Un Conjunto Difuso Intuicionista (CDI) $A$ asociado a un universo $X=\left\{x_1,x_2\dots x_k\right\}$ de números reales, se define por $A=\{⟨x,{\mu }_A\left(x\right), v_A\left(x\right)\text{|}x\in X⟩\}$, donde ${\mu }_A\left(x\right):X\to \left[\mathrm{0,1}\right]$ y $v_A\left(x\right):X\to \left[\mathrm{0,1}\right]$ representan los grados de pertenencia y no pertenencia de $A$ a $X$ respectivamente. Los valores ${\mu }_A\left(x\right)$ y $v_A\left(x\right)$ satisfacen ${\mu }_A\left(x\right)+v_A\left(x\right)\le 1$. Además se define el índice de ignorancia ${\pi }_A\left(x\right)$ por: ${\pi }_A\left(x\right)=1-\left({\mu }_A\left(x\right)+v_v\left(x\right)\right)$.

Para generalizar el concepto de CDI, se define el de $CDIVIs$ ($\overline{A}$) asociado a un universo de discurso $X=\left\{x_1,x_2\dots x_k\right\}$ de números reales por $\overline{A}=\{⟨x,{\overline{\mu }}_{\overline{A}}\left(x\right), {\overline{v}}_{\overline{A}}\left(x\right)\text{|}x\in X⟩\}$, donde ${\overline{\mu }}_{\overline{A}}\left(x\right):X\to L\left(\left[\mathrm{0,1}\right]\right)$, ${\overline{v}}_{\overline{A}}\left(x\right):X\to L\left(\left[\mathrm{0,1}\right]\right)$ representan los grados de pertenencia y no pertenencia (expresados en intervalos) respectivamente de $\overline{A}$ a $X$. $L\left(\left[\mathrm{0,1}\right]\right)$ es el conjunto de todos los subintervalos del intervalo$\left[\mathrm{0,1}\right]$.$\overline{A}$ puede expresarse como: $\overline{A}=\{⟨x,\left[{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right),{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right], \left[{\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right),{\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right]\text{|}x\in X⟩\}$, sien++do ${\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right), {\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right)$ los límites inferiores de los intervalos y ${\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right), {\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)$ los superiores, donde $0\le {\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right)\le {\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\le \mathrm{1,} 0\le {\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right)\le {\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\le 1 y {\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)+{\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\le 1 \forall x\in X.$ Se define el índice de ignorancia ${\overline{\pi }}_{\overline{A}}\left(x\right)$ por: ${\overline{\pi }}_{\overline{A}}\left(x\right)=\left[1-\left({\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)+{\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right), 1-\left({\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right)+{\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right)\right) \right]$.

Definición 1: Sean $\overline{A}=\{⟨x,\left[{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right),{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right], \left[{\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right),{\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right]\text{|}x\in X⟩\}$ y $\overline{B}=\{⟨x,\left[{\overline{\mu }}_{\overline{B}}^L\left(x\right),{\overline{\mu }}_{\overline{B}}^R\left(x\right)\right], \left[{\overline{v}}_{\overline{B}}^L\left(x\right),{\overline{v}}_{\overline{B}}^R\left(x\right)\right]\text{|}x\in X⟩\}$,$\lambda >0$,dos CDIVIs,entonces (Wan and Dong, 2015):

(1)$\overline{A}\subseteq \overline{B}\leftrightarrow {\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right)\le {\overline{\mu }}_{\overline{B}}^L\left(x\right)$, ${\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\le {\overline{\mu }}_{\overline{B}}^R\left(x\right)$, ${\overline{v}}_{\overline{B}}^L\left(x\right)\le {\overline{v}}_{\overline{A}}^L\left(x\right)$ y ${\overline{v}}_{\overline{B}}^R\left(x\right)\le {\overline{v}}_{\overline{A}}^R\left(x\right)$.

