Valuación de opciones asiáticas con precio de ejercicio flotante igual a la media aritmética: un enfoque de control óptimo estocástico

Pricing Asian Options with Floating Exercise Price Equal to the Arithmetic Mean: An Optimal Stochastic Control Approach

Las características fehacientes del riesgo inherente a los mercados financieros, en que los diversos agentes económicos realizan transacciones de manera “continua” con activos y/o productos derivados financieros, influye en las decisiones de consumo, portafolio y producción de los agentes económicos.

En este contexto, las necesidades específicas de cobertura de riesgos, fiscales, contables, legales o regulatorias, de los diferentes agentes económicos (Hull, 2014) y de adaptación de las características de los diferentes instrumentos derivados a tales requerimientos, ha hecho de la ingeniería financiera un campo fértil de innovación en los mercados secundarios o mercados Over The Counter (OTC).

Por su parte, la comunidad académica internacional de diversas áreas como lo son: Economía, Finanzas, Matemáticas e Ingeniería, entre otras, en respuesta a tales necesidades ha desarrollado diversos modelos en los que se supone que las variables económicas y financieras relevantes son conducidas por procesos estocásticos de diferente naturaleza, por ejemplo, procesos de difusión o procesos de difusión con saltos como en Merton (1971) y (1992), Turnovsky (1993) y (2006), Hernández-Lerma (1994) y Venegas-Martínez (2001) y (2006).

Un aspecto importante es el desarrollo de modelos macroeconómicos estocásticos que expliquen hechos estilizados en las decisiones de consumo y portafolio de los agentes; véanse, al respecto: Turnovsky y Smith (2006); Venegas-Martínez, Ortiz-Arango y Castillo-Ramírez (2010); Martínez-Palacios, T., A. Sánchez-Daza, y F. Venegas-Martínez, (2014); Martínez-Palacios, T. y F. Venegas-Martínez, (2015); y Venegas-Martínez (2004) y (2005), entre otros.

En el marco de los modelos anteriores, es importante destacar, aquellos a partir de los cuales se obtienen precios de activos financieros y/o se valúan productos derivados; cuya literatura es muy basta y variada, considérese por ejemplo los artículos, de: Black y Scholes (1973); Merton (1973); Cox y Ross (1976); Cox, Ingersoll y Ross (1985a) y (1985b); Broadie y Detemple (2004); Martínez-Palacios, T. y F. Venegas-Martínez, (2012) y (2014); Venegas-Martínez (2006), (2007) y (2010); Venegas-Martínez, F. y S. Cruz-Ake, (2010); Ángeles-Castro y Venegas-Martínez (2010) y Sierra (2007),¹ entre otros.

En el caso particular de la valuación de derivados financieros opciones, la innovación ha dado lugar a la creación de opciones de tipo exótico,² las cuales suponen una modificación de alguna o varias de las características de las opciones estándar. De particular importancia en esta investigación son las opciones asiáticas³ con precio de ejercicio promedio de tipo europeo. Estas son opciones en las que el precio de ejercicio es una media (aritmético o geométrico) de los valores alcanzados por el activo subyacente durante toda o parte de la vida de la opción.

La finalidad fundamental de este tipo de opciones es reducir las posibilidades de manipulación del precio del subyacente en la fecha de vencimiento. También algunos inversores las consideran útiles cuando su política de compras (o ventas) les obliga a realizar transacciones frecuentes sobre un mismo activo en un horizonte temporal determinado (Lamothe y Pérez, 2003).

La investigación que se ha dedicado al estudio de esta opción es también muy extensa, toda vez que no existe una solución analítica cerrada para obtener el precio de la opción asiática con promedio aritmético;⁴ véanse, al respecto: Turnbull and Wakeman (1991), Levy (1992), Thompson (1999), Vecer (2001), Vecer y Xu (2004), Vanmaele, et al. (2006), Wilmott (2006), Hoogland, J. and D. Neumann (2000), Fusai y Meucci (2008), E. Bayraktar y Xing (2011) y Cerný y Kyriakou (2011), entre otros. Así pues Turnbull and Wakeman (1991) proporcionan un algoritmo que calcula el precio de las opciones asiáticas con promedio aritmético y lo comparan contra el método Montecarlo, mostrando ser preciso. Por su parte Vecer, (2001) proporciona un enfoque unificador para fijar precios de opciones asiáticas, con media aritmética discreta y continua. La EDP unidimensional que obtiene para el precio de la opción asiática se puede implementar relativamente fácil, incluso para casos con dividendos continuos y discretos generando además resultados rápidos y precisos.

