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I. INTRODUCCIÓN

Un tema clásico en matemáticas desde comienzos del siglo XX y hasta la actualidad ha sido la relación entre topología y orden. Varias de estas relaciones aparecieron en los trabajos de P. Alexandroff en 1935 [4] y A. W. Tucker en 1936 [14]. Ellos describieron una correspondencia uno a uno entre las topologías principales y los órdenes parciales. Así mismo, F. Lorrain en 1969 [12] relacionó los espacios topológicos saturados, con los conjuntos preordenados. Esto lo hizo usando isomorfismos de categorías e isomorfismos de retículos completos, obteniendo resultados sobre la conexidad, convergencia y continuidad en dichos espacios. También, S. Andima y W. J. Thron en 1978 [6], demostraron que una serie de propiedades topológicas (axiomas bajos de separación) son inducidas por el orden y mostraron algunas características nuevas sugeridas por las propiedades de orden.

Dado un espacio topológico , sobre X se define la relación como si y solo si , la cual resulta ser un preorden. Si el espacio es es un orden, el cual se conoce como orden de especialización.

Este orden de especialización es una herramienta muy útil en topología, pues gracias a él se han introducido nuevas clases de espacios topológicos y se han relacionado nociones topológicas con nociones de orden y viceversa (ver [1], [4], [6], [12], [15]). Por este motivo resultó natural estudiar varios de estos resultados, en contextos más generales, es decir, estudiar topologías asociadas a relaciones y viceversa. Dichas relaciones podrían ser de preorden o algún otro tipo de relación binaria (ver [2], [3], [5], [11]).

Note que, en lo dicho anteriormente, se está tomando una relación más general sobre el conjunto y luego se asocian algunas topologías correspondientes, teniendo en cuenta lo conocido para relaciones de orden. Pero otro camino sería considerar una noción más general de espacio topológico y determinar si es posible asociar un orden o algún otro tipo de relación, definida análogamente al orden de especialización.

El estudio de estructuras más generales que la topológica ha dado origen a numerosas investigaciones. Maki en 1996 [13] definió las estructuras minimales como colecciones que contienen al conjunto vacío y a todo el espacio. Donado en 1999 [10] hizo un estudio muy completo e interesante sobre nociones topológicas en colecciones. Császár en 2002 [8] consideró colecciones cerradas para uniones, las cuales llamó topologías generalizadas. También Császár en 2011 [9] introdujo las estructuras débiles, las cuales son colecciones de conjuntos conteniendo al conjunto vacío sin otras restricciones. Recientemente, Ávila y Molina en 2012 [7] introdujeron las estructuras débiles generalizadas, las cuales son colecciones cualesquiera de subconjuntos. Todos estos conceptos han permitido generalizar o extender muchos resultados topológicos a estos nuevos contextos.

II. ESTRUCTURAS DÉBILES GENERALIZADAS

En esta sección presentamos algunos conceptos topológicos, pero en un ambiente más general como lo son las estructuras débiles generalizadas [7].

Definición 2.1. Una estructura débil generalizada (o estructura) sobre el conjunto no vacío , es una clase no vacía de subconjuntos de .

Al par donde es un conjunto y una estructura sobre lo denominaremos espacio. Los elementos de se llamarán abiertos y el complemento de un abierto se denomina cerrado.

Definición 2.2. Sean un espacio y . Entonces:

1. es punto interior de A si existe un abierto U tal que . El interior de A se denota .

2. es un punto clausura de A si para cada abierto U con se tiene que . La clausura de A se denota .

3. es un punto frontera A de si para cada abierto U con se tiene que y . La frontera de A se denota .

4. es un punto exterior de A si existe un abierto U tal que . El exterior de A se denota .

Definición 2.3. Sea un espacio. El conjunto se llama denso si .

El siguiente resultado muestra algunas propiedades que cumple la clausura en las estructuras débiles generalizadas [7].

Proposición 2.4. Sean un espacio y . Se tienen las siguientes propiedades:

1. .

2. Si , entonces .

3. Si , entonces .

4. .

En [7] se prueba que la clusura de un conjunto A es igual a la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A. De esta forma si g es cerrada para uniones, entonces la clausura de un conjunto es un cerrado. Además, se obtiene el siguiente resultado bastante útil en algunos casos.

Proposición 2.5. Sean un espacio y . Si g es cerrada para uniones, entonces A es cerrado, si y sólo si, .