(2) $\overline{A}=\overline{B}$ si y solo si $\overline{A}\subseteq \overline{B}$ y $\overline{B}\subseteq \overline{A}$

(3) $\stackrel{-}{A}+\stackrel{-}{B}=\left\{⟨x,\left[\begin{array}{c}{\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{A}}^L\left(x\right)+{\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{B}}^L\left(x\right)-{\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{A}}^L\left(x\right){\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{B}}^L\left(x\right)\\ {\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{A}}^R\left(x\right)+{\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{B}}^R\left(x\right)-{\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{A}}^R\left(x\right){\stackrel{-}{\mu }}_{\stackrel{-}{B}}^R\left(x\right)\end{array}\right], \left[{\stackrel{-}{v}}_{\stackrel{-}{A}}^L\left(x\right){\stackrel{-}{v}}_{\stackrel{-}{B}}^L\left(x\right),{\stackrel{-}{v}}_{\stackrel{-}{A}}^R\left(x\right){\stackrel{-}{v}}_{\stackrel{-}{B}}^R\left(x\right)\right]|x\in X⟩\right\}$

(4)$\lambda \overline{A}=\{⟨x,\left[1-{\left(1-{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^L\left(x\right)\right)}^{\lambda }\mathrm{,1}-{\left(1-{\overline{\mu }}_{\overline{A}}^R\left(x\right)\right)}^{\lambda }\right], \left[{\overline{v}}_{\overline{A}}^L{\left(x\right)}^{\lambda },{\overline{v}}_{\overline{A}}^R{\left(x\right)}^{\lambda }\right]\text{|}x\in X⟩\}$

Dada la subjetividad del proceso de dar información sobre los atributos, normalmente no se otorgan valores precisos, sino que se establece esta información usando el formato incompleto de preferencias entre atributos ($I$)que consta de las restricciones siguientes (Chen and Li, 2011)(Wan and Dong, 2015)(D.F. Li, 2011)(Wan and Li, 2013):

$\text{Orden débil}{w}_i\ge w_j$ $\left(1\right)$

$\text{Ranking con múltiplos}{w}_i\ge a_{ij}*w_j con 1\ge a_{ij}\ge 0$ $\left(2\right)$

$\text{Orden fuerte}{b}_{ij}>w_i-w_j\ge a_{ij}>\mathrm{0,} 1\ge b_{ij},a_{ij}\ge 0$ $\left(3\right)$

$\text{Valor de intervalo}{b}_{ij}\ge w_i\ge a_{ij}\mathrm{,1}\ge b_{ij},a_{ij}\ge 0$ $\left(4\right)$

$\text{Ranking de diferencias}{w}_i-w_j\ge w_{i^{\prime }}-w_{j^{\prime }}$ $\left(5\right)$

Este método es propuesto en (Wan and Dong, 2015). A continuación, se explican los pasos del mismo.

Paso 1: Construcción de la matriz de decisiones.

Sea el conjunto de alternativas: $O=\left\{O_1 , O_2, \dots ,O_m\right\}$, el conjunto de atributos es: $A=\left\{A_1,A_{\mathrm{2,} }\dots ,A_n\right\}$ y el conjunto de decisores es $E=\left\{e_1,e_2,\dots ,e_K\right\}$. Luego, se consideran seis formatos de información para que cada decisor exprese los elementos de la matriz decisional. Estos formatos son: ($I_1$)$\to CDIVIs$: $r= ⟨\left[{\mu }_{ij}^{-p},{\mu }_{ij}^{+p}\right], \left[v_{ij}^{-p},v_{ij}^{+p}\right]⟩$, ($I_2$)$\to CDIs$: $r=⟨{\mu }_{ij}^p,v_{ij}^p⟩$, ($I_3$)$\to$Números difusos trapezoidales ($NDTRs$): $r=\left(a_{ij1}^p,a_{ij2}^p,a_{ij3}^p,a_{ij4}^p\right)$, ($I_4$)$\to$Números difusos triangulares $NDTs:r=\left(b_{ij1}^p,b_{ij2}^p,b_{ij3}^p\right)$, ($I_5$)$\to$ Intervalos$:r=\left[c_{ij1}^p,c_{ij2}^p\right]$ y ($I_6$)$\to$ números reales $r=d_{ij}^p$. Cada decisor emplea alguno entre los formatos ($I_1-I_6$) según el nivel de conocimiento que posea o la comodidad que sienta al usarlos. Aquí $ij$ se refiere a la evaluación de la alternativa $O_i$ respecto a $A_j$ y $p$ se refiere a que es información dada por $e_p.$

Al representar cada valor en la matriz de decisiones por $y_{ij}^p$, esta matriz puede expresarse como $Y^p={\left(y_{ij}^p\right)}_{\left(mxn\right)}$ y luego se deben normalizar estas evaluaciones. Para llevar a cabo estas normalizaciones se pueden considerar las relaciones siguientes (Wang and Luo, 2010)(Wang and Parkan, 2006): $r_{i j}=\frac{y_{ij}-y_j^{min}}{y_j^{max}-y_j^{min}} para atributos de beneficio, o r_{ij}=\frac{y_j^{max}-y_{ij}}{y_j^{max}-y_j^{min}}$ para atributos de costo. Luego, la matriz de decisiones original $Y^p={\left(y_{ij}^p\right)}_{\left(mxn\right)}$ es cambiada a una normalizada $R^p={\left(r_{ij}^p\right)}_{\left(mxn\right)}$.