Es pertinente observar que existe un considerable número de modelos y metodologías en la literatura financiera para obtener el precio de opciones asiáticas con promedio aritmético mediante fórmulas aproximadas. Sin embargo, el objetivo de esta investigación es proporcionar un modelo alternativo que permita caracterizar el precio de una opción asiática de venta mediante un sistema de ecuaciones diferenciales proveniente de un modelo de control óptimo estocástico en tiempo continuo, que en su diseño contemple además de los supuestos del mercado, las preferencias de los agentes económicos. Para tal efecto se desarrolla un modelo de un agente racional que dispone de una riqueza inicial y que enfrenta la decisión de cómo distribuir su riqueza entre consumo e inversión en un portafolio de activos, incluyendo una opción asiática de venta, en un horizonte de temporal finito de magnitud estocástica. Es decir, la hipótesis es que mediante equilibrio general dinámico estocástico es posible encontrar las trayectorias óptimas de consumo e inversión así como la ecuación diferencial parcial mediante la cual se valúa una opción asiática de venta de tipo europeo con precio de ejercicio flotante igual a la media aritmética.

Las características distintivas de este documento, en el marco de las investigaciones mencionadas, son: 1) La valuación del producto derivado asiático de tipo europeo se efectúa con base en la racionalidad económica, 2) La delimitación matemática del problema evita que el agente económico se endeude y/o caiga en bancarrota, y 3) La obtención de la ecuación que caracteriza el precio de la opción asiática de venta se obtiene mediante el enfoque de control óptimo estocástico en programación dinámica.

Este trabajo está organizado de la siguiente forma. En el segundo apartado se describe analíticamente el problema de control óptimo estocástico, en donde se incluye como activo de inversión, la tenencia de una opción asiática de venta con un subyacente conducido por el movimiento geométrico browniano. En el transcurso del tercer apartado se establece la restricción presupuestal intertemporal del agente representativo. En la cuarta sección se introduce el horizonte de planeación finito y de magnitud estocástica a través de un problema de control en tiempo continuo de consumo e inversión óptimos, estableciendo formalmente el problema a optimizar. En la quinta sección se proporciona una solución al problema de control óptimo planteado, mediante la cual se obtienen como resultados centrales: primero la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman, segundo, las condiciones de primer orden que llevan a las decisiones óptimas de las variables de control. En la sexta sección se da solución al problema de control óptimo planteado, obteniendo las proporciones óptimas de consumo e inversión. En el curso de la séptima sección se obtiene una caracterización del precio de una opción asiática de venta en términos del premio al riesgo de mercado, el cual se obtiene mediante la solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. En la octava sección se lleva a cabo la verificación de la solución encontrada con programación dinámica del modelo, mediante la solución a la ecuación HJB. Por último se presentan en la novena sección las conclusiones del presente trabajo indicando aquellas extensiones previstas en la agenda futura de investigación.

Considere un agente económico racional que desea maximizar su utilidad por el consumo e inversión en un horizonte temporal de planeación finito, lo que se representa mediante el intervalo de tiempo [0, T]. En el tiempo t = 0, el agente es dotado con una riqueza inicial X₀ y enfrenta el problema de cómo distribuir su riqueza entre inversión y consumo, de tal forma que su riqueza no sea negativa en su horizonte de planeación y tal que maximice su función de utilidad esperada y descontada por el consumo de un bien genérico. Así pues, se supone que la utilidad total del agente está dada por

en donde F es la función de utilidad (descontada) por el consumo, Φ es la función de retiro al tiempo T , la cual mide la utilidad de tener algún recurso al final del periodo, y F₀ es la información disponible al tiempo t.

Se supone que al agente económico le es permitido invertir sus recursos en activos con y sin riesgo, por lo que una parte de su riqueza la destina como ahorro en un banco, que paga una tasa de interés constant r > 0, libre de riesgo de incumplimiento. De donde, el saldo de la inversión en el tiempo t es M_t = M₀e^rt, el cual puede ser expresado mediante el problema de valor inicial

que implica un rendimiento

La otra parte de su riqueza la invierte en dos activos con riesgo, a saber, una acción cuya dinámica de precios es conducida por la ecuación diferencial estocástica del movimiento geométrico Browniano,

