo matematikos programą.

3 Mokyklinis skaičiaus sąvokos apibre˙žimas

Mokyklinei matematikai pritaikyti natūraliojo skaičiaus ir aritmetinių veiksmų su jais apibrėžimai svarstomi Liping Ma ir Cathy Kessel straipsnyje [6].

1 apibrėžimas. Vienetas (unit) yra vienas daiktas arba vienas (one).

Vienetas yra aritmetikos sąvoka apibendrinanti įgimtą „vieno daikto“ arba skai- čiaus „vienas“ suvokimą. Šios sąvokos mokinio supratimas gilinamas palaipsniui pra- dinio ugdymo eigoje, o pats terminas gali būti naudojamas pasiekus pagrindinį ugdy- mą.

2 apibrėžimas. Skaičius yra vienetas arba vienetų rinkinys.

Ši skaičiaus sąvoka apibendrina nuoseklų skaičiavimą. Kai vienetu yra skaičius vienas gauname natūraliuosius skaičius 1, 2, 3, Šis apibrėžimas generuoja ir teigiamus racionaliuosius skaičius.

Kitame apibrėžime naudojame tokią terminologiją. Intervalą$[0,T]$ pastumiant į dešinę nuo nulio taip, kad $\textcolor{red}{}0$ atsidurtų taške $\textcolor{red}{}T$. Perstumto intervalo dešinysis galas atsidurs atstumu $2T$ nuo $\textcolor{red}{}0$ ir jį pavadinsime taško $\textcolor{red}{}T$ antruoju kartotiniu tašku. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi $\textcolor{red}{}m$, taško $\textcolor{red}{}T$ $\textcolor{red}{}m$-tasis kartotinis taškas yra dešinysis galas intervalo gauto intervalą$[0,T]$ perstumiant taip, kad nulis sutaptų su tašku $(m-1)T$. Gauname seką taškų su vienodais tarpais tarp gretimų taškų.

Tegul $0T:=0$ ir$\textcolor{red}{}1T:=T$, tai taško$\textcolor{red}{}m$-tieji kartotiniai yra natūralieji skaičiai. Apibendrinsime natūraliuosius skaičius.

3 apibrėžimas. Tarkime, kad $\textcolor{red}{}n$ yra nelygus nuliui natūralusis skaičius ir skaičių tiesės vienetinė atkarpa $[0,1]$ yra padalinta į $\textcolor{red}{}n$ vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra vienetinė trupmena, žymima simboliu $\frac{1}{n}$. Su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi $\textcolor{red}{}m$, taško $\frac{1}{n}$ $\textcolor{red}{}m$-tasis kartotinis yra trupmena

Kitaip tariant, trupmenas sudaro vieneto generuojami skaičiai, kai vienetu laikoma vienetinė trupmena. Visą gautą „skaičių sodą“ galima patalpinti į vieną mokiniui suprantamą struktūrą (verta prisiminti Dedekindo–Cantoro aksiomą):

A apibrėžimas. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.

Ši (realiojo) skaičiaus apibrėžtis suteikia galimybę tiksliai apibrėžti ką reiškia, kad du skaičiai yra lygūs ir ką reiškia, kad vienas skaičius yra mažesnis už kitą. Būtent, du skaičiai yra lygūs, jei sutampa taškai skaičių tiesėje. Skaičius $\textcolor{red}{}\alpha$ yra mažesnis už skaičių$\textcolor{red}{}b$, simboliais žymima $\textcolor{red}{}a<b$, jei skaičių tiesėje $\textcolor{red}{}\alpha$ yra į kairę nuo $\textcolor{red}{}b$. Bet svarbiausias skaičiaus apibrėžties privalumas yra galimybė skaičių tiesės pagalba pagrįsti trupmeninių skaičių aritmetiką.

4 Mokyklinis dydžio sąvokos apibu¯dinimas

Mes neturime tokio dydžio sąvokos apibrėžimo, kuris būtų tinkamas ir pakankamas mokyklinėje matematikoje. Tenka tenkintis apibūdinimais ir atskirų dydžio pavyzdžių apibrėžimais.

Apibu¯dinimas.Dydis yra tokia objekto ar reiškinio savybė, kurią galima kie- kybiškai lyginti su ta pačia kito objekto ar reiškinio savybe, jei tokią savybę turi. Kiekviena konkreti dydžio rūšis yra susijusi su tam tikru lyginimo būdu. Tuo pačiu būdu palyginami dydžiai vadinami tos pačios rūšies dydžiai.