Paso 2: Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas

Cuando existe información para hacerlo, el decisor $e_p$ debe establecer la relación de preferencia subjetiva entre las alternativas a partir de valores de $CDIVIs$ de acuerdo a: ${\tilde{\Omega }}_p=\{⟨\left(k,j\right), {\tilde{t}}_p(k,j)⟩a_k{\ge }_p{a}_j\}$. Aquí ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ es el valor $CDIVIs$ que expresa la preferencia de la alternativa $a_k$sobre la $a_j$, favoreciendo a $a_k$ (dada por $a_k{\ge }_p{a}_j$).

Paso 3: Evaluación de alternativas basadas en TOPSIS

Ya conocida la matriz $R^p={\left(r_{ij}^p\right)}_{\left(mxn\right)}$, se procede a generar una alternativa ideal positiva (AIP) $r=\left(r_1^{*},r_2^{*},\dots ,r_n^{*}\right)$ y una alternativa ideal negativa (AIN) $r=\left(r_{*1},r_{*2},\dots ,r_{*n}\right)$. Los valores de $r_i^{*}$ y $r_{i*}$ representan las mejores evaluaciones posibles de cada atributo según el formato de ($I_1-I_6$) en que se expresaron las evaluaciones de la matriz decisional para dicho atributo y pueden representarse de la siguiente manera:

$r_i^{*}=\left\{\begin{array}{c}⟨\left[{\mu }_i^{*-},{\mu }_i^{*+}\right], \left[v_i^{*-},v_i^{*+}\right]⟩\left(I\in I_1\right)\\ ⟨{\mu }_i^{*}, v_i^{*}⟩\left(I\in I_2\right)\\ \left(a_{i1}^{*},a_{i2}^{*},a_{i3}^{*},a_{i4}^{*}\right)\left(I\in I_3\right)\\ \left(b_{i1}^{*},b_{i2}^{*},b_{i3}^{*}\right)\left(I\in I_4\right)\\ \left[c_{i1}^{*},c_{i2}^{*}\right]\left(I\in I_5\right)\\ d_i^{*}\left(I\in I_6\right)\end{array}\right.$ y $r_{*i}=\left\{\begin{array}{c}⟨\left[{\mu }_{*i}^{-},{\mu }_{*i}^{+}\right], \left[v_{*i}^{-},v_{*i}^{+}\right]⟩\left(I\in I_1\right)\\ ⟨{\mu }_{*i},v_{*i}⟩\left(I\in I_2\right)\\ \left(a_{*i1},a_{*i2},a_{*i3},a_{*i4}\right)\left(I\in I_3\right)\\ \left(b_{*i1},b_{*i2},b_{*i3}\right)\left(I\in I_4\right)\\ \left[c_{*i1},c_{*i2}\right]\left(I\in I_5\right)\\ d_{*i}\left(I\in I_6\right)\end{array}\right.$

Las distancias de una evaluación $r_{ij}^p$ de la matriz de decisiones normalizada a la evaluaciones ideal positiva e ideal negativa en $A_i$ se determinan por $S_{ij}^{*p}$ y $S_{*ij}^p$ respectivamente. Para calcular $S_{ij}^{*p}$ y $S_{*ij}^p$ se combinan medidas de distancias asociadas a cada formato $I_k, k\in \left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6}\right\}$ (ver (Wan and Dong, 2015)). Para valores reales, estas distancias se calculan respectivamente por ${\left(d_{ij}^p-d_i^{*}\right)}^2$ y ${\left(d_{ij}^p-d_{*i}\right)}^2$.