Demostración. Si A es un conjunto cerrado, entonces es el menor conjunto cerrado que se contiene a sí mismo, luego la intersección de los cerrados que contienen a A es A. Es decir, . Por otro lado, si g es cerrada para uniones, entonces es un conjunto cerrado y como se tiene que A es cerrado. ◻

Es claro que las estructuras cerradas para uniones son las mismas topologías generalizadas [8].

Proposición 2.6. Sean un espacio y Si , entonces .

Demostración. Si , entonces . Por 3 y 4 de la Proposición 2.4 se tiene que . Es decir, . ◻

En adelante, será denotada como .

III. RESULTADOS

A. El Orden de Especialización

En esta sección mostramos que a los espacios puede asociarse un orden naturalmente y se prueban varios resultados análogos a los obtenidos en el caso topológico.

Proposición 3.1.1. Sean g una estructura sobre X y y la relación sobre X definida por , si y sólo si, . Entonces es una relación de preorden.

Demostración. Sean . Como , entonces . Ahora si e , entonces e y por la Proposición 2.6, se tiene que . Así, y por tanto . ◻

Definición 3.1.2. Decimos que el espacio es , si para cada par de puntos distintos , existe un abierto U que contiene a uno de los puntos y no al otro.

De igual manera que en el caso topológico, si el espacio es la relación es de orden, como se muestra a continuación.

Proposición 3.1.3. Sea un espacio. La relación es de orden, si y sólo si, X es .

Demostración. Sean distintos. Pueden suceder los siguientes casos:

1. Si , entonces . Luego existe un abierto que contiene a y no contiene a .

2. Si , entonces como en el caso anterior se llega a que existe un abierto que contiene a y no contiene a .

3. Si y , entonces llegamos a uno de los casos anteriores.

Por tanto X es .

Para el recíproco basta probar que la relación es antisimétrica. Sean tales que y . Si entonces todo abierto que contiene a x contiene a y y todo abierto que contiene a y contiene a x. Es decir, X no es , que es contradictorio. Luego y así es antisimétrica. ◻

Ejemplo 3.1.4. Sean y g=. Es claro que X es . Nótese que , , , , , , , , , . Luego se tiene el siguiente conjunto ordenado en Fig.1:

Definición 3.1.5. Un espacio es , si para cada par de puntos distintos , existen abiertos U,V tales que , y , .

Proposición 3.1.6. Sea el espacio . La relación es de igualdad, si y sólo si, X es .

Demostración. Sean distintos. Entonces y . Luego e . Esto quiere decir, que existen abiertos U,V tales que e y e . Es decir, X es .

Sean tales que . Si entonces por hipótesis existe un abierto U tal que y . Es decir y así , lo cual es contradictorio. Por tanto .

Ejemplo 3.1.7. Sea y X, entonces X es . Para determinar el conjunto ordenado asociado a esta estructura note que , , y en general para todo . Por consiguiente tenemos el siguiente conjunto ordenado Fig.2.

La siguiente proposición relaciona algunos elementos especiales de los conjuntos ordenados con nociones topológicas pero para estructuras débiles generalizadas. Como puede observarse son análogas a las obtenidas para el caso topológico [14].

Proposición 3.1.8. Sea X un espacio y su orden de especialización. Las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. Sea M la intersección de todos los cerrados no vacíos. Entonces es el elemento mínimo de , si y solo si, .

2. El elemento es minimal en , si y solo si, .

3. El elemento es el máximo de , si y solo si, es denso.

4. Si para el conjunto es un abierto, entonces t es maximal en . El recíproco se tiene si X es finito y g es cerrada para intersecciones.

5. Si X es finito, entonces el conjunto A de todos los elementos maximales de , es denso. Además si g es cerrada para intersecciones, entonces A es el menor de los conjuntos densos.

Demostración. 1. Supongamos que . Entonces existe un cerrado no vacío F tal que . Así que es un abierto y para se tiene que . Es decir, y entonces b no es el elemento mínimo de .

Recíprocamente, si b no es el mínimo de entonces existe tal que . Así y entonces existe un abierto V con y . Luego que es un cerrado no vacío y esto implica que .

2. Basta observar que , si y solo si, existe tal que , si y solo si, existe con , si y solo si, m no es minimal en .

3. Basta observar que es máximo, si y solo si, para todo , si y sólo si, para todo , si y solo si, es denso.

4. Sea tal que . Si , tenemos que ya que es abierto. Luego y así t es maximal en .

Para el recíproco, sean un elemento maximal y . Entonces para cada , . Es decir, existen abiertos , tales que y . Así es un conjunto abierto por hipótesis.