y cuyos rendimientos son representados analíticamente por la siguiente ecuación

donde μ∈ y 0 < σ ∈, son constantes que se interpretan como el rendimiento medio esperado de S_t y su volatilidad instantánea, y W_t es un movimiento browniano, definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada ${\left(\mathrm{\Omega },\mathcal{ }\mathcal{F},\mathcal{ }\mathcal{ }{\mathcal{F}}_t^w\right)}_{t\in \left[0, T\right]}, P)$. El segundo activo es un contrato de opción asiática de venta posición larga con propósitos de cobertura y suscrito sobre la acción cuyo proceso de precios es definido por (2). Para una opción asiática de venta con precio de ejercicio variable igual a la media aritmética, el precio del contrato en la fecha de vencimiento T es iguala a $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(K_{t,T}-S_T,0\right)$, en donde $K_{t,T}=\frac{1}{T-t}\underset{t}{\overset{T}{\int }}{S}_{u}du$. Toda vez que el horizonte de planeación es el interval [0. T], se define,

y dado que (2) es un proceso relativo a la filtración $(F_t^w{)}_{t\in \left[0,T\right]}$, entonces el precio actual es independiente del histórico precedente por lo que I_t y S_T pueden ser tratados de manera independiente. Se denota entonces el precio de una opción asiática de venta, mediante A_t = A_t (S_t. I_t. t) al aplicar el Lema de Itô se obtiene que,

El rendimiento de la opción está dado por el cambio porcentual de la prima, es decir,

Si a partir de (4) se denota a:

se sigue que

Las proporciones de riqueza que se destinarán a los activos riesgosos, la acción y la opción asiática de venta, así como al activo sin riesgo en el portafolio de inversión, en el tiempo t, se denotarán mediante θ_1t, θ_2ty1 - θ_1t - θ_2t respectivamente. En lo que sigue denota la tasa de consumo, a la que se le impone la condición c_t ≥ 0, Ɐt ≥ 0. Además, se supone que todas las estrategias de consumo e inversión son autofinanciables y se supone también que las negociaciones se llevan a cabo en forma continua (los mercados nunca cierran), sin incurrir en ningún momento en costos por comisiones a agentes de casas de bolsa ni pagos de impuestos a autoridades fiscales. Adicionalmente se supone que las ventas en corto son permitidas e ilimitadas.⁵ De esta manera, si X_t representa la riqueza del consumidor en el tiempo t, entonces la dinámica del proceso de la riqueza está dada por la siguiente expresión:

equivalentemente,

donde

Observe en la ecuación (7), que los términos X_tθ_1tμt y X_tθ_2tμ_A representan el rendimiento esperado por invertir X_tθ_1t dólares en la acción y X_tθ_2t dólares en la opción asiática de venta durante el periodo de t a t + dt; X_tθ_1tσdW_t y θ_2t representan el riesgo implicado en invertir los X_tθ_1t y X_tθ_2t dólares en los activos riesgosos, el término X_t(1 - θ_1t - θ_2t) rdt es el interés ganado por el ahorro de X_t (1 - θ_1t - θ_2t) dólares y finalmente c_tdt representa el consumo en el intervalo de tiempo de t a t + dt (Sethi y Thompson 2000).

Para dar solución al problema de (10) y encontrar las proporciones óptimas en el portafolio de inversión y el consumó óptimo del agente maximizador, se define la función de valor de la siguiente manera:

Después de aplicar al primer sumando el teorema del valor medio del cálculo integral y recursividad al segundo sumando, se obtiene que

Al emplear la expansión en serie de Taylor al segundo sumando, se tiene

simplificando,

Al aplicar a Dj(X_t, I_t, t) el lema de Itô y después de simplificar, se tiene

A continuación se obtiene el valor esperado de esta última ecuación, y dado que dW_t se distribuye N(0, dt), se elimina el término con browniano, de lo que resulta

Ahora se divide la expresión anterior entre dt y se toma el límite de la misma cuando dt → 0

A la última ecuación anexamos las condiciones de frontera correspondientes, para obtener la EDP de HJB

A partir del sistema de ecuaciones (23) se tiene que,

es decir, los premios al riesgo del mercado del subyacente y de la opción son equivalentes,

lo cual conduce

Ahora se realizan las sustituciones de μ_A y σ_A que se definen a partir de (14), de donde se obtiene

(24) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden mediante la cual se valuará la opción asiática de venta; como es bien sabido tiene una familia infinita de curvas solución por lo que para poder hacer la valuación correspondiente a la opción asiática, se debe de imponer a esta una condición final, que corresponde a la fecha de término del contrato. Esto es,

Para dar solución al problema de control óptimo planteado, se requiere ahora encontrar la función h(t) definida en J(X_t I_t, t) que resuelve la ecuación HJB; para tal efecto se observa que la regla óptima de consumo es lineal en la riqueza y se supone una solución de esquina para las proporciones óptimas asignadas a la tenencia de la acción y a su opción asiática de venta, de tal forma que ${\hat{\theta }}_{1t}=0$ y ${\hat{\theta }}_{2t}=1$. Se ha elegido esta solución toda vez que las ventas en corto son permitidas. Si se sustituyen en la ecuación (13) los valores de la ecuación (19), (20), (21), ${\hat{c}}_t, {\mu }_A, {\sigma }_A {\hat{\theta }}_{1t}=0 y {\hat{\theta }}_{2t}=1$, y las derivadas parciales en, μ_A y σ_A se evalúan en el dinero, es decir, S_t = K_t,T, las cuales se denotan mediante

se obtiene:

junto con la condición de frontera h(I, T)=0.