Así, se considera el grado de proximidad relativa de $r_{ij}^p$ respecto a $r_i^{*}$ por${\beta }_{ij}^p=S_{*ij}^p/\left(S_{*ij}^p+S_{ij}^{*p}\right)$. Además, la evaluación global de la alternativa $O_i$ se calcula por $D_i^p={\displaystyle \sum }_{j=1}^n{w}_j{\beta }_{ij}^p$, donde $w_j$ es el peso de $A_j$ y a mayor $D_i^p$, mejor evaluación recibe $O_i$.

Paso 4: Índices de inconsistencia y consistencia. Modelo de optimización.

Suponiendo que las preferencias subjetivas del decisor dadas por ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ y la expresión $D_i^p$ constituyen evaluaciones confiables sobre las alternativas, es necesario que exista una compatibilidad alta entre ellas. Para verificar lo anterior se definen los índices de inconsistencia y consistencia para el par $(O_k,O_j)$ respectivamente por Ecuación 1 y Ecuación 3:

Definición 2 (Índice de inconsistencia):

Ya que ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ se estableció para cuando $O_k\ge O_j$, si $D_k^p<D_j^p$ significa que $O_j\succ O_k$ por lo que no hay correspondencia entre ambos tipos de evaluación, teniendo sentido un coeficiente positivo de inconsistencia. Además, como ${\tilde{E}}_{kj}^p={\tilde{t}}_p\left(k,j\right)\max \left\{\mathrm{0,}{D}_j^p-D_k^p\right\}$, se define el índice general de inconsistencia por ecuación 2:

Definición 3 (Índice de consistencia):

En este caso, ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ indica que $O_k\ge O_j$, por lo que si $D_k^p\ge D_j^p$, tiene sentido un índice positivo de consistencia. Si $D_k^p<D_j^p$, tiene sentido el 0.Como ${\tilde{F}}_{kj}^p={\tilde{t}}_p\left(k,j\right)\max \left\{\mathrm{0,}{D}_k^p-D_j^p\right\}$, se define el índice general de consistencia por ecuación 4:

Para ponderar los atributos se propone el siguiente modelo de optimización Ecuación 5:

Como en $\tilde{E}$ y $\tilde{F}$ aparecen implícitos problemas de optimización, y que se persiguen dos objetivos a la vez, este modelo se cambia a otro de programación por metas ponderadas. Al no ser el objetivo de este trabajo indagar en especificaciones relativas a lo anterior, se sugiere al lector ver detalles en (Wan and Dong, 2015).

La idea de generar un conjunto pesos que posibilite una mayor compatibilidad entre las evaluaciones de las alternativas dadas por las relaciones subjetivas del decisor (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$) y la expresión de cálculo de $D_j^p$es bastante objetiva. Es decir, si se acepta que ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ y $D_j^p$ son confiables, entonces los pesos implicados en el cálculo de $D_j^p$ deben permitir que dicha expresión sea compatible con los valores de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$.

Al considerar el índice de inconsistencia, tenga en cuenta que su valor está expresado en términos de $CDIVIs$ y note que la desigualdad $D_k^p<D_j^p$ es compatible con que se cumpla que$O_k\prec O_j$ y esto a su vez es incompatible con el valor de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$, que implica que $O_k\ge O_j$. Luego, a mayor valor de $\left(D_j^p-D_k^p\right)$, más se refuerza la incompatibilidad entre los valores de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ y los pares de evaluaciones ($D_j^p,D_k^p$).

Con lo anterior, queda claro que ${\tilde{E}}_{kj}^p$ representa la incompatibilidad entre los valores de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ y las evaluaciones $D_i^p,\left(i\in \left\{j,k\right\}\right)$ objetivamente.