Pavyzdžiui, ilgis, plotas ir tūris yra geometrinių objektų dydžiai. Geometrinis objektas atkarpa turi ilgio savybę, kurią galima lyginti su kitų atkarpų ilgiais. Ilgiai palyginami vieną atkarpą uždedant ant kitos atkarpos. Atkarpų ilgiai yra tos pačios rūšies dydžiai. Masė yra fizinių kūnų dydis. Dviejų kūnų masės palyginamos pu- siausvyrinėmis svarstyklėmis. Nagrinėjamojo dydžio ir kito tos pačios rūšies dydžio (matavimo vieneto) santykio nustatymo procesą vadiname matavimu

H.-H. Wu adaptavo Lebesgue mato sampratą formuluodamas geometrinio matavi- mo fundamentaliuosius prinipus [11, 5 skyrius]. Šiuos principus tenkina mokyklinėje matematikoje tradiciškai nagrinėjamos geometrinės figūros. Tokių figūrų ilgiams, plo- tams ir tūriams apskaičiuoti jis siūlo skaičiavimo algoritmus.

5 Išvados

Mokyklinėje matematikoje realiųjų, racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių sąvokos turi matematine prasme tinkamus ir mokinių supratimui prieinamus apibrėžimus. Remiantis jais galima įrodyti pagrindinius mokyklinės matematikos turiniui tradiciškai priskiramus teiginius.

Šiuo metu neturime mokyklinėje matematikoje tinkamo dydžio sąvokos apibrėži- mo bendru atveju. Tačiau tokie apibrėžimai egzistuoja geometrinių dydžių ir fizikinių dydžiųatskirais atvejais. Dydžio sąvokos supratimui galėtų padėti gilaus ir profesio- nalaus matematikos idėjų istoriniame kontekste supratimo sklaida tarp mokytojų, tarp jų rengėjų, vadovėlių autorių ir visų kitų, kas gali įtakoti matematikos mokymą.J.J. Madden straipsnis [7] gera pažinties su šia sritimi pradžia.

Literatu¯ra

[1] V.V. Davydov. The psychological characteristics of the formation of elementary mathe- matical operations in children. In T.P. Carpenter et al.(Ed.), Addition and Subtraction, pp. 224–238. Routledge, 1982.

[2] M. Dummett. Frege’s theory of real numbers. In W. Demopoulos(Ed.), Frege’s Philo- sophy of Mathematics, pp. 386–403. Harvard University Press, 1995.

[3] H. Griesel. Reform of the construction of the number system with reference to Gottlob Frege. ZDM Mathematics Education, 39:31–38, 2007.

[4] L. Kulviecas. Apie fizikiniu¸ dydžiu¸ sa¸voku¸ apibrėžima¸. Vilniaus Valstybinio Pedagoginio Instituto Mokslo Darbai, .:95–119, 1960.

[5] L. Kulviecas. Apie fizikiniu¸ dydžiu¸ apibrėžimus, paremtus abstrakcijos principu. I. Preprint, Vilniaus pedagoginis universitetas, 1994.

[6] L. Ma, C. Kessel. The theory of school arithmetic: Whole numbers. In X.H. Sun M.G.B. Bussi(Ed.), Building the Foundation: Whole Numbers in the Primary Grades, The 23rd ICMI Study, pp. 439–463. Springer Open, 2018.

[7] J.J. Madden. Knowing ratio and proportion for teaching. In Y.Li et al.(Ed.), Mat- hematics Matters in Education, Advances in STEAM Education, pp. 93–115. Springer International Publishing AG, 2018.

[8] J. Schmittau. Vygotskian theory and mathematics education: resolving conceptual- procedural dichotomy. Eur. J. Psychol. Educ., XIX(1):19–43, 2004.

[9] H.-G. Steiner. Magnitudes and rational numbers: a didactical analysis. Educ. Stud. Math., .(2/3):371–392, 1969.

[10] S. Stenlund. The Origin of Symbolic Mathematics and the End of the Science of Quan- tity. Uppsala Universitet, 2014.

[11] H.-H. Wu. Teaching School Mathematics: Pre-Algebra. American Mathematical Society, 2016.

Notes