Observe que la solución de esta ecuación diferencial no depende de I_t. Si además, se denota mediante $k_1=\left(-\rho \right)+\gamma {\stackrel{-}{\mu }}_A+\frac{\gamma }{2}\left(\gamma -1\right){\stackrel{-}{\sigma }}_A^2$ a el coeficiente de h_t, y se simplifica, tiene la ecuación diferencial ordinaria de primer orden,

Si esta ecuación se cumple para todas t, entonces h_t debe de resolver la ecuación diferencial

la cual es una ecuación diferencial de primer orden tipo Bernoulli donde: p(t) = k₁, q(t) = - 1 y $n=\frac{\gamma }{\gamma -1}$. Para transformar la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden de una función (desconocida), se sustituye $z=h^{1-n}\left(t\right)=h^{-\frac{\gamma }{\gamma -1}}\left(t\right)$, de donde se tiene que $h\left(t\right)=z^{1-\gamma } y h^{\text{'}}\left(t\right)=(1-\gamma )z^{-\gamma }z\text{'}$, al sustituir en (33) y multiplicar ambos lados de la ecuación por $\frac{z^{\gamma }}{1-\gamma }$, se obtiene,

a (29) debe imponerse la condición z(T)=0. Así (29) es un problema de valor inicial y se resuelve mediante el método de factor integrante (Leibinitz).

de donde se obtiene que z_t es

ahora se impondrá a z la condición inicial z(T)=0, de donde

Por lo que

Por último, si se sustituye z(t) en h(t), se tiene que $h\left(t\right)=z^{1-\gamma } y h^{\text{'}}\left(t\right)=\left(1-\gamma \right)z^{-\gamma }{z}^{\text{'}},$

Se ha así mostrado que si J está dada por (17) con (33) definida como la solución de (28) y si definimos ${\widehat{\theta }}_{1t},{\widehat{\theta }}_{2t} y \hat{c}$ por (19), (20) y (21) entonces J satisface la ecuación de HJB y ${\widehat{\theta }}_{1t},{\widehat{\theta }}_{2t} y \hat{c}$ consiguen optimizar el problema de control óptimo con horizonte temporal de magnitud estocástica.

El principal objetivo de esta investigación fue el de desarrollar un modelo de equilibrio general dinámico estocástico a partir del cual fuera posible llevar a cabo la valuación de las opciones asiáticas de tipo europeo, toda vez que por su estructura y consistencia interna, la teoría de control permitiría obtener dicha valuación formulada a partir de supuestos de racionalidad económica; dotando con esto al agente económico consumidor-inversionista de herramientas para su toma de decisiones de consumo e inversión en un portafolio de activos cuando el horizonte temporal del que dispone es finito con fecha final aleatoria.

Es pertinente reconocer la importancia conjugada de la matemática y la ingeniería financiera en la modelación de fenómenos económicos. Particularmente nos referimos a la teoría de control óptimo estocástico en tiempo continuo, la cual se ha revelado como un instrumento fundamental cuando se requiere modelar alguna actividad económica que se desarrolla de manera dinámica. Dada la modelación de los supuestos financieros mediante ecuaciones diferenciales estocásticas de movimientos geométricos brownianos no correlacionados, aunado al supuesto de que la función de utilidad es del tipo $U\left(c,t\right)=e^{-\delta t}V\left(c\right),$ en donde U es un miembro de la familia de funciones de tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), fue posible obtener soluciones analíticas y cerradas.⁶

Como resultado de este modelo se plantea en la agenda de investigación futura, modelar la caracterización del precio de las opciones asiáticas de tipo europeo y americano implementando nuevas formas funcionales para el precio del activo subyacente que contemple los cambios imprevistos en volatilidad y en tasa de interés, ya que es esencial considerar ambientes estocásticos más ricos, porque la presencia de incertidumbre puede conducir a cambios cualitativamente significativos en los efectos de política y en la elección resultante de decisiones óptimas.