Note en cambio que ${\tilde{F}}_{kj}^p$, una vez establecida la relación subjetiva ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$, crece cuanto mayor se haga la diferencia $\left(D_k^p-D_j^p\right)$, siempre y cuando esta sea positiva. Sucede que lo anterior no resulta un criterio suficientemente sólido de consistencia. Es decir, una vez establecida la relación ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$, tiene sentido que se considere la existencia de consistencia si $D_k^p\ge D_j^p$, pero no necesariamente se da una mayor compatibilidad por que aumente la diferencia $D_k^p-D_j^p$. Tenga en cuenta que es posible que un valor de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$favorezca mínimamente a$O_k$ sobre $O_j$, por lo que si un determinado conjunto de pesos $w_i^1, i\in \left\{\mathrm{1,2,}\dots ,n\right\}$ genera una diferencia $d_1$ bastante alta entre $D_k^p$ y $D_j^p\left(D_k^p-D_j^p=d_1>0\right)$, mientras que otro conjunto de pesos $w_i^2, i\in \left\{\mathrm{1,2,}\dots ,n\right\}$ genera una diferencia ligeramente superior de $D_k^p$ respecto a $D_j^p(D_k^p-D_j^p=d_2>0)$, se tendría que ${\tilde{F}}_{kj1}^p={\tilde{t}}_p\left(k,j\right)*d_1>{\tilde{F}}_{kj2}^p={\tilde{t}}_p\left(k,j\right)*d_2$. De esta forma, ${\tilde{F}}_{kj}^p$ favorece al primer conjunto de pesos $(w_i^1)$ sobre el segundo $(w_i^2)$ a pesar de que de los dos es $w_i^2$ el que se corresponde en mayor medida con una superioridad mínimade $O_k$ sobre $O_j$ como indica ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$. Lo anterior se ejemplificará y analizará en el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio:

Supóngase, para simplificar, que un problema decisional consta de un solo decisor y que este establecerá los valores de la matriz de decisiones concernientes a cada atributo en el formato $I_6$, es decir, valores reales. Considere la escala (cero-uno) para otorgar dichos valores. Considere también que todos los atributos son de beneficio. En este contexto, la matriz decisional dada es mostrada en la Tabla 1 y las relaciones subjetivas de preferencia entre las alternativas (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$) establecidas por el decisor se muestran en la Tabla 2.

Tabla 1
Matriz de decisiones de tres alternativas y tres atributos perteneciente al caso de estudio

Tabla 2
Relaciones de preferencia subjetivas entre las alternativas para el caso de estudio

Como se puede apreciar, la percepción que tiene el decisor sobre el valor que tienen para él las alternativas es que $O_1$ es moderadamente superior respecto a $O_2$ y a $O_3$. Además, considera que los valores que tienen $O_2$ y $O_3$ son aproximadamente iguales.

Al analizar los valores en la Tabla 3 puede apreciarse que el primer conjunto de pesos ($w_1=\mathrm{0,40,} w_2=\mathrm{0,35,} w_3=\mathrm{0,25}$) genera evaluaciones de las alternativas ($D_i$) que están muy en correspondencia con la información subjetiva del decisor. Por otro lado, el segundo conjunto de pesos ($w_1=\mathrm{0,80,} w_2=\mathrm{0,10,} w_3=\mathrm{0,10}$) genera evaluaciones que indican una diferencia muy alta de $O_1$ sobre $O_2$ y $O_3$ lo cual no se corresponde con la información subjetiva brindada por el decisor. Acorde a las evaluaciones ($D_i$) generadas, el primer conjunto de pesos logra claramente una mayor compatibilidad con la información subjetiva que se tiene del decisor respecto al segundo conjunto de pesos. Sin embargo, es el segundo conjunto de pesos el que genera un mayor índice general de consistencia, lo que demuestra la falta de objetividad del formato de cálculo de consistencia como se quería demostrar. Note que para ambos conjuntos de pesos el índice de inconsistencia es 0, por lo que en estos casos solo influye la consistencia

Tabla 3
Incompatibilidad entre las evaluaciones de las alternativas y los índices generales de consistencia ($\tilde{F}$) generados por dos conjuntos de pesos en el caso de estudio

Se parte de considerar que las evaluaciones $D_k^p$ y $D_j^p$ sobre las alternativas $O_k$ y $O_j$ respectivamente pueden transformarse en un valor $CDI$ por:

Las relaciones subjetivas de preferencias expresadas con $CDIVIs$ entre $O_k$ y $O_j$ dadas por el decisor $e_p$ (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)=⟨\left[{\mu }_{kj}^{-p},{\mu }_{kj}^{+p}\right], \left[v_{kj}^{-p},v_{kj}^{+p}\right]⟩$) pueden ser transformadas en $CDIs$ de acuerdo a la expresión:

Aquí, $c_1^p$ es un coeficiente de confianza interno asociado al límite superior del intervalo de pertenencia que debe establecer el decisor tal que $0\le c_1^p\le 1$. Si $c_1^p>\mathrm{0,5}$ el decisor siente mayor confianza hacia el valor de ${\mu }_{kj}^{+p}$ respecto al valor de ${\mu }_{kj}^{-p}$. Si $c_1^p<\mathrm{0,5}$ el decisor siente mayor confianza hacia el valor de ${\mu }_{kj}^{-p}$respecto al valor de ${\mu }_{kj}^{+p}$, mientras que si $c_1^p=\mathrm{0,5}$ el decisor siente igual confianza por ${\mu }_{kj}^{-p}$y${\mu }_{kj}^{+p}$.