5. Sea A el conjunto de los elementos maximales de y sea . Si y es maximal, entonces ⊆ . Si y no es maximal, entonces existe un tal que , con x maximal. Luego . Así todo elemento X de es un elemento de . Es decir, A es denso.

Finalmente, si y , entonces existe con . Por el ítem 4, el conjunto es abierto y esto implica que . Es decir, B no es denso. ◻

Note que el conjunto M del ítem 1 de la Proposición 3.8 es vacío o unitario. En efecto, supongamos que M es no vacío y que con . Como X es existe un abierto que contiene a un punto y no al otro. Supongamos que existe tal que y . Entonces es un cerrado y . Así lo cual es contradictorio.

Ya que el máximo de un conjunto ordenado, cuando existe, es único entonces el ítem 3 de la Proposición 3.1.8 implica que en los espacios existe a lo más un punto denso.

Si el conjunto X es finito y la colección g es cerrada para intersecciones y uniones (es decir g es una topología), entonces el ítem 2 implica que el conjunto de elementos minimales de es cerrado. Y el ítem 4 implica que el conjunto de elementos maximales de es abierto.

En la segunda parte de los ítem 4 y 5 de la Proposición 3.1.8, la condición de que la colección g sea cerrada para intersecciones, es una condición necesaria pero no suficiente como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.1.9. Sea y . Es claro que es una estructura . Veamos cual es el conjunto ordenado asociado a este espacio. Nótese que , , , . Se tiene entonces el siguiente conjunto ordenado Fig.3:

Como se puede ver, el elemento es maximal en pero el conjunto no es abierto. Además el conjunto es denso pero no contiene al conjunto de elementos maximales . Note finalmente que el elemento c es minimal en , pero no es cerrado.

De acuerdo a lo explicado anteriormente podemos concluir que el orden de especialización puede verse como un puente entre las estructuras sobre X y los órdenes sobre X. Esto permite plantear el siguiente problema análogo al caso topológico.

Dada una relación de orden sobre X, ¿cuáles son las estructuras sobre X cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial ?. Esto se ilustra en la siguiente Figura (Fig.4).

En las secciones siguientes se mostrarán algunas situaciones, en general distintas, que solucionan el problema anterior.

B. Estructura g_≤

En esta sección mostramos una estructura sobre el conjunto X, cuyo orden de especialización coincide con un orden inicial sobre X. Además, caracterizamos algunas propiedades de esta estructura en términos del orden.

Recordemos que si es un conjunto ordenado, entonces para definimos los conjuntos y .

Definición 3.2.1. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Llamaremos a la estructura dada por la colección .

Es claro que los abiertos de son todos los elementos de la forma para cada . Sin embargo no siempre se tiene que la unión de abiertos sea un abierto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2.2. Sea , con el orden dado por el siguiente diagrama de Hasse en Fig.5.

Entonces está dada por = y claramente esta colección no es cerrada para uniones.

En la siguiente proposición mostramos que la colección es una solución al problema planteado al final de la sección anterior.

Proposición 3.2.3. Sea un conjunto parcialmente ordenado y consideremos la estructura sobre X. Entonces:

1. es un espacio .

2. El orden de especialización para es .

Demostración. 1. Sean distintos. Pueden suceder los siguientes casos:

a. Si se tiene que que es abierto y .

b. Si entonces hallamos el abierto que contiene a y no a .

c. Si e , entonces se llega a uno de los casos anteriores.

En conclusión existe un abierto que contiene a un punto y no al otro. Es decir, es .

2. Probemos que , si y sólo si, .

⇒ Sean tales que . Entonces , lo que quiere decir, que todo abierto que contiene a x contiene también a y. En particular, y entonces . Es decir, .

⇐ Sean tales que y sea un abierto que contiene a x. Entonces y como , tenemos que . Es decir, todo abierto que contiene a contiene a . Luego y así . ◻

Note que si tomamos la topología entonces es una topología . Esta topología es llamada Topología de Alexandroff y puede probarse que es la mayor topología sobre X, cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial (ver [1]).

En la siguiente proposición se caracterizan el operador interior y clausura en el espacio , en términos del orden de especialización. Y también se relaciona el orden con la frontera y el exterior. Resultados análogos a los obtenidos en el caso topológico [14].

Proposición 3.2.4. Sean el orden de especialización de y . Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. .

2. .

3. Si con entonces .

4. Si para cada , entonces .

Demostración. 1. Sean y tal que . Entonces existe un abierto G tal que . Ya que , se tiene que todo abierto que contiene a también contiene a . Así y por tanto .