De forma análoga ocurre con el coeficiente de confianza interno asociado al límite superior del intervalo de no pertenencia ($c_2^p$). Es decir, $0\le c_2^p\le 1$ y si $c_2^p>\mathrm{0,5}$ el decisor siente mayor confianza hacia el valor de $v_{kj}^{+p}$ respecto al valor de $v_{kj}^{-p}$. Si $c_2^p<0.5$ el decisor siente mayor confianza hacia el valor de $v_{kj}^{-p}$respecto al valor de ${\mu }_{kj}^{+p}$, mientras que si $c_2^p=\mathrm{0,5}$ el decisor siente igual confianza por $v_{kj}^{-p}$y $v_{kj}^{+p}$.

Así, la distancia de Minkowski tradicional puede ser usada como medidor de distancia entre los números difusos intuicionistas ${\tilde{t}}_p^{\text{'}}\left(k,j\right)$ y ${\tilde{t}}_p^{\text{'}\text{'}}\left(k,j\right)$ por Ecuación 8:

En base a Ecuación 8, se define el índice de inconsistencia generalizado de orden $q$ por Ecuación 9:

En base a $I_{IG}^q$, se propone el modelo de optimización (Ecuación 10) para ponderar los atributos:

Para generalizar este modelo, es interesante considerar el nivel de confianza que siente el decisor hacia las relaciones subjetivas (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$) que dio. Es decir, partiendo de que este generalmente no va otorgar valores de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ para todos los pares de alternativas, es posible que algunas de las alternativas respecto a las que sí da información posean características en sus atributos que estén sujetos a una incertidumbre más fuerte respecto a otras alternativas. Un ejemplo de esto puede darse si se considera que entre varios planes de inversión (alternativas) que se están proponiendo para hacer determinadas reformas en una empresa, se está teniendo en cuenta el atributo: “ganancias esperadas en un periodo de tiempo ($t$)”. Aquí, es posible que las ganancias esperadas para algunos de los planes de inversión estén sujetas a ciertas variables no controladas totalmente y por tanto dar información concerniente a tales alternativas es más incierto que dar información sobre otras alternativas con características menos inciertas.

Si se considera un coeficiente de confianza externo $w_{k,j}^p$ como medida de la confianza que se tiene hacia cada valor ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ establecido, tal que $0\le w_{k,j}^p\le 1$ y mayores valores de $w_{k,j}^p$ significan que el decisor se siente más seguro del valor ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ dado, puede definirse el índice de inconsistencia generalizado ponderado de orden $q$ por ecuación 11:

La generalización del modelo establecido en Ecuación 10 está dado por ecuación 12:

El anterior modelo se denominará: modelo de ponderación basado en el índice de inconsistencia generalizado ponderado de orden $q$ con $CDIs$.

Suponga que una compañía $C$ se dedica a la fabricación y venta de paneles solares. Suponga además que su producto a perdido espacio en el mercado internacional en los últimos tiempos y que se ha decidido, por tanto, desarrollar un nuevo proyecto para fabricar nuevos paneles solares con el objetivo de que logren una mayor competitividad internacional. Para comenzar el análisis, se recopilaron datos de cinco de los paneles solares más exitosos en el mercado ($P_1,P_2,P_3,P_4{P}_5$) asociados a algunas de las variables que se consideran que mejor pueden explicar el éxito de los mismos. Los datos se muestran en la Tabla 4.

Tabla 4
Datos que se obtienen de los atributos de algunos paneles solares de más éxito

Se asumirá que solo un decisor se encargará de dar la información para simplificar el ejemplo.

Paso 1: Construcción de la matriz de decisiones.