Por otro lado, sea con la condición que para cada con se tiene que . Es claro que el conjunto es abierto y . Ahora si entonces y esto implica que . Por tanto y así .

2. Si , entonces . Si entonces y .

Por otro lado, sean y con . Si G es un abierto con , entonces y así . Es decir, .

3. Sean y un abierto con . Entonces, y así . Además, como se tiene que . Por lo tanto, .

4. Es claro que y que es un bierto. Además por hipótesis tenemos que si entonces . Es decir, y así .

C. Colecciones h_≤ y h'_≤

De la misma forma que la sección anterior, a partir de un orden fijo mostraremos dos estructuras, cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial.

Definición 3.3.1. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Llamaremos a la estructura dada por la colección .

De manera similar a la Proposición 3.2.3 el siguiente resultado muestra que el orden de especialización de coincide con ≤.

Proposición 3.3.2. Sea un conjunto parcialmente ordenado y consideremos la colección sobre X. Entonces:

1. El espacio es .

2. El orden de especialización para es ≤.

Demostración. 1. Sean distintos. Pueden suceder los siguientes casos:

a. Si se tiene que y . Es decir, existe un abierto que contiene a y no a .

b. Si , entonces razonando como el caso anterior encontramos un abierto que contiene a y no a .

c. Si y , entonces es un abierto que contiene a y no a .

En conclusión el espacio es .

2. Para , debemos probar que , si y sólo si, . Si entonces . Así es un abierto que contiene a y no a . Luego y por tanto . Por otro lado, supongamos que y sea , , un abierto tal que . Entonces y así , lo cual implica que . Así y entonces . Concluimos entonces que todo abierto que contiene a también contiene a . Es decir, y por tanto . ◻

Veamos ahora una estructura similar a la colección anterior.

Definición 3.3.3. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Llamaremos h'_≤ a la estructura dada por la colección .

Es claro que ⊆ , por consiguiente el espacio es y siguiendo la demostración de la Proposición 3.3.2 ítem 2 se prueba que su orden de especialización también coincide con ≤.

Si tomamos la topología entonces es una topología . Esta topología es llamada Topología Débil y puede probarse que es la menor topología sobre X, cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial (ver [1]).

Además si es un orden sobre X y es una topología sobre X cuyo orden de especialización coincide con ≤, entonces . Es decir, el conjunto de topologías sobre X cuyo orden de especialización coincide con ≤ tiene mínimo y máximo.

Podría pensarse que las estructuras y están relacionadas entre sí por inclusión. Aunque siempre se tiene , estas estructuras podrían no estar relacionadas con como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3.4. Sea , con el orden dado por el siguiente diagrama de Hasse,Fig.6.

Aplicando la definición de las colecciones y obtenemos las siguientes estructuras para :

Observe que pero , , , . Además cualquier estructura contenida en tiene orden de especialización distinto del orden inicial. Esto significa que la estructura es un elemento minimal en el conjunto de todas las estructuras sobre X cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial y que este conjunto no tiene mínimo, ya que .

Para el problema que nos ocupa hemos encontrado explícitamente cinco soluciones, dos de las cuales son las topologías y . Y las otras topologías que son solución de nuestro problema se encuentran entre estas dos [1]. La siguiente figura (Fig.7) ilustra esta situación.

Observe que en la figura anterior la topología aparece como la mayor estructura de aquellas que solucionan nuestro problema. Los siguientes resultados muestran que esto es lo que sucede realmente.

Proposición 3.3.5. Sea un conjunto ordenado. Si es una estructura sobre X, cuyo orden de especialización coincide con el orden entonces la topología generada por , es y su orden de especialización también coincide con .

Demostración. Ya que es una estructura y resulta que también es una estructura . En este caso una topología .

Debemos probar que para todo , si y solo si . Si entonces , lo cual significa que cada abierto que contiene a también contiene a . Así si A es un abierto con se tiene que . Es decir, y esto implica que . Luego .

Por otro lado, si entonces y esto implica que . Sea B un abierto que contiene a . Como con una intersección finita de elementos de para cada , entonces para algún . Si con para cada entonces para cada . Ahora ya que concluimos que para cada . Es decir, y así . Luego y así . ◻

Corolario 3.3.6. Sea un conjunto ordenado. La mayor estructura sobre X tal que su orden de especialización coincide con es la topología .