En este caso, para simplificar supondremos que los valores fueron dados con números reales ($I_6$). Además, las alternativas serían ($P_1,P_2,P_3,P_4{P}_5$), sin embargo, se considerarán como atributos de decisión todos los que representan las columnas de la Tabla 4 salvo el porcentaje de ventas anuales y la explicación a esto será dada en el paso 2. Entonces, la matriz normalizada $R^p={\left(r_{ij}^p\right)}_{\left(mxn\right)}$ queda conformada como muestra la Tabla 5:

Tabla 5
Normalización de los valores de la Tabla 4

Paso 2: Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas

En este paso los decisores establecen $CDIVIs$ para comparar los pares de alternativas de acuerdo a: ${\tilde{\Omega }}_p=\{⟨\left(k,j\right), {\tilde{t}}_p(k,j)⟩a_k{\ge }_p{a}_j\}$. Sin embargo, la información así dada, es completamente intuitiva, aunque acorde a las características reales de las alternativas. Pero en el planteamiento del problema, hay una variable que puede ser más confiableque la intuición de los decisores, por la medida en que tributa dicha variable al objetivo que se persigue en el problema. Se trata del porcentaje de ventas anuales.

Note que el objetivo principal que se persigue en el problema es lograr un producto de mayor competencia en el mercado internacional. Por tanto, al margen de lo que piensen los decisores de cuáles serían los mejores paneles solares (alternativas), el porcentaje de ventas anuales es la manifestación directa del éxito en la venta de los paneles. De esta forma, cuando el decisor vaya a establecer los $CDIVIs$ asociados a las comparaciones pareadas entre alternativas, lo lógico sería que la razón entre los grados de membresía y no membresía de los $CDIVIs$ dados, sean similares a la razón entre los porcentaje de ventas anuales de los paneles que se comparan. El índice de ignorancia ${\pi }_A\left(x\right)$, debe ser mayor, cuanto mayores sean los rangos en los que se dan los valores de los porcentaje de ventas anuales de los paneles que se comparan, pues rangos más amplios significan (mayor imprecisión y desconocimiento. Teniendo en cuenta todo lo anterior, son dados los valore de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ por parte del decisor y estos son mostrados en la Tabla 6.

Tabla 6
Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas dadas por el decisor (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$)

Note que las alternativas fueron dispuestas de forma que los elementos de la diagonal superior tengan sentido. Es decir, que el valor ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$ satisfice que la superioridad de $P_k$ sobre $P_j$.Por tal motivo, no tiene sentido otorgar valores a ningún elemento de la diagonal inferior.

Paso 3: Evaluación de alternativas basadas en TOPSIS

Tabla 7
Grados de proximidad relativa de $r_{ij}^p$ respecto a $r_i^{*}$

Luego, la evaluación global de la alternativa $O_i$ se considera que se pude calcular por $D_i^p={\displaystyle \sum }_{j=1}^n{w}_j{\beta }_{ij}^p$, donde $w_j$ es el peso de $A_j$ y a mayor $D_i^p$, mejor evaluación recibe $O_i$.

Paso 4: Nuevo modelo de optimización

Aquí, se deben transformar los $CDIVIs$ dados en la Tabla 6 en $CDIs$usando la Ecuación 7 a partir de los coeficientes de confianza internos$c_1^p$y $c_2^p$. Se asumirá, para simplificar, que para todos los valores de ${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$disponibles se otorgaron los valores $c_1^p=c_2^p=0.5$. Con esto, los valores de${\tilde{t}}_p^{\text{'}\text{'}}\left(k,j\right)$ quedan como se muestra en la Tabla 8.

Tabla 8
Transformación de los $CDIVIs$ dados en la Tabla 6 en $CDIs$ de acuerdo a Ecuación 7

Además, deben ser dados los coeficientes de confianza externos $w_{k,j}^p$ asociados a los valores de (${\tilde{t}}_p\left(k,j\right)$) que estableció el decisor. Se supondrá que $w_{k,j}^p=1 \forall k,j\in \left\{{\tilde{\Omega }}_p\right\}$. El modelode la Ecuación 12, para $q=1$ quedaría de la siguiente manera:

$\min I_{IGP}^q$ $={\left({\left|0.46-\frac{D_1^p}{D_1^p+D_2^p}\right|}^1+{\left|0.43-\frac{D_2^p}{D_1^p+D_2^p}\right|}^1+{\left|0.11\right|}^1\right)}^1+{\left({\left|0.50-\frac{D_1^p}{D_1^p+D_3^p}\right|}^1+{\left|0.35-\frac{D_3^p}{D_1^p+D_3^p}\right|}^1+{\left|0.15\right|}^1\right)}^1$ $+{\left({\left|0.53-\frac{D_1^p}{D_1^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.28-\frac{D_4^p}{D_1^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.19\right|}^1\right)}^1+{\left({\left|0.53-\frac{D_1^p}{D_1^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.25-\frac{D_5^p}{D_1^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.22\right|}^1\right)}^1$ $+{\left({\left|0.45-\frac{D_2^p}{D_2^p+D_3^p}\right|}^1+{\left|0.35-\frac{D_3^p}{D_2^p+D_3^p}\right|}^1+{\left|0.20\right|}^1\right)}^1+{\left({\left|0.47-\frac{D_2^p}{D_2^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.36-\frac{D_4^p}{D_2^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.17\right|}^1\right)}^1$ $+{\left({\left|0.48-\frac{D_2^p}{D_2^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.28-\frac{D_5^p}{D_2^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.24\right|}^1\right)}^1+{\left({\left|0.45-\frac{D_3^p}{D_3^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.38-\frac{D_4^p}{D_3^p+D_4^p}\right|}^1+{\left|0.17\right|}^1\right)}^1$ $+{\left({\left|0.45-\frac{D_3^p}{D_3^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.28-\frac{D_5^p}{D_3^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.27\right|}^1\right)}^1+{\left({\left|0.43-\frac{D_4^p}{D_4^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.38-\frac{D_5^p}{D_4^p+D_5^p}\right|}^1+{\left|0.19\right|}^1\right)}^1$

$s.t:1\ge w_i\ge 0 \forall i\in \left\{\mathrm{1,2,}\dots ,n\right\}, {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{w}_i=1$

Note que se asume que la información incompleta no está disponible. El vector solución para los pesos calculado por los modelos nuevo y original fueron obtenidos con ayuda del software libre Wolfram Mathematica 8 y se muestran en la Tabla 9:

Tabla 9
Pesos de los atributos obtenidos a partir del nuevo modelo propuesto y del modelo original

Según los valores de la tabla 10, con el modelo original se sugiere concentrar la inversión para desarrollar el nuevo producto en lograr altos índices de potencia, aunque sin despreciar, el logro de valores elevados en la superficie y el tiempo de vida facilitando además costos moderados. Por otro lado, el modelo nuevo sugiere concentrar la inversión en lograr altos índices de eficiencia y le atribuye una gran relevancia a la moderación de los precios. No se desprecia el logro de altos valores de potencia, mientras que se le presta mucha menor atención a la superficie o al tiempo de vida esperado de los paneles solares.

Para comparar la eficacia de los conjuntos de pesos generados por ambos métodos, se muestra en la Tabla 10 los porcentajes de ventas anuales (representaciones directas de los éxitos de ventas) y las correspondientes evaluaciones funcionales de cada panel

Tabla 10
Comparación entre evaluaciones funcionales del modelo nuevo y el original respecto a los porcentajes de venta anuales

Se puede apreciar que al comparar las evaluaciones funcionales generadas por el modelo nuevo con los porcentajes de ventas anuales hay un error mínimo dado por una ínfima superioridad en la evaluación de $P_2$sobre la de $P_1$ (cuando debería ser una ligera superioridad en sentido contrario). Algo similar ocurre en relación a las evaluaciones funcionales de $P_3$y $P_4$. Sin embargo, en general se puede apreciar cómo las evaluaciones funcionales van en descenso desde $P_1$ hasta $P_5$ con una tendencia y proporcionalidad similar a la de los porcentajes de ventas anuales. Para mayor visibilidad de este comportamiento puede separase las evaluaciones en tres conjuntos. El primero dado por: $P_1$ y $P_2$, cuyas evaluaciones superarían a las del segundo conjunto:$P_3$ y $P_4$ que a su vez sería superior al tercer conjunto: $P_5$.

Por otro lado, de las evaluaciones generadas por el modelo original solo se puede apreciar un comportamiento notablemente consistente con los porcentajes de ventas, en el hecho de la superioridad de $P_1$ sobre el resto de evaluaciones. Sin embargo, todas las demás evaluaciones son demasiado similares, a tal punto que a partir de ellas no se puede establecer con confianza un orden de jerarquía bien definido entre los distintos paneles, situación que no se corresponde con la realidad del problema planteado.

En base a lo anterior, puede apreciarse que los pesos generados por el modelo propuesto logran una mayor compatibilidad entre la evaluación funcional de las alternativas y la intuitiva respecto al modelo original en este caso analizado.