Demostración. Sea una estructura sobre X tal que . Por la Proposición 3.3.5 la topología generada por , , es una topología tal que . Ya que es la mayor topología con esta propiedad concluimos que . ◻

IV. CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en este trabajo pueden resumirse en las siguientes líneas.

1) Se demostró que a todo espacio puede asociarse un preorden de especialización, el cual es orden si y sólo si el espacio es (Proposiciones 3.1.1 y 3.1.3). Además se probó que dicha relación es la igualdad si y sólo si el espacio es (Proposición 3.1.6).

2) Si X es un espacio , se relacionaron diversos conceptos del conjunto ordenado con aquellos del espacio topológico (Proposición 3.1.8). Por ejemplo se caracterizó el elemento mínimo con cierta propiedad de los cerrados, un elemento minimal con la clausura y el elemento máximo con la densidad, entre otras propiedades.

3) Dada una relación de orden sobre X, determinamos cinco estructuras sobre X cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial (Proposiciones 3.2.3 y 3.3.2). Ellas son junto con las dos topologías y .

4) Para un orden dado sobre X, se caracterizaron el operador interior y clausura en el espacio , en términos del mismo orden. Además también se relacionaron la frontera y el exterior con el orden dado (Proposición 3.2.4).

5) Se probó que dada una relación de orden sobre el conjunto X, el conjunto de estructuras sobre X cuyo orden de especialización coincide con tiene como elemento máximo a la topología de Alexandroff (Corolario 3.3.6).

6) En el caso topológico es bien sabido que la topología débil es la topología más pequeña cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial. Para el caso de estructuras mostramos mediante un ejemplo (Ejemplo 3.3.4) que el conjunto de estructuras cuyo orden de especialización coincide con el orden inicial no necesariamente tiene elemento mínimo.

7) El comentario anterior sugiere realizar un estudio sobre qué propiedades debe tener una relación de orden sobre el conjunto X para que el conjunto de estructuras sobre X cuyo orden de especialización coincide con el orden , tenga elemento mínimo.

8) En el caso topológico el problema tratado en este trabajo conduce a la interesante topología de Scott y también a importantes clases de topologías, como las concordantes y las consistentes [1]. Sería interesante realizar un trabajo donde se estudien las estructuras asociadas a estas topologías, las relaciones entre ellas y determinar si satisfacen propiedades análogas a las obtenidas en el caso topológico.

REFERENCIAS

[1] L. Acosta, “Topologías consistentes,” Bol. Mat. Nueva Serie, vol. 5, no. 1, pp 15-26, 1998.

[2] L. Acosta y E. Lozano, “Una adjunción entre relaciones binarias y espacios topológicos,” Bol. Mat. Nueva Serie, vol. 3, no. 1, pp. 37-41, 1996.

[3] L. Acosta y M. Rubio, “Topología de Scott para relaciones de Preorden,” Bol. Mat. Nueva Serie, vol. 9, no. 1, pp. 1-10, 2002.

[4] P. Alexandroff, “Sur les espaces discrets,” C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 200, pp. 1649-1651, 1935.

[5] A. A. Allam, M. Y. Bakeir and E. A. Abo-Tabl, “Some methods for generating topologies by relations,” Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 31, no. 1, pp. 35-45, 2008.

[6] S. Andima and W. J. Thron, “Order-induced topological properties,” Pac. J. Math., vol. 75, no. 2, pp. 297-318, 1978.

[7] J. Ávila and F. Molina, “Generalized weak structures,” Int. Math. Forum, vol. 7, no. 52, pp. 2589-2595, 2012.

[8] Á. Császár, “Generalized topology, generalized continuity,” Acta Math. Hungar., vol. 96, no. 4, pp. 351-357, 2002.

[9] Á. Császár, “Weak structures,” Acta Math. Hungar., vol. 131, no. 1-2, pp. 193-195, 2011.

[10] A. Donado, Topología y Colecciones, Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, 1999.

[11] E. Induráin and V. Knoblauch, “On topological spaces whose topology is induced by a binary relation,” Quaest. Math., vol. 36, no. 1, pp. 47-65, 2013.

[12] F. Lorrain, “Notes on topological spaces with minimum neighborhoods,” Amer. Math. Monthly, vol. 76, pp. 616-627, 1969.

[13] H. Maki, On generalizing semi-open and preopen sets, Yatsushiro College of Technology: Report for Meeting on Topological Spaces Theory and Its Applications, pp. 13-18, 1996.

[14] G. N. Rubiano, “Sobre el número de topologías en un conjunto finito,” Bol. Mat. Nueva Serie, vol. 13, no. 2, pp. 136-158, 2006.

[15] A. W. Tucker, “Cell spaces,” Ann.Math., vol. 37, pp. 92-100, 1936.

Notas de autor

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